Vấn đề gán phổ cho hệ điều khiển tuyến tính là một trong những hướng nghiên cứu truyền thống và quan trọng của lý thuyết điều khiển và đã có nhiều kết quả thu được cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian. Cụ thể, đối với hệ điều khiển
˙
x(t) = Ax(t) +Bu(t), t ∈ R, (2.1) trong đó A ∈ Rd×d, B ∈ Rd×m và u ∈ KCm,1(R) là điều khiển. Trong trường hợp hệ trên có phản hồi tuyến tính
u(t) =F x(t),
với F ∈ Rm×d, ta nhận được hệ
˙
x(t) = (A+ BF)x(t). (2.2) Bài toán gán phổ cho hệ (2.1) được phát biểu như sau: Nếu cho trước cặp ma trận (A, B) và đa thức
Hãy tìm một ma trận F ∈ Rm×1 sao cho Q(λ) là đa thức đặc trưng của ma trận A+BF.
Điều kiện cần và đủ để bài toán trên giải được là cặp ma trận (A, B) là điều khiển được (xem [43]), hiện nay cũng có nhiều phương pháp số để đi tìm nghiệm của bài toán (xem [23]).
Tuy nhiên, vấn đề gán phổ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian là một vấn đề thách thức. Gần đây, các kết quả về gán phổ Lyapunov cho hệ điều khiển tuyến tính phụ thuộc thời gian được phát triển bởi A. Babiarz, I. Banshchikova, A. Czornik, E. Makarov, M. Niezabitowski và S. Popova (xem [5], [27], [44]),...
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về bài toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính có hệ số phụ thuộc thời gian. Kết quả thu được trong chương này được công bố ở các công trình [CT2], [CT3], [CT4].
2.1 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục
Nội dung chính của mục này là đưa ra điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục là gán được phổ nhị phân mũ. Để thuận tiện cho người đọc theo dõi, cấu trúc của mục được trình bày như sau:
• Đặt bài toán và phát biểu kết quả chính (Mục 2.1.1).
• Một số kết quả chuẩn bị (Mục 2.1.2).
2.1.1 Đặt bài toán và kết quả
Xét hệ điều khiển tuyến tính liên tục
˙
x = A(t)x+B(t)u, t∈ J, (2.3) trong đó J = R≥0 (thời gian một phía) hoặc J = R (thời gian hai phía),
A ∈ KCd,d(J), B ∈ KCd,m(J) và u ∈ KCm,1(J) là điều khiển. Với mỗi
(t0, x0) ∈ J× Rd ta kí hiệu nghiệm của hệ (2.3) với điều kiện ban đầu
x(t0) = x0 là x(., t0, x0, u). Trong trường hợp hệ (2.3) có phản hồi tuyến tính F ∈ KCm,d(J) ta thu được hệ sau
˙
x = (A(t) +B(t)F(t))x, t ∈ J. (2.4) Kí hiệu ΣJ
ED(A+BF) là phổ nhị phân mũ của hệ (2.4) (xem Định nghĩa 1.2).
Sau đây chúng tôi đưa ra khái niệm gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục.
Định nghĩa 2.1 (Gán phổ nhị phân mũ). Phổ nhị phân mũ ΣJ
ED(A+BF)
của (2.4) được gọi là gán được trên J nếu với bất kì số tự nhiên 1 ≤ℓ ≤ d
và các đoạn đóng rời nhau [α1, β1], ..., [αℓ, βℓ] cho trước, tồn tại một phản hồi F ∈ KCm,d(J) sao cho
ΣJ ED(A+ BF) = ℓ [ i=1 [αi, βi].
Câu hỏi nghiên cứu được đặt ra là:
Câu hỏi: Hệ (2.3) cần thỏa mãn điều kiện gì để tồn tại một phản hồi tuyến tính sao cho hệ tương ứng (2.4) có phổ nhị phân mũ trùng với tập phổ nhị phân mũ cho trước?
Câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu trên được phát biểu trong kết quả sau:
Định lý 2.2 (Đặc trưng của tính gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục). Giả sử hệ (2.3) xác định trên J, trong đó J có thể là
R+ hoặc R. Giả thiết B :J → Rd×m là bị chặn và liên tục đều từng khúc. Khi đó hệ (2.3) là gán được phổ nhị phân mũ trên J khi và chỉ khi (2.3)
là điều khiển được đều trên J.
Chú ý 2.3. Ta nói B ∈ KCd,m(J) được gọi là liên tục đều từng khúc nếu
B thỏa mãn các điều kiện sau:
• Tồn tại ∆0 > 0sao cho độ dài của mỗi khoảng liên tục Ij (j ∈ J ⊂ N) của B thỏa mãn |Ij| ≥ ∆0.
• Với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho ∥B(t)−B(s)∥ ≤ ε với mỗi j ∈ J và với mọi t, s ∈ Ij thỏa mãn |t−s| ≤ δ.
2.1.2 Một số kết quả chuẩn bị
Trong mục này chúng tôi xây dựng các quả chuẩn bị và một số kết quả về phổ nhị phân mũ của một số hệ có cấu trúc đặc biệt. Kết quả đầu tiên là về đặc trưng tính điều khiển được đều và tính ổn định hóa được: Hệ điều khiển tuyến tính điều khiển được đều khi và chỉ khi hệ đó ổn định hóa được (xem [19],[42]). Để phát biểu kết quả này ta nhắc lại khái niệm hệ điều khiển ổn định hóa được.
Định nghĩa 2.4 (Hệ điều khiển ổn định hóa được). Hệ (1.11) được gọi là ổn định hóa được nếu với mọi α ∈ R+ tồn tại một phản hồi F ∈ KCm,d(J)
và C ∈ R+ sao cho
||ΦA+BF(t2, t1)|| ≤ Ce−α(t2−t1), (2.5)
Định lý 2.5 (Mối quan hệ giữa điều khiển được đều và ổn định hóa được). Hệ (1.11) là điều khiển được đều trên J (J ở đây có thể là R+ hoặc R) khi và chỉ khi hệ này là ổn định hóa được trên J.
Chứng minh. Trong trường hợp J = R+ (xem chứng minh trên [19]). Trong trường hợp J= R (xem chứng minh trên [42]).
Tiếp theo chúng tôi chỉ ra rằng với một hệ tam giác trên có các hệ số thỏa mãn tính đối xứng thì phổ nhị phân mũ của hệ này sẽ được biểu diễn dưới dạng hợp tất cả phổ nhị phân mũ của các phương trình một chiều với hệ số là các phần tử trên đường chéo chính. Lưu ý rằng đối với một hệ tam giác trên bất kì thì điều này không đúng (xem Hệ quả 1.9).
