Mët h m f x¡c ành tr¶n h¼nh nân C ÷ñc gåi l thu¦n nh§t d÷ìng n¸u
f(λx) =λf(x) ∀x ∈ C v λ >0.
Mët h m p :E → R ÷ñc gåi l cëng t½nh d÷îi n¸u
p(x+y) ≤ p(x) +p(y),∀x,y ∈ E
v cëng t½nh tr¶n n¸u −p l cëng t½nh d÷îi, p ÷ñc gåi l tuy¸n t½nh d÷îi n¸u nâ vøa thu¦n nh§t d÷ìng vøa cëng t½nh d÷îi.
Mët h m tuy¸n t½nh d÷îi l nûa chu©n n¸u p(λx) = |λ|p(x),∀λ ∈R. H m nûa chu©n l chu©n n¸u p(x) = 0 =⇒ x = 0.
Nûa chu©n l cæng cö trong lþ thuy¸t khæng gian lçi àa ph÷ìng.
Bê · 2.3.1. N¸u f l h m thu¦n nh§t d÷ìng x¡c ành tr¶n nân lçi C, th¼ f lçi (t.÷ lãm) n¸u v ch¿ n¸u f cëng t½nh d÷îi (t.÷ cëng t½nh tr¶n).
Chùng minh. Gi£ sû r¬ng f lçi v x,y ∈ C. Khi â, v¼ f thu¦n nh§t d÷ìng n¶n ta câ:
1 2f(x+y) =f x+y 2 ≤ 1 2 f(x) +f(y) . Do â, f(x+y) ≤ f(x) +f(y). Vªy f cëng t½nh d÷îi
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f l cëng t½nh d÷îi. Khi â, v¼ f thu¦n nh§t d÷ìng n¶n ∀x,y ∈ C v λ ∈(0,1) ta câ:
f (1−λ)x+λy ≤ f (1−λ)x+f(λx) = (1−λ)f x +λf(y).
suy ra
f (1−λ)x +λy≤ (1−λ)f x+λf(y).
Vªy f lçi.
èi vîi h m lãm, ta chùng minh t÷ìng tü nh÷ sau: Gi£ sû r¬ng f lãm v x,y ∈ C.
Khi â, v¼ f thu¦n nh§t d÷ìng n¶n ta câ:
1 2f(x+y) =f x+y 2 ≥ 1 2 f(x) +f(y) . Do â, f(x+y) ≥ f(x) +f(y) ⇒ −f(x+y)≤ −f(x)−f(y). Vªy −f cëng t½nh d÷îi ⇒f cëng t½nh tr¶n.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f l cëng t½nh tr¶n, tùc l −f cëng t½nh d÷îi. Khi â, v¼ f thu¦n nh§t d÷ìng n¶n ∀x,y ∈C v λ ∈ (0,1) ta câ:
f (1−λ)x+f(λy) = (1−λ)f(x) +λf(y) ⇒(−f) (1−λ)x+ (−f)(λy) = (1−λ)(−f)(x) +λ(−f)(y). v¼ −f cëng t½nh d÷îi n¶n (−f) (1−λ)x+λy≤ (−f) (1−λ)x+ (−f)(λy) ⇒f (1−λ)x +λy≥ f (1−λ)x+f(λy) suy ra f (1−λ)x+λy ≥ (1−λ)f(x) +λf(y). Vªy f lãm.
Bê · 2.3.2. Cho f l h m thu¦n nh§t d÷ìng x¡c ành tr¶n nân lçi C v ¤t gi¡ trà d÷ìng. N¸u tªp mùc {x ∈ C :f(x) ≤ 1} lçi th¼ f lçi.
Nâi c¡ch kh¡c, måi h m thu¦n nh§t d÷ìng, tüa lçi, v d÷ìng th¼ lçi. Chùng minh. Theo bê · (2.3.1), f thu¦n nh§t d÷ìng n¶n f l cëng t½nh d÷îi. Do â, l§y x,y ∈ C v chån α, β sao cho α > f(x), v β > f(y).
