4 Bài toán tô màu
4.2 Tô màu miền
Bây giờ chúng tôi xét tình huống sau: Mặt phẳng được chia thành các miền bởi hệ các đường cong. Nếu chúng ta muốn phân biệt các miền khác nhau (giống như phân biệt các quốc gia trên bản đồ) ta tô màu các miền này bằng các màu sắc khác nhau. Tuy nhiên khi làm vậy chúng ta phải đảm bảo hai miền "láng giềng" có màu khác nhau. Câu hỏi đặt ra ở đây là: Số màu ít nhất đáp ứng được yêu cầu này là bao nhiêu?
Từ giữa thế kỉ 19, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu để trả lời câu hỏi này. Vào cuối thế kỉ 19, P.L.Heawood đã chứng minh rằng số màu nhỏ nhất thỏa
mãn yêu cầu là năm màu. Cuối cùng vào năm 1976, W.Haken và L.Aplle đã chứng minh được số màu nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là bốn với sự trợ giúp của máy tính.
Mệnh đề 4.2.1. Chia mặt phẳng bởi n đường thẳng thành nhiều miền. Khi đó mỗi miền có thể được tô bởi một trong hai màu sao cho hai miền bất kì cùng màu không có nhiều hơn một điểm chung.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học theo n. Với n = 1, ta có hai nửa mặt phẳng, tô hai nửa mặt phẳng bởi hai màu khác nhau ta có điều cần chứng minh. Giả sử mệnh đề trên là đúng với n = k ≥ 1, và xét hệ P gồm (k+ 1) đường thẳng tùy ý trên mặt phẳng. Ta chọn một đường thẳng tùy ý l ∈P và xét trường hợp tô màu các miền của mặt phẳng được chia theo hệ thống k đường thẳng P0=P \ {l}. Ở một trong hai nửa mặt phẳng giới hạn bởil, ta giữ nguyên màu của các miền trong nửa mặt phẳng ấy, trong khi ở nửa mặt phẳng còn lại ta sẽ đổi màu tất cả các miền. Khi đó ta được mặt phẳng với các miền được tô màu thỏa mãn mệnh đề.
Mệnh đề 4.2.2. Chia mặt phẳng bởi n≥3 đường thẳng thành nhiều miền. Tô màu một số miền bởi một màu sao cho hai miền bất kì được tô màu có không quá một điểm chung trên biên. Khi đó số miền được tô màu không vượt quá
n2+n
3 .
Chứng minh. Gọip là số các miền được tô màu, S1 là tập hợp các miền được tô màu và bị chặn (miền là đa giác),S2 là tập hợp các miền được tô màu và không bị chặn. Khi đó p = |S1|+|S2|. Bất đẳng thức p ≤ n23+n rõ ràng là đúng trong trường hợp hệ đường thẳng đã cho song song với nhau; trong trường hợp này chúng ta có |S1|= 0 và |S2| ≤ hn2i+ 1, hơn nữa trong trường hợp này bất đẳng
thức hn2i+ 1 ≤ n23+n đúng với n ≥3.
Chúng ta lưu ý rằng mỗi đường thẳng trong hệ n đường thẳng có thể bị chia thành hai tia và nhiều nhất (n−2) đoạn thẳng bởi các giao điểm với (n−1)
đường thẳng kia. Do đó chúng ta thu được một hệ gồm 2n tia và nhiều nhất n(n −2) đoạn thẳng, trong đó mỗi tia hay đoạn thẳng thuộc nhiều nhất một miền được tô màu. Vì mỗi miền M ∈S1 là một k-giác nào đó (k ≥3), chúng ta có 3|S1| ≤n(n−2). Mỗi miền M ∈S2 chứa hai tia, nên ta có 2|S2| ≤2n. Suy ra p=|S1|+|S2| ≤ n(n3−2) +n= n23+n. Ta có điều phải chứng minh.