Mệnh đề 2.6 (Phổ nhị phân mũ của hệ vi phân tuyến tính có dạng tam giác trên). Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính trên R
˙
x = U(t)x, (2.6)
trong đó U ∈ KCd,d(R) và U(t) = (uij(t))d≤i,j≤d là một ma trận tam giác trên với mọi t∈ R và thỏa mãn
uii(t) = uii(−t) với mọi t∈ R. (2.7) Ta kí hiệu ΣR ED(U) là phổ nhị phân mũ của hệ (2.6) và ΣR ED(uii) là phổ nhị phân mũ của hệ ˙ xi = uii(t)xi với i = 1,2, ...d. Khi đó, ta có ΣR ED(U) = d [ i=1 ΣR ED(uii). (2.8)
Chứng minh. Theo Hệ quả 1.9 ta chỉ cần chứng minh
ΣR
ED(uii) ⊂ ΣR+
với mọi i = 1,2, ..., d. Với mỗi i = 1,2, ..., d cố định và γ ̸∈ ΣR+
ED(uii), theo định nghĩa của nhị phân mũ (xem Định nghĩa 1.1) thì một trong các điều sau sẽ xảy ra:
(A1) Tồn tại K ≥ 1 và α >0 sao cho
exp t Z s uii(τ)dτ ≤Ke(γ−α)(t−s), với s ≤t, s, t ∈ R+. Từ (2.7) ta sẽ có exp t Z s uii(τ)dτ = exp 0 Z s uii(τ)dτ + t Z 0 uii(τ)dτ = exp −s Z 0 uii(τ)dτ + t Z 0 uii(τ)dτ ≤K2e(γ−α)(t−s). Nếu s ≤ 0≤ t và s ≤ t≤ 0 thì exp t Z s uii(τ)dτ = exp −s Z −t uii(τ)dτ ≤ Ke(γ−α)(t−s). Điều đó có nghĩa là γ ̸∈ ΣR ED(uii). (A2) Tồn tại K ≥ 1 và β > 0 sao cho
exp t Z s uii(τ)dτ ≤ Ke(γ+β)(t−s), với t≤ s, s, t ∈ R+. Từ (2.7) ta sẽ có exp t Z s uii(τ)dτ = exp 0 Z s uii(τ)dτ + t Z 0 uii(τ)dτ = exp −s Z 0 uii(τ)dτ + t Z 0 uii(τ)dτ ≤ K2e(γ+β)(t−s).
Nếu s ≤ 0≤ t và s ≤ t≤ 0 thì exp t Z s uii(τ)dτ = exp −s Z −t uii(τ)dτ ≤Ke(γ+β)(t−s). Điều đó có nghĩa là γ ̸∈ ΣR ED(uii).Do đó, ΣR ED(uii) ⊂ΣR+ ED(uii) và mệnh đề được chứng minh.
Cuối cùng, ta sẽ chứng minh kết quả về sự tương đương của một hệ điều khiển được đều với một hệ tam giác trên bất kì thông qua một phản hồi tuyến tính phù hợp.
Định lý 2.7. Nếu hệ (2.3)là điều khiển được đều trên J(J là R+ hoặc R),
B là liên tục đều từng khúc bất kì, khi đó với các hàm liên tục từng khúc
pi : J7→ R, i = 1,2, ..., d, sẽ tồn tại một phản hồi tuyến tính F ∈ KCm,d(J)
sao cho hệ tương ứng
˙
x= (A(t) +B(t)F(t))x, t ∈ J.
là tương đương tiệm cận với hệ vi phân tuyến tính dạng tam giác trên có các phần tử trên đường chéo chính là các hàm liên tục đều từng khúc
(p1, p2, ..., pd).
Chứng minh. Định lý đã được chứng minh trong trường hợp J = R (xem [27]). Trong trường hợp J = R+, trước hết ta mở rộng A : R+ →Rd×d và
B : R+ → Rd×m thành A¯: R→ Rd×d và B¯ : R+ →Rd×m như sau:
¯
A(t) = A(−t) và B(t) =¯ B(−t),
với mọi t ∈ R− , (A(t) =¯ A(t) và B(t) =¯ B(t) với mọi t ∈ R+). Từ Định lý 1.17, tính điều khiển được đều với cặp (A, B) sẽ suy ra tính điều khiển được đều đối với cặp ( ¯A,B)¯ . Áp dụng định lý trong trường hợp
J = R và hàm p¯i : R → R trong đó p¯i(t) = 0 với t ∈ R− và p¯i(t) = p(t)
với t ∈ R+ ta có một phản hồi tuyến tính F¯ : R →Rd×m sao cho hệ
˙
x = A(t) + ¯¯ B(t) ¯F(t)x(t), t ∈ R,
sẽ tương đương với một hệ vi phân tuyến tính tam giác trên. Khi đó hạn chế của F¯
R+ sẽ là phản hồi tuyến tính cần tìm. Định lý được chứng minh.
