3 Bậc tôpô trong không gian Banach
3.3.1 Ứng dụng bậc tôpô trong chứng minh điểm bất động
chặn và T :C →C là ánh xạ compact liên tục thì T có điểm bất động trong C.
Nếu T chỉ là ánh xạ liên tục thì kết luận trên không còn đúng. Ta xét phản ví dụ sau. Ví dụ 3.3.1 Cho T :l2 →l2 là ánh xạ được định nghĩa bởi
T(x1, x2, ...) = (1− ∥x∥, x1, x2, ...) với x= (x1, x2, ...)∈l2.
Thì T : B(0,1) → B(0,1) là liên tục tuy nhiên không tồn tại x ∈ B(0,1) sao cho T x=x hay nói cách khác là T không có điểm bất động trong B(0,1).
Định lý điểm bất động Schauder có thể được ứng dụng cho kết quả trên không gian con siêu bất biến của toán tử tuyến tính bị chặn.
Định lý 3.3.2 Cho X là không gian Banach, 0 ̸= T : X → X là ánh xạ tuyến tính liên tục compact và Γ(T) = {S ∈ L(X) : T S = ST}. Thì tồn tại một không gian con siêu bất biến không tầm thường F của T, tức là, F ̸= 0, và S(F) ⊆ F với mọi S ∈Γ(T).
Chứng minh: Giả sử rằng điều kiện trên là không đúng thì T không có giá trị riêng. Chọn x0 ∈X sao cho ∥x0∥= 2. Thì với mỗi x= 0̸ ta có T x̸= 0 và {ST x:S ∈Γ(T)}
là không gian bất biến Γ(T) và vì vậy ta có
{Sx:S ∈Γ(T)}=X
Bây giờ với mỗi y ∈ B(x0,1), tồn tại Sy ∈ Γ(T) sao cho ∥SyT y −x∥ < 1. Bởi tính liên tục của S, tồn tại δ(y)>0 sao cho ∥SyT x−x0∥ <1 với mọi x ∈B(y, δ(y)). Khi
{B(y, δ(y)) : y ∈ B(x0,1)}là phủ mở của B(x0,1) thì tồn tại phủ con hữu hạn địa phương{Vi}i∈I của {B(y, δ(y)) :y∈B(x0,1)}.
Đặt {ϕi}i∈I là phân hoạch đơn vị ứng với họ {Vi}i∈I và xét ánh xạ K : B(x0,1) →
B(x0,1)được xác định như sau Kx =X
i∈I
47
Khi T là compact, K là ánh xạ compact liên tục thì T có điểm bất độngy0 ∈B(x0,1), tức là
X
i∈I
ϕi(y0)SiT y0 =y0 Đặt Z ={y ∈X :P
i∈Iϕi(y0)SiT y =y}. Thì Z là không gian con hữu hạn chiều của X và T : Z → Z do đó T có giá trị riêng,điều nay mâu thuẫn với giả sử ở trên do đó ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3.3.3 Cho X là không gian Banach và Ω ⊂ X là tập mở bị chặn. Nếu T : Ω→X, S :X →X là ánh xạ liên tục compact và p /∈(I −S)◦(I−T)(∂Ω)thì
deg((I−S)◦(I−T),Ω, p) =X i∈I
deg(I−T,Ω, Ui)deg(I−S, Ui, p)
trong đó {Ui}i∈I là thành phần liên thông của X\(I −T)(∂Ω) và deg(I−T,Ω, Ui) =
deg(I−T,Ω, z) với z ∈Ui.
Chứng minh. Ta chứng minh vế phải của biểu thức có hữu hạn các số hạng khác 0. Cho r > 0 sao cho (I −T)(Ω) ⊂ Br(0) thì M = Br(0)∩(I −S)−1(p) là compact, M ⊂Rn\f(∂Ω) =S
i≥1Ui và tồn tại số hữu hạn i, i= 1,2, ..., tsao cho Sti+1=1Ui ⊇M, trong đó Ut+1=U∞∩Br+1. Ta có deg(I−T,Ω, Ut+1) = 0 và deg(I−S, Ui, p) = 0 với i≥t+ 2. Khi Uj ⊂Br(0) và g−1(y)∩Uj =∅ với j ≥t+ 2. Do đó về vế phải của (2.2.1) có hữu hạn số hạn khác 0. Đặt
Vm ={z ∈Br+1(0)\(I−T)(∂Ω) :deg(I−T,Ω, z) = m}. Tiến hành chứng minh như sau
X
i∈I
deg(I −T,Ω, Ui)deg(I−S, Ui, p) = X m
mdeg(I−S, Vm, p).
Bây giờ ta có thể chọn ε đủ nhỏ. Cho F là không gian con hữu hạn chiều, p ∈ F và T1 : Ω→F, S1 :Br+1(0) →F là hai ánh xạ liên tục compact sao cho
Thì với tính bất biến của ánh xạ đồng luân ta có deg((I−S)◦(I−T),Ω, p) =deg((I −S1)◦(I−T1),Ω, p), và X m mdeg(I −S, Vm, p) = X m mdeg(I−S1, Vm, p) =X m mdeg(I −S1, Vm∩F, p). Do đó bởi định lý 2.3.4 ta có: X i∈I
deg(I−T,Ω, Ui)deg(I−S, Ui, p) =deg((I−S1)◦(I−T1),Ω∩F, p)
Dễ dàng kiểm tra được
deg((I−S1)◦(I−T1),Ω, p) = deg((I−S1)◦(I −T1),Ω∩F, p).
Cho X là không gian Banach,X0 là không gian con đóng củaX và Ω⊂X là tập con mở và bị chặn. Khi đó bậc toppo trong Ωvà Ω∩X0 là như nhau.
Định lý 3.3.4 Cho X là không gian Banach, X0 là không gian con đóng của X và
Ω ⊂ X là tập con mở và bị chặn. Nếu T : Ω → X0 là ánh xạ liên tục compact và p∈X0, thì
deg(I −T,Ω, p) = deg(I−T,Ω∩X0, p).
Chứng minh. Khi T(Ω) ⊂ X0, ta có thể chọn không gian con hữu hạn F ⊂ X0 với p∈F và T1 : Ω→F sao cho ∥Tx−T1x∥< ε.
Theo định nghĩa 3.1.1 với ε >0đủ nhỏ thì ta có
deg(I−T,Ω, p) =deg(I−T1,Ω∩F, p) =deg(I−T,Ω∩X0, p).
Định lý 3.3.5 Cho X là không gian Banach, 0 ∈ Ω ⊂ X với Ω là tập mở bị chặn. Nếu T : Ω→X là ánh xạ liên tục compact, thì một trong những điều sau là đúng.
1. T có điểm bất động trong Ω.
2. Tồn tạiλ >1 và x∈∂Ω sao cho T x=λx.
Chứng minh. Nếu (2) đúng thì định lý được chứng minh xong.Ngược lại giả sử (2) sai ta sẽ chứng minh (1) đúng. ĐặtH(t, x) = x−tT xvới (t, x)∈[0,1]×Ω
49
(+) Nếu T x̸=x với mọix∈∂Ω. Do đó ta có x /∈tT x với (t, x)∈[0,1]×∂Ω. Bởi định lý 3.2.1 ta có
deg(I−T,Ω,0) =deg(I,Ω,0) = 1, do đó T có điểm bất động trongΩ nghĩa là (1) đúng.