V¼ f d÷ìng v thu¦n nh§t d÷ìng n¶n f x α = 1 αf(x) ≤ 1 v f y β = 1 βf(y) ≤ 1. V¼ vªy, c£ x α v y β ·u n¬m trong tªp mùc {x ∈C : f(x ≤ 1)}. Gi£ sû tªp mùc n y lçi, khi â ta câ:
1 α+βf(x+y) =f x+y α+β =f α α+β · x α + β α+β · y β = α α+βf x α + β α+βf y β ≤ α α+β + β α+β = 1, ngh¾a l , f(x+y)≤ α+β trong â α > f(x), β > f(y). V¼ vªy, f(x+y) ≤ f(x) +f(y). Vªy f l cëng t½nh d÷îi.
Theo Bê ·(2.3.1) ta suy ra f lçi.
V½ dö 2.3.3. Cho p ≥ 1, x²t h m f tr¶n tªp Rn+ cho bði cæng thùc
f(x1, . . . , xn) = (xp1+. . .+xpn)1/p.
D¹ d ng chùng minh ÷ñc f d÷ìng v thu¦n nh§t d÷ìng, v fp l h m lçi. V¼ vªy, tªp mùc
{x ∈ X :f(x) ≤ 1} = {x ∈X :fp(x) ≤ 1}
lçi, v i·u n y chùng tä r¬ng f l h m lçi. Theo bê · (2.3.1) ta k¸t luªn
f cëng t½nh d÷îi.
H m gi¡ cõa mët tªp C lçi kh¡c réng tr¶n khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E x¡c ành bði cæng thùc:
σC(u∗) = sup
x∈C
D¹ d ng chùng minh ÷ñc ¥y l h m tuy¸n t½nh d÷îi nûa li¶n töc d÷îi, ¤t gi¡ trà tr¶n R ∪ {∞}. Tªp x¡c ành cõa h m gi¡ l nân lçi, tªp x¡c ành l khæng gian E n¸u v ch¿ n¸u C bà ch°n. Khi E = Rn, khæng gian èi ng¨u câ thº ÷ñc x¡c ành b¬ng E, v¼ vªy
σC(u) = sup
x∈C
hx,ui, u ∈R.
Hìn núa, n¸u kuk = 1, th¼ tªp Hα = {x ∈ R : hx,ui = α} ¤i di»n cho si¶u ph¯ng song song, câ u l v²c tì ph¡p tuy¸n, α = σC(u) l gi¡ trà m
Hα l gi¡ cõa C v C chùa trong nûa khæng gian Hα−.
H m gi¡ cõa nân ìn C = {a} trong Rn l hC(u) = hu,ai, trong tr÷íng hñp C l h¼nh c¦u ìn và âng th¼ hC(u) = kuk.
ành lþ 2.3.4 (L.Hormander¨ ). a) H m gi¡ σC cõa tªp C ⊂ Rn kh¡c réng lçi compact l lçi v thu¦n nh§t d÷ìng. Hìn núa,
C = {x ∈Rn : hx,xi ≤ σC(u), vîi méi u ∈Rn},
cho th§y r¬ng C l giao cõa t§t c£ c¡c nûa khæng gian chùa nâ.
b) Ng÷ñc l¤i, cho h: Rn →R l h m lçi thu¦n nh§t d÷ìng. Khi â, tªp
C = {x ∈ Rn : hx,xi ≤ h(u), vîi méi u∈ Rn},
l tªp kh¡c réng, compact, lçi v h m gi¡ cõa nâ l h.
Chùng minh. (a) D¹ d ng chùng minh ÷ñcC ⊂ {x ∈ Rn : hx,ui ≤ σC(u)
vîi méi u ∈ Rn v z ∈/ C, khi â, theo cì sð ành lþ t¡ch ta suy ra sü tçn t¤i cõa vectì u sao cho σC(u) = sup{hx,ui : x ∈ C} < hz,ui i·u n y m¥u thu¨n. V¼ vªy z ∈C.
(b) Theo ành lþ (2.2.1), ∂h(v) 6= vîi méi v ∈ Rn. N¸u x ∈ ∂h(v), th¼ h(u) ≥ h(v) + hu − v,xi vîi måi u. Thay u bði λu (vîi λ > 0 cè ành b§t k¼) v t½nh ¸n vi»c h l thu¦n nh§t d÷ìng, ta suy luªn r¬ng
h(u)≥ h(v)/λ+hu−v/λ,xi, khi â, cho λ → ∞, ta suy ra h(u) ≥ hu,vi
vîi måi u ∈ Rn. V¼ vªy C chùa li¶n hñp tªp c¡c d÷îi vi ph¥n ∂f(v). °c bi»t, nâ l tªp réng. C công l tªp lçi âng l giao cõa c¡c khæng gian con âng.
hx,eki ≤ h(ek) vîi t§t c£ k, thäa m¢n t½nh âng cõa C. V¼ vªy C l tªp compact.
