2)
4.2.2. Phân tích Fourier
Biến đổi Fourier là một thuật tốn quan trọng trong việc xử lí ảnh.Thuật tốn giúp phân tích ảnh thành các thành phần sin và cosin. Ảnh đầu vào là ảnh trong miền khơng gian, ảnh đầu ra sẽ là ảnh trong miền trong miền Fourier hay cịn gọi là miền tần số. Do đĩ, mỗi điểm ảnh sẽ đại diện cho một tần số đặc biệt chứa trong ảnh cuả miền khơng gian.(Nhƣ đã nĩi trong phần trƣớc, quá trình này khơng phải là quá trình tăng thêm lƣợng thơng tin mà là làm nổi bật các lƣợng thơng tin cuả nĩ, hỗ trợ quá trình xử lí về sau). [3]
DFT (Biến đổi Fourier rời rạc) là một phần của Biến đổi Fourier và do đĩ khơng chứa tất cả các tần số tạo thành một hình ảnh, nhƣng chỉ cĩ một tập hợp các mẫu là đủ lớn để mơ tả đầy đủ hình ảnh miền khơng gian. Số lƣợng các tần số tƣơng ứng với số lƣợng điểm ảnh trong hình ảnh miền khơng gian, tức là hình ảnh trong miền khơng gian và Fourier là cĩ cùng kích thƣớc.
Ở đây ta chọn 1 frame là cĩ kích thƣớc (NxN) pixel, cơng thức biến đổi Fuorier cho dạng tổng quát nhƣ sau: 𝐹 𝑘, 𝑙 = 1 𝑁2 𝑁−1 𝑎 =0 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑘𝑎𝑁+𝑙𝑏𝑁 𝑁−1 𝑏=0
F(a,b) là ảnh trong miền khơng gian; và F(k,l) là ảnh trong miền Fourier.
Phƣơng trình cĩ thể đƣợc hiểu là: giá trị của mỗi điểm F (k, l) thu đƣợc bằng cách nhân các hình ảnh khơng gian với hàm cơ bản tƣơng ứng và tổng hợp kết quả.
Các hàm cơ sở là sĩng sine và cosine với tần số ngày càng tăng, tức là F (0,0) đại diện cho thành phần 1 chiều (DC) của hình ảnh tƣơng ứng với độ sáng trung bình và F (N-1, N-1) đại diện cho các tần số cao nhất.
Bằng cách tƣơng tự, ta cĩ thể biến đổi ngƣợc từ miền Fourier trở về miền khơng gian. 𝑓 𝑎, 𝑏 = 1 𝑁2 𝑁−1 𝑘=0 𝐹 𝑘, 𝑙 𝑒𝑖2𝜋 𝑘𝑎𝑁+𝑙𝑏𝑁 𝑁−1 𝑙=0
Ta sẽ ứng dụng vào với ảnh vân tay ta chụp đƣợc từ Micrsof fingerprint Reader.Ảnh chụp đƣợc cĩ kích thƣớc là 355x390 pixel, vì vậy để tiện tính tốn và thích hợp để xử lí, ta chọn Block 32x32 pixel để biến đổi.
𝐹 𝑘, 𝑙 = 1 1024 31 𝑎=0 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑘𝑎𝑁+𝑙𝑏𝑁 31 𝑏=0
Để đƣợc kết quả tốt với một block đã chọn với tần số trội cuả nĩ, ta sẽ nhân các FFT cuả khối bởi độ lớn tập hợp các lần. Độ lớn sẽ bằng abs(F(k,l)).
Và ảnh sau khi đƣợc biến đổi ngƣợc về miền khơng gian sẽ nhƣ sau:
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐹−1 𝐹 𝑘, 𝑙 . 𝐹(𝑘, 𝑙) 𝑘
Giá trị k là hằng số, ta chọn k=0.45.Giá trị K cao hơn sẽ làm tăng sự xuất hiện các đƣờng vân (Ridge) , làm “mất đi” các rãnh vân (Valley).Tuy nhiên hệ số quá cao sẽ làm xuât hiện các Minutia sai (do việc kết hợp các Ridge tạo Bifurication và xố bỏ các Termination).
Ảnh vân tay sau khi đƣợc phân tích Fourier (trái) và sau khi đƣợc cân bằng xám (phải):