2.1.3 Chứng minh kết quả
Chứng minh Định lý 2.2. Ta xét hai trường hợp: J = R+ và J = R.
Trường hợp 1: J = R+. Giả sử phổ nhị phân mũ của hệ (2.3) là gán được trên R+. Ta cố định α ∈ R+, khi đó tồn tại một phản hồi F bị chặn sao cho
Σ+ED(A+BF) = {−α′} với α′ > α.
Do đó, (−α′,∞) ∈ ρ+ED(A+BF), với ρ+ED(A+BF) := R\Σ+ED(A+BF). Khi đó với mỗi γ ∈ (−α′,∞) hệ
˙
x(t) = (A(t) +B(t)F(t)−γIn)x(t),
có nhị phân mũ với họ các phép chiếu Pγ : R+ → Rn×n. Sử dụng [33, Lemma 6.5], ta có
imPγ1(t) = imPγ2(t) với γ1, γ2 ∈ (−α′,∞). (2.9) Từ A(t) + B(t)F(t) bị chặn trên R+, tồn tại các hằng số K, β > 0 sao cho
Nói theo cách khác, Pβ(t) = In với mọi t ∈ R+. Điều này cùng với (2.9) chỉ ra rằng P−α′(t) =In với mọi t ∈ R+. Vì vậy tồn tại C, ε > 0 sao cho
∥XA+BF(t, s)∥ ≤ Ce(−α′−ε)(t−s) với t ≥ s ≥0.
Từ α ∈ R+ là tùy ý, do đó hệ (2.3) là ổn định hóa được và theo Định lý 2.5 thì hệ (2.3) là điều khiển được đều.
Ngược lại, giả sử rằng hệ (2.3) là điều khiển được đều. Ta cố định ℓ, 1 ≤ ℓ ≤ n và lấy các đoạn rời nhau [α1, β1], . . . ,[αℓ, βℓ] tùy ý. Xét các hàm liên tục từng khúc uii : R+ → R, i = 1, ..., l sao cho
αi = lim inf t−s→∞ 1 t−s t Z τ uii(τ)dτ, và βi = lim sup t−s→∞ 1 t−s t Z s uii(τ)dτ.
Hơn nữa vớiℓ+1≤ i ≤ nta định nghĩauii = u11.Bằng cách sử dụng Định lý 2.7, tồn tại một phản hồi F ∈ KCm,n sao cho hệ đóng (2.4) là tương đương tiệm cận với hệ tam giác trên liên tục từng khúc, bị chặn mà ở đó các phần tử nằm trên đường chéo chính có các phần tử là (u11, ..., unn). Do đó tính gán được của phổ nhị phân mũ trên R+ được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 1.9 (i).
Trường hợp 2: J = R. Tính gán phổ nhị phân mũ trênR được suy ra trực tiếp từ điều khiển được đều bằng cách chứng minh tương tự như đối với trường hợp J = R+.Ta mở rộng hàm uii : R+ →R thành u¯ii :R →R với
¯
uii(−t) = ¯uii(t) = uii(t) với mọi t∈ R+ và sử dụng Mệnh đề 2.6. Định lý đã được chứng minh.
Ở phần cuối mục này, chúng tôi xét hệ điều khiển tuyến tính một chiều điều khiển được đều và xây dựng phản hồi tuyến tính hiển để gán được phổ nhị phân mũ.
