Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm khác nhau về tính liên tục và đơn điệu của toán tử, đồng thời chỉ ra mối liên hệ giữa chúng. Các khái niệm này dẫn đến các dạng khác nhau của định lí về toán tử đơn điệu và ứng dụng của nó.
Định nghĩa 2.5. Cho A : V → V0 là một toán tử trên không gian Banach V. Chúng ta có các khái niệm liên tục như sau
(C) A liên tục nếu và chỉ nếu un →u ⇒Aun →Au;
(dC) A nửa liên tục nếu và chỉ nếu un → u ⇒Aun * Au;
(sC) A liên tục mạnh nếu và chỉ nếu un * u ⇒ Aun → Au;
(wC) A liên tục yếu nếu và chỉ nếu un * u ⇒ Aun * Au;
(cC) Aliên tục hoàn toàn nếu và chỉ nếu Alà liên tục và biến các tập đóng bị chặn thành các tập compact;
(hC) A liên tục yếu trên đường thẳng nếu và chỉ nếu
(lC) A liên tục trên đường thẳng nếu và chỉ nếu
{tn} ⊂ R, tn → 0⇒ A(u+tnv) → A(u);
(LC) A liên tục Lipschitz nếu và chỉ nếu
∃L > 0,kAu−Avk ≤ Lku−vk,
(uC) A liên tục đều nếu và chỉ nếu tồn tại hàm số M : R+ → R+,
limt→0+M(t) = 0 ta có
kAu−Avk ≤ M(ku−vk);
(fC) A liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu
Vn ⊂V,dim(Vn) < ∞ ⇒ A |Vn: Vn → Vn0 là liên tục;
(B) Abị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại hàm số đơn điệu tăng M :R+ →R+ sao cho kAukV0 ≤ M(kvkV).
Bổ đề 2.1.
(a) Các khẳng định trong sơ đồ sau đây thỏa mãn
Hình 2.1
Khẳng định (∗) chỉ xảy ra nếu không gian V là không gian phản xạ.
sC = wC = dC = fC và lC = hC. Đối với các toán tử là tuyến tính chúng ta có cC=sC và LC=uC=C=B.
(b) Tập hợp các toán tử liên tục theo mỗi khái niệm được giới thiệu ở trên tạo thành một không gian tuyến tính, tức là
A1, A2 ∈ xC ⇒t1A1 +t2A2 ∈ xC, ∀t1, t2 ∈ R;
(c) Tổng của hai toán tử liên tục theo các khái niệm khác nhau nhưng có thể so sánh được với nhau tạo thành một toán tử liên tục theo nghĩa yếu hơn.
Chứng minh. Các khẳng định (a), (b) và (c) được suy ra từ định nghĩa và
tính chất về sự hội tụ mạnh và sự hội tụ yếu.
Nhận xét 2.5. Nói chung, tất cả các định nghĩa ở trên xác định các tập hợp toán tử khác nhau.
Ví dụ một toán tử cC không là sC, chẳng hạn, xét toán tử A: u ∈ l2 7→
(kuk,0,0, ...) ∈ l2 là một toán tử thuộc lớp cC.
Xét dãy un = {δin} = (0, ...,0,1,0, ...), ta có un * 0 nhưng Aun = (1,0,0, ...) 6= 0 = A(0). Hơn nữa, một toán tử liên tục không cần bị chặn, chẳng hạn như toán tử
A :u = (ξ1, ξ2, ξ3, ...) ∈ l2 7→(ξ1, ξ22, ξ33, ξ44, ...) ∈ l2
là liên tục nhưng không bị chặn bởi vì với dãyun = {2δin} ta có kunk = 2
và kAunk = 2n.
Định nghĩa 2.6 (Các khái niệm đơn điệu và điều kiện bức). Cho
A :V → V0 là một toán tử trên không gian Banach. Chúng ta có các khái niệm sau đây
(sM) A được gọi là đơn điệu mạnh nếu và chỉ nếu tồn tại α > 0 sao cho hAu−Av, u−vi ≥ αku−vk2, ∀u, v ∈ V.
(uM) A được gọi là đơn điệu đều nếu và chỉ nếu tồn tại hàm a :R+ →R+ tăng, limt→0+a(t) = 0 và limt→∞a(t) =∞ sao cho
(rM) A được gọi là đơn điệu chặt nếu và chỉ nếu
hAu−Av, u−vi > 0, ∀u, v ∈ V, u 6= v.
