III. Tiến trỡnh dạy học: Tiết
c) Theo cõu b) ta cú ACF AEC ã, suy ra AC là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp ∆CEF
là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp ∆CEF (1).
Mặt khỏc ACB 90ã = 0(gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn), suy ra AC⊥CB (2). Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nờn tõm của đường trũn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi trờn cung nhỏ BC.
GV: Để chứng minh một đẳng thức của tớch cỏc đoạn thẳng người ta thường gỏn cỏc đoạn thẳng ấy vào một cặp tam giỏc đồng dạng. Một thủ thuật để dễ nhận ra cặp tam giỏc đồng dạng là chuyển "hỡnh thức" đẳng thức đoạn thẳng ở dạng tớch về dạng thương. Khi đú mỗi tam giỏc được xột sẽ cú cạnh hoặc là nằm cựng một vế, hoặc cựng nằm ở tử thức, hoặc cựng nằm ở mẫu thức.
Trong bài toỏn trờn AE.AF = AC2 ⇔ AC AE
AF = AC . Đẳng thức mỏch bảo ta xột cỏc cặp tam giỏc đồng dạng ∆ACF (cú cạnh nằm vế trỏi) và ∆ACE (cú cạnh nằm vế phải).
• Khi một đoạn thẳng là trung bỡnh nhõn của hai đoạn thẳng cũn lại, chẳng hạn AE.AF = AC2 thỡ AC là cạnh chung của hai tam giỏc, cũn AE và AF khụng cựng năm trong một tam giỏc cần xột.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp trong đường trũn (O;R). Cỏc đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: AEHF và BCEF là cỏc tứ giỏc nội tiếp đường trũn.
b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường trũn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN // EF.
c) Chứng minh rằng OA ⊥ EF.
GV yờu cầu hs vẽ hỡnh, chứng minh cõu a Muốn chứng minh 2 đoạn thẳng song song ta làm như thế nào?
Muốn chứng minh hai đoạn thẳng vuụng gúc với nhau ta làm như nào?
Cõu 4:
a) Tứ giỏc AEHF cú: ã ã 0
AEH AFH 90= =
(gt). Suy ra AEHFlà tứ giỏc nội tiếp. - Tứ giỏc BCEF cú: BEC BFC 90ã =ã = 0(gt). Suy ra BCEF là tứ giỏc nội tiếp.
b) Tứ giỏc BCEF nội tiếp suy ra: BEF BCFã = ã (1). Mặt khỏc BMN BCNã =ã = BCFã
(gúc nội tiếp cựng chắn BNằ ) (2). Từ (1) và (2) suy ra: BEF BMNã =ã ⇒ MN // EF.
c) Ta cú: ABM ACNã =ã ( do BCEF nội tiếp)
ẳ ằ
AM AN
⇒ = ⇒AM = AN, lại cú OM = ON nờn suy ra OA là đường trung trực của MN ⇒OA MN⊥ , mà MN song song với EF nờn suy ra OA EF⊥ .
Tiết 44: ễn tập
Bài 3: Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho:
ã 0
IEM 90= (I và M khụng trựng với cỏc
đỉnh của hỡnh vuụng ).
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giỏc nội tiếp đường trũn.
b) Tớnh số đo của gúc IMEã
c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM. Chứng minh CK ⊥BN. GV yờu cầu hs lờn bảng vẽ hỡnh
Nờu cỏch chứng minh tứ giỏc BIEM là tứ giỏc nội tiếp.
Hóy tớnh gúc IME, gúc IME cú thể bằng gúc nào đó biết số đo?
I E E M N B C A D K
a) Tứ giỏc BIEM cú:IBM IEM 90ã =ã = 0(gt); suy ra tứ giỏc BIEM nội tiếp đường trũn đường kớnh IM.
b) Tứ giỏc BIEM nội tiếp suy ra:
ã ã 0
Gv gợi ý cõu c: Giả sử CK vuụng gúc với BN thỡ tứ giỏc BECK là tứ giỏc gỡ?
Thay bằng việc cm CK vuụng gúc BN ta cú thể cm BECK là tứ giỏc nội tiếp được khụng?
Hóy suy nghĩ chứng minh MN song song với IM
Tam giỏc BIE và tam giỏc CME cú quan hệ thế nào với nhau?
Khi đú cú nhận xột gỡ về ME và IE. Gúc BKE cú thể bằng gúc BCE khụng? Hóy chứng minh.