Hệ quả 2.8. Xét hệ điều khiển tuyến tính
˙
x(t) =a(t)x+b(t)u(t), (2.10)
trong đó a, b ∈ KC1,1(R+). Giả sử hệ (2.10) là điều khiển được đều. Nhắc lại rằng điều kiện cần và đủ để hệ (2.10) là điều khiển được đều được đưa ra trong Ví dụ 1.18. Cụ thể, hệ (2.10) là điều khiển được đều nếu tồn tại tồn tại ρ >b 0 và ϑ > 0 sao cho
Z t+ϑt t
b(s)2 ds≥ ρ,b
với mọi t > 0. Gọi [α, β] là một khoảng phổ tùy ý cho trước. Ta định nghĩa tập I := ∪n∈Z≥0{22n,22n+ 1, . . . ,22n+1 −1} và f(t) := b(t)αϑ− R(k+1)ϑ kϑ a(s)ds R(k+1)ϑ kϑ b(s)2ds với t ∈ [kϑ,(k+ 1)ϑ), k ∈ I, b(t)βϑ− R(k+1)ϑ kϑ a(s)ds R(k+1)ϑ kϑ b(s)2ds với t ∈ [kϑ,(k+ 1)ϑ), k ∈ Z≥0 \ I.
Khi đó f ∈ KC1,1(R+) và phổ nhị phân mũ Σ+ED(a+bf) của hệ đóng
˙
x= (a(t) +b(t)f(t))x(t),
thỏa mãn ΣR+
ED(a+bf) = [α, β].
Chứng minh. Ta có f ∈ KC1,1(R+). Tiếp theo ta đi tính ΣR+
ED(a+bf). Để ý rằng với mọi k ∈ Z≥0 ta có Xa+bf((k+ 1)ϑ, kϑ) = exp Z (k+1)ϑ kϑ (a(s) + b(s)f(s)) ds ! .
Từ định nghĩa của f ta nhận được Xa+bf((k+ 1)ϑ, kϑ) = eαϑ nếu k ∈ I, eβϑ nếu k ̸∈ I. Do đó theo cấu trúc I ta có Σ+ED(a+bf) = [α, β].
2.2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc 2.2.1 Đặt bài toán và kết quả
Xét hệ điều khiển tuyến tính rời rạc
xn+1 = Anxn +Bnun, n∈ T, (2.11) trong đó T = Z≥0 (thời gian một phía) hoặc T = Z (thời gian hai phía), A = (An)n∈T ∈ LLya(T,Rd×d), B = (Bn)n∈T ∈ L∞(T,Rd×s). Đặt
x(·, n, ξ, u) là nghiệm của (2.11) với điều khiện ban đầu x(n) = ξ, với
ξ ∈ Rd. Trong trường hợp un = Unxn với U = (Un)n∈T ∈ L∞(T,Rs×d) sẽ là một phản hồi tuyến tính, chúng ta sẽ có hệ tương ứng
xn+1 = (An +BnUn)xn. (2.12) Nếu A+ BU ∈ LLya(T,Rd×d), ta kí hiệu phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) là ΣT
ED(A+BU) (xem Định nghĩa 1.11). Tương tự như Định nghĩa 2.1 ta có khái niệm gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính rời rạc.
Định nghĩa 2.9. Phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) được gọi là gán được trên T nếu với các đoạn đóng rời nhau [a1, b1], . . . ,[aℓ, bℓ], trong đó 1 ≤ ℓ ≤ d, sẽ tồn tại một phản hồi tuyến tính U ∈ L∞(T,Rs×d) sao cho
A+BU ∈ LLya(T,Rd×d) và ΣT ED(A+BU) = ℓ [ i=1 [ai, bi].
Kết quả chính của mục này là đặc trưng về tính gán được phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính rời rạc.
Định lý 2.10 (Đặc trưng của tính gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính rời rạc). Giả sử rằng hệ (2.11) là điều khiển được đều trên T. Khi đó phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) là gán được. Trong trường hợp T = Z≥0 nếu phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) là gán được thì hệ
(2.11) là điều khiển được đều.
2.2.2 Một số kết quả chuẩn bị
Kết quả chuẩn bị đầu tiên là tính gán được phổ nhị phân mũ của hệ điều khiển tuyến tính rời rạc trên Z≥0 suy ra tính ổn định hóa được.