(M) A được gọi là đơn điệu nếu và chỉ nếu
hAu−Av, u−vi ≥ 0, ∀u, v ∈ V.
(K) A được gọi là thỏa mãn điều kiện bức nếu và chỉ nếu
lim
kuk→∞
hAu, ui
kuk = ∞.
(wK) A được gọi là thỏa mãn điều kiện bức yếu nếu và chỉ nếu
lim
kuk→∞kAuk = ∞.
Ngoài các khái niệm về tính đơn điệu và điều kiện bức ở trên, chúng ta nói rằng toán tử A thỏa điều kiện
(S)+ nếu và chỉ nếu [un * u,lim suphAun −Au, un −ui ≤ 0] ⇒un →u;
(S) nếu và chỉ nếu [un * u,hAun −Au, un−ui → 0] ⇒un → u;
(S)0 nếu và chỉ nếu [un * u, Aun * b,hAun −Au, un −ui → hb, ui] ⇒
un → u;
(P) nếu và chỉ nếu un * u ⇒lim suphAun, un −ui ≥ 0.
Nhận xét 2.6.
(a) Các khái niệm đơn điệu sM, uM, rM và M có đặc trưng địa phương theo nghĩa sau: nếu các bất đẳng thức thỏa mãn theo nghĩa địa phương, tức là với mỗi u, v ∈ U, U ∈ O, trong đó O là một phủ mở của không gian V thì bất đẳng thức cũng thỏa mãn với mọi u, v ∈ V.
(b) Trong định nghĩa về tính đơn điệu đều chúng ta có thể giả sử rằng hàm a(tt) không giảm. Hơn nữa, nếu a(t) có đạo hàm một phía a0(0+) > 0
thì toán tử A là đơn điệu mạnh.
(c) Các toán tử đơn điệu đều thỏa mãn khẳng định sau hAun −Au, un−ui →0 ⇒un → u.
Trong điều kiện S, chúng ta cần thêm dãy {un} hội tụ yếu về u để suy ra sự hội tụ mạnh. Điều kiện S nhằm đảm bảo cho sự hội tụ mạnh của các xấp xỉ Galerkin, xem Định lí 2.9(b).
(d) Trong các định nghĩa của điều kiện (S)+ và (S) chúng ta có thể thay thế hAun −Au, un −ui bởi hAun, un −ui bởi vì từ điều ki un * u
suy ra hAu, un−ui →0. Bổ đề 2.2.
(a) Các khẳng định trong sơ đồ sau đây thỏa mãn
Hình 2.2
(b) Các tập hợp gồm các toán tử theo mỗi khái niệm M, rM, uM, sM, K tạo thành các nón, tức là
A1, A2 ∈ xM ⇒A1 +A2 ∈ xM, tA1 ∈ xM, t > 0.
(c) Tổng của hai toán tử đơn điệu (so sánh được) theo một trong các khái niệm M, rM, uM, sM cho ta một toán tử đơn điệu mạnh hơn. Cộng thêm một toán tử đơn điệu M hoặc rM không làm thay đổi điều kiện bức của toán tử cho trước.
Chứng minh. Các khẳng định (a), (b) và (c) được suy ra từ định nghĩa và
Định nghĩa 2.7. Cho A : V → V0 là một toán tử trên một không gian Banach. Chúng ta nói rằng toán tử A là giả đơn điệu nếu và chỉ nếu khẳng định sau thỏa mãn
(P M)
Nếu un * u và lim suphAun, un −ui ≤ 0
thì lim infhAun, un −vi ≥ hAu, u−vi, ∀v ∈ V.
Hơn nữa, ta nói toán tử A thỏa điều kiện
(M) nếu và chỉ nếu
[un * u, Aun * b, lim suphAun, uni ≤ hb, ui] ⇒Au = b,
(M)0 nếu và chỉ nếu
[un * u, Aun * b, hAun, uni → hb, ui] ⇒Au = b.
Nhận xét 2.7. Trong không gian hữu hạn chiều một toán tử liên tục là giả đơn điệu và một toán tử giả đơn điệu bị chặn địa phương là toán tử liên tục.
Bổ đề 2.3. Cho A : V → V0 là một toán tử trên không gian Banach
phản xạ V. Khi đó các khẳng định trong sơ đồ sau thỏa mãn
Hình 2.3
Chứng minh. (a) Liên tục mạnh ⇒ (P M).