Rã r ng σC ≤ h. èi vîi b§t ¯ng thùc kh¡c, chån tòy þ u ∈ Rn
v z ∈ ∂h(u) v l÷u þ r¬ng 0 = h(0) ≥ h(u) + h0 − u,zi, ngh¾a l ,
h(u)≤ hu,zi. V¼ z ∈ C ta k¸t luªn r¬ng h(u) ≤ σC(u).
H» qu£ 2.3.5. N¸u 2 tªp kh¡c réng, compact, v lçi trong Rn câ còng gi¡ th¼ chóng tròng nhau.
Cho C l tªp lçi kh¡c réng trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E. H m Minkowski li¶n îi C l h m
γC :E →R∪ {∞}, γC(x) = inf{λ >0 : x ∈ λC},
vîi quy ÷îc γC(x) = ∞ n¸u x ∈ λC, λ ≤ 0.
M»nh · 2.3.6. N¸u tªp C lçi âng v chùa iºm gèc th¼:
a) h m Minkowski γC l h m nûa li¶n töc d÷îi, tuy¸n t½nh d÷îi, v d÷ìng. b)C = {x ∈ E :γC(x) ≤ 1}
c) γC l h m gi¡ trà thüc v li¶n töc n¸u iºm gèc n¬m ð ph¦n trong cõa
C.
Chùng minh. D¹ d ng chùng minh ÷ñc γC ≥ 0 v γC(0) = 0. T½nh thu¦n nh§t d÷ìng cõa γC nh÷ sau:
γC(λx) = inf{µ > 0 : λx ∈ µC} = inf{µ > 0 : x ∈ λ−1µC} = λinf{λ−1µ > 0 :x ∈ λ−1µC} = λinf{τ > 0 :x ∈ τ C} =λγC(x),
vîi måi λ >0,x ∈ domγC. Ta câ:
{x ∈ E : γC(x)< 1} ={x ∈ E : inf{λ >0 : λ−1x ∈ C} ≤1} ={x ∈ E :λ−1x ∈C}∀> 1}
= \
λ>1
theo bê · (2.3.2), γC l h m lçi. Theo bê · (2.3.1), ta th§y γC thªt sü tuy¸n t½nh d÷îi. M°c kh¡c, do t½nh thu¦n nh§t d÷ìng cõa γC, ta câ
{x ∈E : γC(x)< r} = rC,∀r > 0, v¼ vªy γC l nûa li¶n töc d÷îi.
N¸u 0 l iºm trong cõa C, th¼ C chùa h¼nh c¦u âng B¯(0) vîi > 0. Khi â méi iºm x ∈ E,x 6= 0, thäa m¢n cæng thùc
γC(x) =γC kxk · x kxk = kxk γC x kxk ≤ 1 kxk < ∞,
Do â, γC húu h¤n khp nìi.
H» qu£ 2.3.7. N¸u C ⊂ E l tªp con âng, bà ch°n, v intC 6= ∅, th¼ C
çng nh§t vîi h¼nh c¦u âng B ={x ∈ E : kxk ≤ 1}.
Chùng minh. Gi£ sû 0 ∈ intC, khi â, tçn t¤i r >0 sao cho C chùa t§t c£ x ∈ E vîi kxk ≤r, khi â γC(x) ≤ kxk/r,∀x ∈ E.
V¼ C bà ch°n, n¶n câ sè R >0 sao cho kxk ≤ R,∀x ∈ C.
Do â, n¸u x ∈λC, th¼ kx/λk ≤R, khi â γC(x) ≥ kxk/R,∀x ∈ E. K¸t qu£ l t½nh li¶n töc cõa h m Minkowski γC, thªt vªy:
|γC(x)−γC(y) ≤ max{γC(x−y), γC(y −x)} ≤ 1 rkx−yk,∀x,y ∈ E. L÷u þ r¬ng ¡nh x¤: T : E → E, T(x) = 0 n¸u x = 0, γC(x) x kxk n¸u x 6= 0.
li¶n töc vîi nghàch £o li¶n töc v T(C) =B.