Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả liên quan đến Định lí 2.7. Bởi các Bổ đề 2.1-2.5 các giả thiết của Định lí 2.7 có thể được thay thế bởi những giả thiết mạnh hơn. Trước hết chúng ta có định lí sau đây.
Định lí 2.8. Cho toán tử A :V → V0 xác định trên không gian Banach
phản xạ tách được V thỏa mãn một trong các giả thiết sau đây:
(a) A là bức, liên tục yếu, bị chặn và thỏa điều kiện (S)+,
(b) A là đơn điệu mạnh, liên tục và bị chặn,
(c) A là liên tục, bị chặn, bức và A = A1 + A2, ở đây A1 là đơn điệu
và A2 là liên tục mạnh.
Khi đó các kết luận của Định lí 2.7 vẫn đúng.
Bên cạnh Định lí 2.8, khi chúng ta thay các giả thiết trong Định lí 2.7 bởi các giả thiết mạnh hơn ta sẽ thu được các kết quả mạnh hơn.
Định lí 2.9. Xét phương trình (2.8) với A là một toán tử bị chặn trên
không gian Banach phản xạ tách được V và xấp xỉ Galerkin của nó cho
bởi (2.13). Giả sử {un} là một dãy bị chặn các nghiệm của phương trình
(2.13) và {unk} là một dãy con hội tụ yếu, unk * u. Khi đó ta có các khẳng định sau đây:
(a) Nếu A thỏa mãn điều kiện (M)0 thì u là một nghiệm của phương
trình (2.8).
(b) Nếu A thỏa mãn điều kiện (S)0 và nửa liên tục thì u là một nghiệm
của phương trình (2.8) và unk →u.
(c) Nếu A là đơn điệu và liên tục yếu theo đường thẳng thì tập hợp các
nghiệm của phương trình A−1b = {u ∈ V, Au = b} là lồi, đóng và khác
rỗng.
(d) Nếu A là đơn điệu chặt và liên tục theo đường thẳng thì A−1b là tập
hợp chỉ có một điểm, tức là nghiệm thu được duy nhất.
Chứng minh. (a) Vì A bị chặn, dãy {Aunk} cũng bị chặn và chúng ta có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu Aunk * b. Phần còn lại của chứng minh tương tự như Bước 4, chứng minh của Định lí 2.7.
(b) Chúng ta biết rằng, tính nửa liên tục và điều kiện (S)0 suy ra (M)0
thỏa mãn. Do đó Au = b và giới hạn u là một nghiệm, điều kiện (S)0 cho ta sự hội tụ mạnh unk → u.
(c) Ta thấy rằng tính chất đơn điệu và liên tục theo đường thẳng cho ta tính chất (M)0 và vì vậy A−1b =6 ∅. Cho u1, u2 ∈ A−1b. Chúng ta cần chứng minh u = u1t1 +u2t2 ∈ A−1b với mọi t1, t2 ∈ (0,1), t1+t2 = 1. Ta có tính chất đơn điệu của A và Au1 = b = Au2 suy ra
0 ≤ t1hAu1 −Av, u1 −vi+t2hAu2 −Av, u2 −vi = hb−Av, u−vi.
Từ bất đẳng thứchb−Av, u−vi ≥ 0đúng với mỗi v ∈ V ta có Au = b. Thật vậy, đặt v = u−sw, s > 0, w ∈ V vào bất đẳng thức này chúng ta thu được shb−A(u−sw), wi ≥ 0. Chia bất đẳng thức này cho s > 0 và chuyển qua giới hạn khi s →0, bởi tính liên tục yếu theo đường thẳng của toán tử A ta có hb−Au, wi ≥ 0. Bằng cách thay thế w bởi −w chúng ta thu được bất đẳng thức ngược lại, và do đó hb−Au, wi = 0 đúng với mỗi
w ∈ V. Suy ra, Au = b và A−1b là một tập lồi.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh A−1b là tập đóng. Giả sử Aun = b và
un → u. Khi đó hb −Av, u −vi = limhAun −Av, un −vi ≥ 0 với mọi
v ∈ V. Tương tự như lập luận ở trên ta có Au = b, tức là A−1b là một tập đóng.
(d) Xem chứng minh của Định lí 2.5.
(e) Tính liên tục của toán tử A−1 được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của tính đơn điệu đều.
Nhận xét 2.10. Trong Định lí 2.7, giả thiết về điều kiện bức đối với toán tử A có thể bỏ qua nếu chúng ta đảm bảo được tính bị chặn của dãy nghiệm {un} đối với xấp xỉ Galerkin (2.13) trong không gian hữu hạn chiều của (2.8). Điều này suy ra từ Định lí 2.3.
Định lí 2.10. Cho V là một không gian Banach phản xạ và tách được,
b ∈ V0 và A : V → V0 là một toán tử bị chặn nửa liên tục thỏa mãn điều
kiện (M)0 và bất đẳng thức sau đây
hAu−b, ui ≥ 0, ∀u ∈ V, kuk = R > 0.
Khi đó phương trình Au = b có một nghiệm.