Định nghĩa 2.11 (Ổn định hóa được). Hệ (2.11) được gọi là ổn định hóa được trên Z≥0 nếu với mỗiw > 0 tồn tại một phản hồi U ∈ L∞(Z≥0,Rs×d)
và C > 0 sao cho
||ΦA+BU(m, n)|| ≤ Ce−w(m−n),
với mọi m, n ∈ Z≥0, m ≥ n.
Định lý 2.12. Nếu phổ nhị phân mũ của hệ (2.12) là gán được trên Z≥0 khi đó hệ (2.11) là ổn định hóa được trên Z≥0.
Chứng minh. Cho w > 0 tùy ý nhưng cố định. Chọn và cố định hằng số
Γ sao cho Γ < −w. Qua giả thiết về tính gán được phổ nhị phân mũ, tồn tại một phản hồi tuyến tính F = (F(n))n∈N sao cho phổ nhị phân mũ
Σ+ED(A+BF) của hệ
cho bởi công thức
Σ+ED(A+BF) = {Γ}. (2.13) Vì, (Γ,∞) ⊂ ρ+ED(A+ BF), với ρED+ (A+BF) := R\Σ+ED(A+BF), do đó với mỗi γ ∈ (Γ,∞) hệ
x(k+ 1) = e−γ(A(k) +B(k)F(k))x(k),
có nhị phân mũ cùng với họ các phép chiếu bất biến (Pγ(k))k∈N. Sử dụng [3, Lemma 3.2], ta có
imPγ1(k) =imPγ2(k) với γ1, γ2 ∈ (Γ,∞). (2.14) Từ A+BF ∈ LLya(N,Rn×n), tồn tại β > Γ sao cho
∥ΦA+BF(k, ℓ)∥ ≤ eβ(k−ℓ) với k ≥ ℓ,
và cho trước β′ > β bất kì, ta có
∥e−β′(k−ℓ)ΦA+BF(k, ℓ)∥ ≤ e(β−β′)(k−ℓ) với k ≥ ℓ.
Bất đẳng thức trên có nghĩa là β′ ∈ ρ+ED(A+BF) và Pβ′(ℓ) = In với mọi
ℓ ∈ N. Hơn nữa, điều đó chỉ ra rằng ρ+ED(A+ BF) là hợp hữu hạn của các tập mở (hay còn được gọi là các khoảng phổ trống) và phép chiếu liên kết là In (xem [21, Lemma 5.4]). Từ (2.14) ta nhận được P−w(ℓ) =In với mọi ℓ ∈ N. Khi đó tồn tại C, α > 0 sao cho
∥ΦA+BF(k, ℓ)∥ ≤ Ce(−w−α)(k−ℓ) với k ≥ℓ.
Định lý được chứng minh.
Tiếp theo ta có kết quả: Tính ổn định hóa được của hệ điều khiển tuyến tính rời rạc trên Z≥0 suy ra tính ổn định được đều .
Định lý 2.13. Nếu hệ (2.11) là ổn định hóa được trên Z≥0 thì hệ (2.11)
Chứng minh. Do A ∈ LLya(N,Rn×n), tồn tại C1 > 0 sao cho
∥ΦA(k1, k2)∥ ≤ eC1|k1−k2|
, (2.15)
với mọi k1, k2 ∈ N. Theo giả thiết về tính ổn định hóa, tồn tại một phản hồi tuyến tính F ∈ L∞(N,Rm×n) và hằng số C2 > 0 sao cho
∥F (k)∥ ≤ C2, (2.16)
∥ΦA+BF (k2, k1)∥ ≤ Ce−2C1(k2−k1), (2.17) với mọi k1, k2 ∈ N, k2 > k1 và C > 0. Do ma trận chuyển ΦA+BF của hệ đóng tương ứng sẽ thỏa mãn ΦA+BF (k2, k1) = ΦA(k2, k1) + k2−1 X j=k1 ΦA(k2, j + 1)B(j)F(j)ΦA+BF (j, k1), với mọi k1, k2 ∈ N. Do đó ΦA(k1, k2) ΦA+BF (k2, k1) = In+ k2−1