Trong phần này chúng tôi trình bày một số tính chất tổ hợp của hệ hữu hạn đoạn thẳng trên một đường thẳng, các dây cung của một đường tròn.
Bài toán 1.6.1. Cho 50 đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng. Khi đó tồn tại 8 đoạn thẳng có điểm chung hoặc đôi một phân biệt.
Lời giải. Giả sử 50 đoạn thẳng thuộc tia Axnằm ngang, hướng từ trái qua phải. Và giả sử khẳng định đầu tiên là sai, tức là có nhiều nhất 7 đoạn thẳng có điểm chung. Trong 50 đoạn thẳng gọi a1 là đoạn thẳng có đầu trái gần Anhất, khi đó có nhiều nhất 6 đoạn thẳng có điểm chung với a1. Ngoài a1 và các đoạn thẳng có điểm chung với a1 còn ít nhất 50−7 = 43 đoạn thẳng.
Trong 43 đoạn thẳng gọi a2 là đoạn thẳng có đầu trái gần A nhất, khi đó có nhiều nhất 6 đoạn thẳng có điểm chung với a2. Ngoài a2 và các đoạn thẳng có điểm chung với a2 còn ít nhất 43−7 = 36 đoạn thẳng.
Cứ tiếp tục như vậy ta chọn đến đoạn thẳnga7 và các đoạn thẳng có điểm chung với nó, ta còn ít nhất đoạn thẳng.
Gọi một trong các đoạn còn lại là a8. Khi đó a1, a2, . . . , a8 là 8 đoạn thẳng đôi một phân biệt.
Mệnh đề 1.6.2. Trên một đường thẳng có (n2+ 1) đoạn thẳng, biết rằng không có (n+ 1) đoạn thẳng nào có điểm chung. Khi đó tồn tại (n+ 1) đoạn thẳng đôi một không có điểm chung.
Chứng minh. Giả sử (n2+ 1) đoạn thẳng thuộc tia Axnằm ngang, hướng từ trái qua phải.
Trong(n2+ 1)đoạn thẳng, gọia1 là đoạn thẳng có đầu trái gầnA nhất. Có nhiều nhất (n−1) đoạn thẳng có điểm chung với a1. Ngoài a1 và các đoạn thẳng có
điểm chung với nó, còn ít nhất (n2+ 1)−n đoạn thẳng.
Trong (n2+ 1)−n đoạn thẳng, gọi a2 là đoạn thẳng có đầu trái gần A nhất. Có nhiều nhất (n−1) đoạn thẳng có điểm chung với a2. Ngoài a2 và các đoạn thẳng có điểm chung với nó, còn ít nhất (n2+ 1)−2n
đoạn thẳng. Trong (n2+ 1)−2n
đoạn thẳng, gọi a3 là đoạn thẳng có đầu trái gầnA nhất. Có nhiều nhất (n−1) đoạn thẳng có điểm chung với a3. Ngoài a3 và các đoạn thẳng có điểm chung với nó, còn ít nhất (n2+ 1)−3n đoạn thẳng.
Cứ tiếp tục như vậy ta chọn đến đoạn thẳngan và các đoạn thẳng có điểm chung với nó, ta còn ít nhất (n2+ 1)−n2 = 1 đoạn thẳng.
Gọi một trong các đoạn còn lại làan+1. Ta có a1, a2, . . . , an+1 làn+ 1 đoạn thẳng đôi một không có điểm chung.
Mệnh đề 1.6.3. Tập hợp điểm S = {X1;X2;. . .;Xn}, trong đó n ≥ 3, trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì là khác nhau. Với mỗi i = 1,2, . . . , n ta vẽ một đoạn Ui nối điểm Xi với điểm Xj ∈ S\{Xi} gần nhất. Khi đó các đoạn Ui này không thể tạo thành một đường gấp khúc khép kín. Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng các đoạn Ui tạo thành một đường gấp khúc khép kín. Khi đó ta xét đoạn dài nhất XpXq của đường gấp khúc trên. Suy ra với mọi Xr 6=Xq thì |XpXr| <|XpXq|, khi đó Xq không phải là điểm gần Xp nhất. Vì thế không tồn tại đoạn XpXq.