¤o h m theo h÷îng

Một phần của tài liệu Hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn (Trang 44 - 51)

D÷îi vi ph¥n câ thº ÷ñc biºu thà qua c¡c sè h¤ng cõa ¤o h m theo h÷îng.

ành ngh¾a 2.4.1. Cho f :E → R∪ {∞} l  h m ch½nh th÷íng x¡c ành tr¶n khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E. ¤o h m b¶n ph£i cõa f t¤i a ∈ int(dom f) so vîi v ∈E ÷ñc x¡c ành qua cæng thùc

f+0 (a;v) = lim

t→0+

f(a+tv)−f(a)

M»nh · 2.4.1 (B§t ¯ng thùc ba d¥y c«ng). Cho h m f : E → R. Vîi

x, y, z ∈ R, f l  h m lçi khi v  ch¿ khi f thäa m¢n b§t ¯ng thùc sau:

f(z)−f(x)

z−x ≤ f(y)−f(x)

y−x ≤ f(y)−f(z) y−z .

C¡c °c tr÷ng ch½nh cõa ¤o h m theo h÷îng ph£i ÷ñc tâm t­t trong bê · d÷îi ¥y.

Bê · 2.4.2. Gi£ sû f : E → R ∪ {∞} l  h m lçi ch½nh th÷íng v  a ∈ int(dom f). Khi â:

(a) ¤o h m theo h÷îng ph£i f+0 (a;v) l  h m gi¡ trà thüc, tuy¸n t½nh d÷îi v  thu¦n nh§t d÷ìng cõa v ∈ E;

(b) f+0 (a; 0) = 0 v 

f+0 (a;v) =−f+0 (a;−v),∀v ∈ E;

(c) n¸u f li¶n töc t¤i a, th¼ ¤o h m theo h÷îng f+0 (a;v) l  h m li¶n töc trong v.

Chùng minh. (a) v  (b)

V¼ a ∈ int(dom f), do â câ sè ε > 0 sao cho h m t → f(a + tv) lçi tr¶n kho£ng [−ε;ε] vîi v ∈ E. Theo b§t ¯ng thùc ba d¥y c«ng, t¿ sè

f(a+tv)−f(a)

t l  h m t«ng cõa t, mang l¤i

f(a−εv)−f(a) −qε ≤ f(a−tv)−f(a) t ≤ f(a+tv)−f(a) t ≤ f(a +εv)−f(a) ε

vîi måi t ∈ (0, ε]. i·u n y d¹ d ng chùng tä ÷ñc sü tçn t¤i v  t½nh húu h¤n cõa f+0 (a;v) v  f+0 (a;−v), do â −f+0 (a;−v)≤ f+0 (a;v). L÷u þ r¬ng

f+0 (a;v) = lim

t>0

f(a+tv)−f(a)

v  f+0 (a; 0) = 0. èi vîi t½nh thu¦n nh§t d÷ìng cõa f+0 (a;.), ta câ: f+0 (a;αv) = lim t→0+ f(a+tαv)−f(a) t = α lim t→0+ f(a+tαv)−f(a) αt = α lim s→0+ f(a+sv)−f(a) s = αf+0 (a;v) vîi måi α >0.

Ta câ f+0 (a;·) l  cëng t½nh d÷îi (v  v¼ vªy công tuy¸n t½nh d÷îi).

(c) N¸u f li¶n töc t¤i a, th¼ f Lipschitz trong h¼nh c¦u âng B¯R(a). V¼ vªy, câ sè M > 0 sao cho vîi måi v ∈ E,v 6= 0,

f(a+tv)−f(a) t ≤ Mkvk,∀t ∈ (0, R kvk).

i·u n y ngh¾a l  f+0 (a;v) ≤ Mkvk,∀v ∈ E v  t½nh li¶n töc cõa f+0 (a;v)

thäa m¢n.

B¥y gií ta th£o luªn v· sü li¶n k¸t giúa d÷îi gradient v  ¤o h m theo h÷îng ph£i.

Bê · 2.4.3. Gi£ sû r¬ng f : E → R∪ {∞} l  h m lçi ch½nh th÷íng v  a ∈ int(dom f). Khi â x∗ ∈ E∗ l  d÷îi gradient cõa f t¤i a n¸u v  ch¿ n¸u

x∗(v) ≤ f+0 (a,v), vîi måi v ∈ E.

Chùng minh. N¸u x∗ ∈∂f(a) th¼ vîi méi v ∈ E v  méi t > 0 ta câ:

x∗ ≤ f(a+tv)−f(a)

t ,

khi â, b¬ng c¡ch l§y giîi h¤n khi t → 0+, ta k¸t luªn r¬ng x∗(v) ≤ f+0 (a;v).

Ng÷ñc l¤i, n¸u f+0 (a;v) vîi måi v ∈ E th¼ cæng thùc (2.8) thäa

x∗(v) ≤ f+0 (a;v) ≤ f(a+tv)−f(a)

t vîi måi v ∈ E v  t > 0.

Trong ph¦n n y, vîiv = x−a v t = 1, ta thu ÷ñcx∗(x−a)≤ f(x)−f(a), ngh¾a l  x∗ ∈ ∂f(a). Chùng minh xong.