Giả sử rằng giả thiết của (P M) thỏa mãn. Bởi tính liên tục mạnh, từ
un * u ta có Aun → Au. Do đó, ta có hAun, un −vi → hAu, u −vi và điều này suy ra (P M) thỏa mãn.
(b) Nửa liên tục và (S)+ ⇒(P M).
(S)+ cũng thỏa mãn. Do đó, từ điều kiện (S)+ suy ra un → u. Tính nửa liên tục cho ta Aun * Au. Để kiểm tra (P M), ta thấy
lim infhAun, un −vi = limhAun, un−ui+ limhAun, u−vi = hAu, u−vi vì
hAun, un −ui |≤ kAunkkun −uk → 0.
(c) Đơn điệu và liên tục yếu trên đường thẳng ⇒ (P M).
Giả sử rằng các giả thiết của (P M) thỏa mãn, tức là un →u và
lim suphAun, un −ui ≤ 0. (2.25) Cho v ∈ V. Chúng ta cần ước lượng lim inf của biểu thức
hAun, un−vi = hAun, un−ui+hAun, u−vi.
Số hạng đầu tiên của vế bên phải dần về 0 bởi (2.25) và tính chất đơn điệu cho ta đánh giá chiều ngược lại
hAun, un−ui ≥ hAun, un −ui → 0.
Để ước lượng số hạng thứ hai hAun, u −vi, ta đặt w = u−t(u−v),
t > 0. Tính chất đơn điệu của toán tử A suy ra hAun−Aw, un−wi ≥ 0, tức là
hAun, un−ui+thAun, u−vi − hAw, un−ui −thAw, u−vi ≥ 0. (2.26) Chúng ta chuyển qua giới hạn lim inf. Bởi (2.25) và un * u, số hạng thứ nhất và thứ ba trong biểu thức (2.26) dần về 0. Chia hai số hạng còn lại cho t > 0 ta thu được hAun, un −vi ≥ hAw, un −vi. Cuối cùng, bởi tính liên tục yếu theo đường thẳng ta có Aw * Au khi t →0 và thu được bất đẳng thức như đòi hỏi của (P M).
(d) (P M) và bị chặn ⇒ nửa liên tục.
Cho un → u. Khi đó các dãy {un} và {Aun} bị chặn và chúng ta có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu Aunk * b. Vì các giả thiết của (P M)
thỏa mãn nên
Mặt khác,
c = limhAunk, unk −ui+ limhAunk, u−vi = hb, u−vi. (2.28) Bởi (2.27) và (2.28) ta có
hAu, u−vi ≤ hb, u−vi, ∀v ∈ V.
Chọn v = 2u − v trong bất đẳng thức cuối ta nhận được bất đẳng thức ngược lại. Từ đó suy ra b = Au. Vì giới hạn Au của dãy con được trích ra Aunk là duy nhất, toàn bộ dãy {Aun} hội tụ yếu đến Au, tức là
Aun * Au và A nửa liên tục. (e) (P M) ⇒(M).
Giả sử các giả thiết của (M) được thỏa mãn. Khi đó các giả thiết của
(P M) cũng được thỏa mãn vì
lim suphAun, un−ui = lim suphAun, uni −limhAun, ui ≤ 0.
Mặt khác, bởi khẳng định của (P M) và giả thiết của (M) ta có
hAu, u−vi ≤ lim infhAun, un −vi ≤ lim suphAun, un−vi ≤ hb, u −vi.
Như vậy, chúng ta đã chứng minh hAu, u − vi ≤ hb, u − vi với mọi
v ∈ V. Tương tự như lập luận trong (d) ta có đẳng thức Au = b và (M)
được chứng minh.
(f) Điều kiện (M) ⇒ (M)0. Điều này có thể kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa của (M) và (M0).
(g) Nửa liên tục và (S)0 ⇒ (M)0.
Giả sử các giả thiết của (M)0 thỏa mãn. Khi đó các giả thiết của (S)0 cũng thỏa mãn, nên un → u. Bởi tính chất nửa liên tục của A ta có
Aun * Au. Do đó Au = b và (M)0 được chứng minh. (h) (P M) ⇒(P).
Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sửun * u
và lim suphAun, un −ui < 0. Khi đó điều kiện (P M) suy ra
lim infhAun, un −vi ≥ hAu, u−vi, ∀v ∈ V.
này mâu thuẫn với giả thiết.
Khác với các Bổ đề 2.1 và 2.2, Bổ đề 2.3 không đề cập đến tổng của hai toán tử.