Đối với các toán tử đơn điệu Định lí 2.7 có thể chứng minh mà không cần các giả thiết về tính bị chặn của toán tử và tính tách được của không gian. Điều này được thể hiện trong kết quả sau đây.
Bổ đề 2.6 (Minty). Cho A : V →V0 là một toán tử đơn điệu và nửa
liên tục, u ∈ V. Khi đó hai điều kiện sau là tương đương:
hAu, v −ui ≥ 0, ∀v ∈ V, (2.35)
hAv, v −ui ≥ 0, ∀v ∈ V. (2.36)
Chứng minh. Từ tính đơn điệu của toán tửAsuy rahAv, v−ui ≥ hAu, v−
ui, do đó (2.35) ⇒ (2.36).
Để chứng minh chiều ngược lại chúng ta sẽ dùng tính nửa liên tục của toán tử A. Giả sử ta có 2.36. Với w ∈ V, thay v = u+t(w−u), t > 0 vào 2.36 ta được
hA(u+t(w−u)), t(w −u)i ≥ 0.
Chia cho t > 0 và chuyển qua giới hạn khi t → 0+. Tính nửa liên tục của toán tử A suy ra A(u+ t(w − u)) * Au và chúng ta thu được bất đẳng thức 2.35.
Định lí 2.11 (Minty-Browder). Cho V là một không gian Banach phản
xạ và A : V → V0 là một toán tử đơn điệu, thỏa mãn điều kiện bức, liên
tục trên các không gian con hữu hạn chiều.
Khi đó A(V) = V0, tức là với mỗi b ∈ V0 phương trình Au = b có ít
nhất một nghiệm. Hơn nữa, A−1 là một ánh xạ đa trị bị chặn và A−1b là
một tập lồi đóng với mỗi b ∈ V0.
có nghiệm. Toán tử A1u = Au−b cũng đơn điệu và nửa liên tục. Do đó, theo Bổ đề 2.6 thì hai điều kiện sau là tương đương
hA1u, v−ui ≥ 0, ∀v ∈ V, (2.37) hA1v, v−ui ≥ 0, ∀v ∈ V (2.38) với mỗi u ∈ V.
Với mỗi v ∈ V, đặt U(v) := {u ∈ V : hA1v, v−ui ≥ 0}. Khi đó ta có tập giao UV = ∩{U(v) : v ∈ V} là một tập hợp các phần tử u ∈ V thỏa mãn (2.37) và (2.38), suy ra u là một nghiệm của phương trình A1u = 0.
Chúng ta chứng minh tập giao UV là khác rỗng bằng cách dùng định lí về họ có tâm các tập đóng trong một không gian tô pô compact, xem Định lí 1.3.
Bước 1. Điều kiện bức của toán tử A suy ra (xem Bước 3, chứng minh
của Định lí 2.7) sự tồn tại của một hàm tăng N : R+ → R+ sao cho kukV ≤ N(kAukV0), ∀u ∈ V. (2.39) Hằng số r = N(kbkV0) là một ước lượng của nghiệm u, do đó hình cầu đóng Br chứa tất cả các nghiệm có thể của phương trình (2.8). Bởi tính phản xạ của V, hình cầu đóng Br với tôpô yếu là một không gian tôpô compact.
Bước 2. Các nửa không gian Uv là lồi và đóng trong V, vì thế chúng
là các tập đóng theo tôpô yếu. Điều tương tự cũng thỏa mãn đối với
Ur(v) = U(v)∩ Br.
Bước 3. Để áp dụng Định lí 1.3, chúng ta cần chứng minh rằng giao
của một số hữu hạn các các tập Ur(v) là khác rỗng. Thật vậy, giả sử
v1, v2, v3, ..., vn ∈ V và Vn là một không gian con hữu hạn chiều sinh bởi {v1, v2, ..., vn}.
Theo cách tương tự như Bước 2, chứng minh của Định lí 2.7 chúng ta thu được sự tồn tại nghiệm un của xấp xỉ Galerkin đối với phương trình
Do đó un ∈ Vn ∩Br thỏa mãn
hA1un, v−uni ≥ 0, v ∈ Vn.
Nhờ có Bổ đề 2.6 nên ta cũng có hA1v, v−uni ≥ 0 với mọi v ∈ Vn. Do đó, tập giao
∩{Ur(vi), i= 1,2, ..., n} = ∩{U(vi), i= 1,2, ..., n} ∩Br
là khác rỗng, vì nó chứa ít nhất một nghiệm của un.
Áp dụng Định lí 1.3, ta có tập giao UV là khác rỗng, do đó phương trình Au = b có ít nhất một nghiệm. Vì mỗi tập Ur(v) là lồi đóng nên giao của của chúng UV = A−1b cũng là tập lồi đóng trong V. Từ đó, bởi (2.39)
CHƯƠNG3
ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Lí thuyết toán tử đơn điệu là một trong những công cụ giải tích quan trọng để nghiên cứu các phương trình phi tuyến. Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số ứng dụng của lí thuyết toán tử đơn điệu được trình bày ở Chương 2. Cụ thể, chúng tôi tập trung vào các bài toán biên cơ bản đối với phương trình vi phân thường, xem [9, 10].