3 Bậc tôpô trong không gian Banach
3.3.2 Ứng dụng bậc tôpô trong không gian Banach vô hạn chiều
chiều
Bổ đề 3.3.1 Cho X là không gian Banach vô hạn chiều, và 0∈/ ∂Ω với Ω là tập con mở và bị chặn củaX. ChoT : Ω→X là ánh xạ compact liên tục. Giả sử rằngT x̸=µx với mọi µ∈[0,1], x∈∂Ω và 0∈/ T ∂Ω. Thì deg(I−T,Ω,0) = 0.
Chứng minh. Thứ nhất, tồn tạiε0 >0 sao cho
∥T x−Tεx∥< ε, µx̸=Tεx,
với mọiµ∈[0,1], x∈∂Ωvà ε ∈(0, ε), Tε được xem như Tε trong bổ đề 1.3.1.
Giả sử phản chứng rằng điều này không đúng, thì tồn tại εj →0, xj ∈∂Ω, µj →µ0 ∈
[0,1] sao cho µjxj =Tεjxj và vì vậy ta có T xj−µjxj →0.
Bây giờ ta có 0 ∈/ T ∂Ω và vì vậy µ0 ̸= 0. (xj) có dãy con hội tụ đến x0 ∈ ∂Ω và T x0 =µ0x0.
Từ định nghĩa của bậc Leray Schauder, ta biết rằng
deg(I−T,Ω,0) = deg(I−Tε,Ω∩F,0)
với εđủ nhỏ vàF ⊃spanR(Tε). Theo tính bất biến qua đồng luân của bậc Brower, ta có
deg(I−Tε,Ω∩F,0) = deg(−Tε,Ω∩F,0)
Khi X là không gian Banach vô hạn chiều, ta có thể chọn F là không gian con hữu hạn chiều củaX sao cho spanR(Tε) là tập con thực sự của F và
deg(−Tε,Ω∩F,0) = deg(−Tε,Ω∩F, p),
với mỗip∈F sao cho pđủ gần 0vì vậy ta có deg(−Tε,Ω∩F,0) = 0. Do đódeg(I −T,Ω,0) = 0.
Định lý 3.3.6 Cho X là không gian Banach vô hạn chiều, 0 ∈ Ω0 ⊂ Ω với Ω0 và Ω
là hai tập con mở và bị chặn của E. Cho T : Ω\Ω0 →X là ánh xạ compact liên tục, giả sử rằng điều kiện sau được thoã mãn
(1) T x̸=λx với λ >1, x∈∂Ω0.
(2) T x̸=µx với µ∈[0,1], x∈∂Ω và 0∈/ T ∂Ω. Thì T có điểm bất động trong Ω\Ω0.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng T được định nghĩa trên Ω. Tương tự ta có thể giả sử T x̸=x với x∈∂Ω0∪∂Ω
Từ (1) và định lý 3.2.1 ta có deg(I−T,Ω0,0) = 1. Bởi (2) và bổ đề 3.3.1 ta có deg(I−T,Ω,0) = 0. Do đó
deg(I−T,Ω\Ω0,0) =deg(I−T,Ω,0)−deg(I−T,Ω0,0) =−1
Vậy T có điểm bất động trong Ω\Ω0.
Khi thay đổi các điều kiện của giả thiết thì ta cũng có được kết luận tương tự định lý trên.
Hệ quả 3.3.1 Cho X là không gian Banach vô hạn chiều và Ω0 ⊂Ω với 0∈Ω0,Ωlà hai tập con bị chặn của X. Cho T : Ω\Ω0 −→ E là ánh xạ compact liên tục, thêm nữa các điều kiện sau được thoả mãn
(1) ∥T x∥≤∥x∥ với mỗi x∈∂Ω0; (2) ∥T x∥≥∥x∥ với mỗi x∈∂Ω. Thì T có điểm bất động trong Ω\Ω0.
Chú ý 3.3.1 Kết luận của định lý 3.3.2 không còn đúng nếu bỏ đi điều kiện vô hạn chiều. Sau đây là một phản ví dụ chứng tỏ điều đó.
Ví dụ 3.3.2 Cho Ω = {(x, y) : x2 +y2 < 4},Ω1 = {(x, y) : x2 +y2 < 1} và T : Ω\Ω1 −→R2 được định nghĩa bởi
T(x, y) = (px2+y2cos(0 + π 4),
p
x2 +y2sin(0 + π 4))
51 Với (x, y)∈Ω\Ω1, trong đó x+yi=px2+y2eiθ. Thì ta có
T(x, y)̸=µ(x, y) với µ∈[0,1], x2+y2 = 1 và T(x, y)̸=λ(x, y) với λ≥1, x2+y2 = 4. Vì deg(I−T,Ω\Ω1,0) =deg(I−T,Ω,0)−deg(I−T,Ω1,0) = 0 nên T không có điểm bất động trong Ω\Ω1.
Định lý 3.3.7 Cho X là không gian Banach và 0∈ Ω0 ⊂ Ω với Ω0,Ω là hai tập con mở bị chặn của X. Cho T : Ω\Ω0 −→X là ánh xạ liên tục compact, và các điều kiện sau là đúng,
(1) T x̸=λx với mọi λ >1 và x∈∂Ω0;
(2) T x̸=µx với µ∈[0,1], x∈∂Ω và 0∈/ ConvT ∂Ω. Thì T có điểm bất động trong Ω\Ω0.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh của định lý 3.3.1 ta có thể giả sử rằng T x̸=x với x∈∂Ω0∪∂Ω. Ta chỉ cần chứng minh rằng
deg(I−T,Ω,0) = 0
Giả sử điều này là không đúng, tức là deg(I −T,Ω,0) ̸= 0. Khi đó tồn tại ánh xạ compact T1 : Ω−→convT ∂Ω sao cho T1x=T xvới x∈∂Ω.
Cho k >1, ta dễ dàng thấy rằng
x̸=tT x+ (1−t)kT1x với (t, x)∈[0,1]×∂Ω. Do đó ta có
deg(I−kT1,Ω,0) = deg(I−T,Ω,0)̸= 0
và vì vậy ta có kT1x = x có nghiệm trong Ω với k > 1, trái với giả thiết trong Ω. Vì vậy ta códeg(I−T,Ω,0) = 1.