ành lþ 2.4.4 (Cæng thùc cüc ¤i Moreau). N¸u f : E → R∪ {∞} l  h m lçi ch½nh th÷íng v  f li¶n töc t¤i a, th¼ ∂f(a) l  tªp réng v 

f+0 (a;v) = max{x∗(v) : x∗ ∈ ∂f(a)}.

Nâi c¡ch kh¡c, f+0 (a;·) l  h m gi¡ cõa ∂f(a)}.

Chùng minh. Theo bê · (2.4.3) ta ph£i chùng minh r¬ng vîi v ∈ E

cè ành tòy þ, câ mët d÷îi gradient x∗ ∈ E sao cho x∗(v) = f+0 (a;v).

i·u n y câ ÷ñc tø ành lþ Hahn-Banach. Hìn núa, theo bê · (2.4.2) (c), h m tuy¸n t½nh d÷îi x → f+0 (a;x) li¶n töc v  tçn t¤i h m tuy¸n t½nh x∗ : E → R sao cho x∗(v) = f+0 (a;v) v  x∗(v) ≤ f+0 (a;v) vîi måi x ∈ E. Nâ v¨n cán º chùng minh t½nh li¶n töc cõa x∗ t¤i iºm gèc. Ta câ

lim supx→0x∗(x) ≤ limx→0f+0 (a;x) = 0 v 

lim sup x→0 x∗(−x) =−lim inf x→0x∗(x) ≤ lim x→0f+0 (a;−x) = 0, v¼ vªy 0 ≤ lim inf x→0 x∗(x)≤ lim sup x→0 x∗(x) ≤ 0, ngh¾a l  lim x→0x∗(x) = 0.

Li¶n quan ¸n cæng thùc cüc ¤i Moreau, l÷u þ r¬ng méi tªp C kh¡c réng, lçi, compact trong Rn ta câ

∂σC(0) = C v  (σC)0(0;·) =σC.

ành lþ 2.4.5 (D÷îi vi ph¥n cõa h m cüc ¤i). Gi£ sû f1, . . . , fn l  c¡c h m lçi gi¡ trà thüc tr¶n Rn v  k½ hi»u

f = max{f1, . . . , fn}.

Vîi a ∈ Rn, °t J(a) ={j : fj(a) = f(a)} l  tªp ch¿ sè ho¤t ëng. Khi â

∂f(a) = conv(∪j∈J(a)∂fj(a)).

Chùng minh. Ta câ∂f(a)l  tªp lçi âng v ∂f(a) ⊃ ∂fj(a),∀j ∈ J(a). V¼ h m fk li¶n töc, n¶n tçn t¤i > 0 sao cho fk(x) < f(x) vîi måi k /∈ J(a)

x ∈ B(a). Khi â vîi méi v ∈Rn {0} cè ành tòy þ v  0 > t < kvk ta câ f(a+tv) = maxj∈J(a)f(a+tv). V¼ vªy, f+0 (a;v) = lim t→0+ f(a+tv)−f(a) t = lim t→0+ max j∈J(a) fj(a+tv)−f(a) t = lim t→0+ max j∈J(a) fj(a+tv)−fj(a) t = max j∈J(a)fj0(a,v) = max j∈J(a) hv, x∗ji : x∗j ∈ ∂fj(a) = max hv, x∗i :x∗ ∈ [ j∈J(a) ∂fj(a) = max hv, x∗i :x∗ ∈conv [ j∈J(a) ∂fj(a) ,

i·u n y chùng tä r¬ng h m v → f+0 (x;v) l  gi¡ cõa tªp lçi C =

conv ∪j∈J(x)∂fj(x).

Theo ành lþ (2.4.4), h m n y công l  gi¡ cõa ∂f(x), v¼ vªy theo ành lþ (2.3.4) ta k¸t luªn r¬ng hai tªp n y tròng nhau.

ành lþ 2.4.6. [Quy t­c têng d÷îi vi ph¥n] Gi£ sû f1 v  f2 l  hai h m lçi gi¡ trà thüc tr¶n Rn v  t1, t2 > 0. Khi â, vîi méi x ∈ Rn,

∂(t1f1+t2f2)(x) =t1∂f1(x) +t2∂f2(x).

Chùng minh. Thªt vªy t1∂f1(x) +t2∂f2(x) l  c¡c tªp lçi compact m  gi¡ cõa chóng l t1f10(x;·) +t2f20(x;·). M°t kh¡c, h m gi¡ cõa∂(t1f1+t2f2)(x)

(t1f1+t2f2)0(x;·) = t1f10(x;·) +t2f20(x;·).

V¼ vªy, hai tªp lçi compactt1∂f1(x) +t2∂f2(x)v  ∂(t1f1+t2f2)(x) câ còng gi¡, do â, chóng tròng nhau.

ành lþ 2.4.7 (D÷îi vi ph¥n cõa h m th nh ph¦n). Cho f l  h m lçi gi¡ trà thüc tr¶n Rn v  cho A l  bi¸n êi tuy¸n t½nh tø Rm v o Rn. Khi â,

vîi méi x ∈ Rm,

∂(f ◦A)(x) =A∗∂f(Ax).

Chùng minh. Theo ành ngh¾a ¤o h m theo h÷îng v  cæng thùc cüc ¤i Moreau, ta câ thº chùng minh r¬ng (f ◦ A)0(x,v) = f0(Ax, Av). V¼ vªy h m gi¡ cõa tªp lçi compact ∂(f ◦A)(x) thäa m¢n cæng thùc

σ∂(f◦A)(x)(v) =f0(Ax, Av). M°t kh¡c, σA∗∂f(Ax)(v) = sup y∈∂f(Ax) hA∗y,vi= sup y∈∂f(Ax) hy, Avi =f0(Ax, Av).

Do â c¡c tªp lçi compact ∂(f ◦A)(x) v  A∗∂f(Ax) câ còng gi¡. V¼ vªy, chóng tròng nhau.

ành ngh¾a 2.4.2. Gi£ sû E v  F l  hai khæng gian Banach thüc v  U l  tªp con mð cõa E. H m f : U → F ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux t¤i iºm a ∈ U n¸u ¤o h m theo h÷îng

f0(a,v) = lim

t→0

f(a +tv)−f(a) t

tçn t¤i vîi méi v ∈ E v  x¡c ành mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc f0(a) :

v → f0(a,v) tø E v o F (÷ñc gåi l  vi ph¥n G¥teaux cõa f t¤i a theo h÷îng v).

Trong tr÷íng hñpf l  h m gi¡ trà thüc x¡c ành tr¶nRn, kh£ vi G¥teaux ngh¾a l  sü tçn t¤i cõa t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng

∂f ∂xk(a) =f 0(a)(ek) vîi k = 1, . . . , n, trong â e1 = (1,0, . . . ,0), . . . ,en = (0,0, . . . ,1) l  cì sð cõa Rn. V¼ vªy, f0(a)((v) =h5f(a),vi vîi måi v ∈ Rn, trong â 5f(a) = n X k=1 ∂f ∂xk(a)ek

k½ hi»u cho gradient cõa f t¤i a.

Trong tr÷íng hñp f l  h m lçi ch½nh th÷íng f : E → R ∪ {∞}, ành ngh¾a vi ph¥n G¥teaux ¡p döng t¤i c¡c iºm a ∈ int(dom f ). Theo bê · (2.4.3), h m f li¶n töc v  kh£ vi G¥teaux t¤i iºm a ∈int(dom f ), n¸u v  ch¿ n¸u

f+0 (a,v) = −f+0 (a,−v) vîi måi v ∈ E.

Thªt vªy, h m p tuy¸n t½nh d÷îi l  tuy¸n t½nh n¸u v  ch¿ n¸u p(−x) = −p(x) vîi måi x. i·u ki»n li¶n töc ÷ñc tü ëng ho n th nh khi E húu h¤n chi·u.

M»nh · 2.4.8. N¸u h m lçi ch½nh th÷íng f : E → R ∪ {∞} kh£ vi G¥teaux t¤i iºm a ∈ int(dom f), th¼

∂f(a) ={f0(a)}

v  b§t ¯ng thùc d÷îi gradient trð th nh

f(x) ≥ f(a)(x−a) vîi måi x ∈ E.

Chùng minh. D¹ d ng chùng minh ÷ñc f0(a) ∈ ∂f(a). N¸u x∗ ∈ ∂f(a), th¼ x∗(v)≤ f0(a)(v) vîi måi v ∈E. Thay v bði −v, ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc ng÷ñc l¤i. Do â, x∗ = f0(a).

H» qu£ 2.4.9. Cho f : E → R∪ {∞} l  h m lçi ch½nh th÷íng li¶n töc t¤i iºm a ∈ int(dom f). Khi â f kh£ vi G¥teaux t¤i a n¸u v  ch¿ n¸u f

câ gi¡ duy nh§t t¤i a.

Chùng minh. Gi£ sû∂f(a) ={x∗}. Khi â, theo cæng thùc cüc ¤i Moreau,

f+0 (a,v) =x∗(v) v  f+0 (a,−v) = x∗(v) vîi måi v ∈ E. Theo nhªn x²t sau ành ngh¾a, ta th§y r¬ng f kh£ vi G¥teaux t¤i a.

N¸u E húu h¤n chi·u, khi â i·u ki»n li¶n töc trong H» qu£ (2.4.9) l  tü ëng.

ành lþ 2.4.10 (D÷îi vi ph¥n tèi ÷u). Cho E l  khæng gian Banach v 

f :E →R∪ {∞} l  h m lçi ch½nh th÷íng. Khi â iºm a ∈ dom f l  cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f n¸u v  ch¿ n¸u f l  d÷îi vi ph¥n t¤i a v 

0 ∈∂f(a).

N¸u a ∈ int(dom f) v  f câ ¤o h m t¤i a, th¼ i·u ki»n 0 ∈ ∂f(a) rót th nh f0(a) = 0.

Một phần của tài liệu Hàm lồi trên không gian tuyến tính định chuẩn (Trang 44 - 51)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(68 trang)