Bổ đề 2.4.
(a) Tổng của hai toán tử giả đơn điệu là một toán tử giả đơn điệu, tức là các toán tử giả đơn điệu tạo thành một nón.
(b) Tổng của hai toán tử thỏa mãn điều kiện (S)+ là một toán tử thỏa
mãn điều kiện (S)+, tức là các toán tử thỏa mãn điều kiện (S)+ tạo thành
một nón.
(c) Cộng thêm một toán tử liên tục mạnh các tính chất (S)+, (S), (S)0,
(P), (P M), (M), hoặc (M)0 của toán tử không thay đổi.
Chứng minh. (a) Cho A1, A2 là các toán tử giả đơn điệu, un * u và
lim suphA1un+A2un, un−ui ≤ 0.
Bằng phản chứng chúng ta chỉ ra rằng
lim suphAiun, un−ui ≤ 0, i = 1,2.
Thật vậy, giả sử lim suphA2un, un −ui = δ > 0. Chúng ta có thể trích ra một dãy con {unk} sao cho hA2unk, unk −ui = δ.
Khi đó lim suphA1unk, unk −ui ≤ −δ. Áp dụng điều kiện (P M) cho
unk → u và A1, suy ra lim infhA1unk, unk − v ≥ hA1u, u − vi. Chọn
v = u chúng ta đạt được lim infhA1unk, unk − ui ≥ 0, mâu thuẫn với
lim suphA1unk, unk −ui ≤ −δ < 0.
Vì thế các giả thiết của điều kiện (P M) thỏa mãn cho A1, A2 và tổng của A1 +A2. Từ đó suy ra A1 +A2 là một toán tử giả đơn điệu.
(b) Giả sửA1, A2 thỏa mãn điều kiện(S)+và choun * uvàlim suphA1un+
A2un, un − ui ≤ 0 (xem Nhận xét 2.6(d)). Chúng ta sẽ chứng minh
lim suphAiun, un−ui ≤ 0. Thật vậy, giả sửlim suphA1un, un−ui = δ > 0. Chúng ta có thể trích ra một dãy conunk → usao cholimhA1unk, unk−ui =
δ. Khi đó
lim suphA2unk, unk −ui ≤ −δ < 0.
Áp dụng điều kiện (S)+ cho unk * u và A2 ta được unk → u. Suy ra hA2unk, unk −ui → 0, điều này mâu thuẫn. Như vậy, lim suphA1un, un −
ui ≤ 0 và điều kiện (S)+ áp dụng cho toán tử A1 và un * u sẽ cho sự hội tụ mạnh un →u.
(c) Cho A1 là liên tục mạnh và A2 thỏa mãn điều kiện (X) [(X) = (S)+,(S),(S)0,(P),(P M),(M),(M)0]. Giả sử các giả thiết của (X) thỏa mãn đối với tổng hai toán tử A1 +A2. Vì un * u , sự liên tục mạnh của
A1 cho ta A1un → A1u. Bởi sự hội tụ mạnh này, có thể chứng minh được rằng, trong tất cả các trường hợp, các giả thiết của (X) thỏa mãn đối với
A2, các khẳng định của (X) đối với A2 vẫn đúng đối với tổng A1 + A2. Điều này có nghĩa là tính chất (X) cũng đúng đối với tổng A1 +A2.
Nhận xét 2.8.
(a) Tổng của hai toán tử thỏa mãn điều kiện (M) không cần thỏa mãn điều kiện (M).
Cho V là một không gian Hilbert với cơ sở trực giao {e1, e2, e3, ...} và chúng ta định nghĩa các toán tử A1 :u 7−→ −u (phần tử đối), A2 là phép chiếu lên hình cầu đơn vị cho bởi A2(u) = kuuk cho kuk ≥ 1 và A2(u) = u
cho kuk ≤ 1. Cả hai toán tử đều thỏa mãn điều kiện (M) nhưng tổng của chúng A = A1 + A2 không thỏa mãn điều kiện này. Thật vậy, cho
un = e1 + en chúng ta có un * u = e1, Aun = (e1 + en)(2−12 − 1) →
e1(2−12 − 1) = b, lim suphAun, uni = 212 − 2 ≤ 2−12 −1 = hb, ui, nhưng
Au = 06= e1(2−12 −1) = b.
(b) Tính chất hoàn toàn liên tục là không đủ để đảm bảo điều kiện(M)0. Chẳng hạn, toán tử hoàn toàn liên tục A1 : u 7−→e1kuk không thỏa mãn điều kiện (M) hoặc (M)0 vớiun = en, vìun * 0 = u,Aun = e1 * e1 = b, hAun, uni = he1, eni → 0 = he1,0i = hb, ui, nhưng Au = 06= e1 = b.
Sau đây chúng tôi trình bày một kết quả thường được sử dụng nghiên cứu các bài toán với các toán tử vi phân có phần chính đơn điệu.
Bổ đề 2.5. Cho V là một không gian Banach phản xạ và toán tử
A :V → V0 có dạng Au = B(u, u), trong đó B : V ×V →V0 có các tính
chất sau đây:
(a) B(u, v) là toán tử liên tục yếu theo đường thẳng và bị chặn theo
biến u với mỗi v ∈ V;
(b) B(u, v) là toán tử liên tục yếu theo đường thẳng trong theo biến v
với mỗi u ∈ V;
(c) B(u, v)là toán tử đơn điệu theo biến v, tức là hB(u, u)−B(u, v), u−
vi ≥ 0, với mọi u, v ∈ V;
(d) Nếu un * u và hB(un, un)−B(un, u), un−ui →0 thì B(un, v) *
B(u, v) với mọi v ∈ V;
(e) Nếu un → u và B(un, v) →b trong V0 thì hB(un, v), uni → hb, ui.
Khi đó toán tử A là giả đơn điệu.
Chứng minh. Giả sử un * u và thỏa mãn điều kiện
lim suphAun, un −ui ≤ 0. (2.29) Trước hết, chúng ta chứng minh các khẳng định sau
B(un, v) * B(u, v), ∀v ∈ V, (2.30)
cn = hB(un, un)−B(un, u), un −ui → 0. (2.31)
Chúng ta xét dãy {B(un, u)}. Từ điều kiện (a) ta có {B(un, u)} là một dãy bị chặn và do đó nó chứa một dãy co hội tụ yếu B(unk, u) * b. Sử dụng (e) chúng ta đạt được hB(unk, u), unki → hb, ui. Lại có, điều kiện (c) suy ra
cnk = hB(unk, unk)−B(unk, u), unk −ui ≥ 0.
Mặt khác, bằng cách sử dụng điều kiện (2.29) và các kết quả ở trên ta được
lim supcnk = lim suphAunk, unk −ui −limhB(unk, u), unk −ui ≤ 0.
Do đó cnk → 0 và các giả thiết của (d) thỏa mãn. Suy ra B(unk, v) * B(u, v) với ∀v ∈ V. Đặt v = u chúng ta thấy rằng dãy {B(unk, u)} có
giới hạn duy nhất là B(u, u) và do đó toàn bộ dãy hội tụ đến B(u, u), tức là B(un, u) * B(u, u). Lặp lại chứng minh cho toàn bộ dãy ta thu được (2.30) và (2.31).
Từ (2.30) ta có B(un, w) * B(u, w) với mọi w ∈ V, điều kiện (e) cho ta hB(un, w), uni → hB(u, w), ui và theo (2.30) ta có được
hB(un, w), un−ui →0, ∀w ∈ V. (2.32) Hơn nữa, bởi (2.31) các dãy{hB(un, un), un−ui}và{hB(un, u), un−ui} có cùng giới hạn. Tuy nhiên, dãy thứ hai dần về 0 do (2.32) với w = u. Như vậy chúng ta có
hA(un), un −ui → 0. (2.33)
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh khẳng định của (P M). Lấy v ∈ V. Chúng ta bắt đầu với bất đẳng thức (c), điều này suy ra
hB(un, un)−B(un, w), un −wi ≥ 0.
Đặt w = u+t(v−u) với t > 0 chúng ta thu được
hAun, un −ui+thAun, u−vi ≥ hB(un, w), un−ui+thB(un, w), u −vi.
Chúng ta chuyển qua giới hạn lim inf. Đại lượng hAun, un −ui có thể bỏ qua do (2.29). Nhờ có (2.32) ta có hB(un, w), un−ui → 0. Chia hai số hạng còn lại cho t > 0 và sử dụng (2.30) ta được
lim infhAun, u−vi ≥ hB(u, w), u −vi,
và sử dụng (b) với t →0 ta thu được
lim infhAun, u−vi ≥ hAu, u−vi. (2.34) Vì hAun, u−vi = hAun, un−vi − hAun, un−ui, sử dụng (2.33) ta có