Từ hướng dẫn trờn em hóy trỡnh bày lời giải của bài toỏn
HS suy nghĩ làm bài
c) ∆EBI và ∆ECM cú:ã ã 0
IBE MCE 45= = ,
BE = CE , BEI CEMã =ã ( do IEM BEC 90ã =ã = 0 )
⇒ ∆EBI = ∆ECM (g-c-g)⇒ MC = IB;
suy ra MB = IA
Vỡ CN // BA nờn theo định lớ Thalet, ta cú:
MA MB
MN =MC= IA
IB. Suy ra IM song song với BN
(định lớ Thalet đảo)
ã ã 0
BKE IME 45
⇒ = = (2). Lại cú BCE 45ã = 0 (do ABCD là hỡnh vuụng).
Suy ra BKE BCEã = ã ⇒BKCE là tứ giỏc nội tiếp.
Suy ra: BKC BEC 180ã +ã = 0mà BEC 90ã = 0; suy ra
ã 0
BKC 90= ; hay CK ⊥ BN
Tiết 45: ễn tập
Bài 4: Cho đường trũn (O;R); AB và CD là hai đường kớnh khỏc nhau của đường trũn. Tiếp tuyến tại B của đường trũn (O;R) cắt cỏc đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giỏc ACBD là hỡnh chữ nhật.
b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE
c) Chứng minh tứ giỏc CDFE nội tiếp được đường trũn.
d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tớch của ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF. Chứng minh:
1 2
S + S = S.
GV: Hóy nờu cỏch chứng minh 1 tứ giỏc là hỡnh chữ nhật? Đối với bài toỏn này em ỏp dụng cỏch nào/ F E O D C B A
a) Tứ giỏc ACBD cú hai đường chộo AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra ACBD là hỡnh chữ nhật
b) Tứ giỏc ACBD là hỡnh chữ nhật suy ra:
ã ã 0
CAD BCE 90= = (1). Lại cú CBEã =12sđBCằ
(gúc tạo bởi tiếp tuyến và dõy cung);
ã 1
ACD 2 2
HS: ỏp dụng cỏch tứ giỏc cú 2 đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (là hbh) và 2 đường chộo đú bằng nhau (thành hcn)
b) Cú những cỏch nào cm hai tam giỏc đồng dạng? Ở bài tập này em ỏp dụng cỏch nào/ HS: Áp dụng cỏch cm đồng dạng gúc – gúc c) Sử dụng tớnh chất tỉ số diện tớch bằng bỡnh phương tỉ số đồng dạng, hóy phõn tớch bài toỏn.
(do BC = AD)⇒CBE ACDã =ã (2). Từ (1) và (2) suy ra ∆ACD ~ ∆CBE .
c) Vỡ ACBD là hỡnh chữ nhật nờn CB song song với AF, suy ra: CBE DFEã =ã (3). Từ (2) và (3) suy ra ACD DFEã =ã do đú tứ giỏcCDFE nội tiếp được đường trũn. d) Do CB // AF nờn ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: 1 2 2 S EB S = EF 1 S EB S EF ⇒ = . Tương tự ta cú S2 BF S = EF. Từ đú suy ra: S1 S2 1 S + S = ⇒ 1 2 S + S = S.
1) Để chứng minh đẳng thức (*) về diện tớch cỏc tam giỏc (chẳng hạn
1 2
S + S = S (*))
Bạn cú thể nghĩ đến một trong ba cỏch sau :
• Nếu ba tam giỏc tương ứng cú một cạnh bằng nhau thỡ biến đổi (*) về đẳng thức cỏc đường cao tương ứng h1, h2, h để chứng minh (chẳng hạn(*) ⇔ h1 + h2 = h).
• Nếu ba tam giỏc tương ứng cú một đường cao bằng nhau thỡ biến đổi (*) về đẳng thức cỏc cạnh tương ứng a1, a2, a để chứng minh (chẳng hạn(*) ⇔ a1 + a2 = a).
• Nếu hai trương hợp trờn khụng xẩy ra thỡ biến đổi (*) về đẳng thức tỉ số diện tớch để chứng minh (chẳng hạn(*) ⇔ S1 S2 1
S + S = ). Thường đẳng thức về tỷ số diện tớch tam giỏc là đẳng thức về tỉ số cỏc cạnh tương ứng trong cỏc cặp tam giỏc đồng dạng. 2) Trong bài toỏn trờn, hai khả năng đầu khụng xảy ra. Điều đú dẫn chỳng ta đến lời giải với cỏc cặp tam giỏc đồng dạng.
Củng cố - Dặn dũ: Về nhà xem lại cỏc bài đó chữa, ghi nhớ cỏch làm bài.
Làm bài tập sau: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khỏc A và C ). Đường trũn đường kớnh MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng: