Định lý 1.2. Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của một không gian Rn, và một ánh xạ liên tục F : C →Rn. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh. Đặt T(x) := PC(x−λF(x)),∀x ∈ C, λ >0.
Theo tính chất 1.5 (ii), ánh xạ PC là một ánh xạ không giãn trên
C. Do đó, phép chiếu PC liên tục và F liên tục trên C. Nên theo định lý điểm bất động Brower tồn tại x∗ = T(x∗).
Khi đó, từ định nghĩa của T thì x∗ = T(x∗) =PC(x∗ −λF(x∗)). Theo Mệnh đề 1.1 và Bổ đề 1.3 ta được:
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0,∀x ∈ C.
Vậy bài toán V I(F, C) có ít nhất một nghiệm.
Cho tập lồi C 6= ∅, CR = C∩B(O, R) trong đó B là hình cầu đóng. Khi đó, CR bị chặn ⇒CR là tập compact.
Ký hiệu V I(F, CR) là bài toán bất đẳng thức biến phân sau đây: Tìm xR ∈ CR sao cho
hF(xR), y−xRi ≥ 0, ∀y ∈ CR. (1.8) Định lý 1.3. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Rn, và một ánh xạ liên tục F : C →Rn. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R >0 sao cho bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, CR) có một nghiệm xR thỏa mãn
Chứng minh.
•(⇒) Giả sử x∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C). Chọn R thỏa mãn kx∗k < R. Khi đó:
hF(x∗), y−x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C.
Do đó x∗ ∈ CR và
hF(x∗), y−x∗i ≥ 0, ∀y ∈ CR.
Vậy bài toán V I(F, CR) có nghiệm x∗.
•(⇐) Giả sử xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, CR) thỏa mãn kxRk < R thì xR cũng là nghiệm của bài toán
V I(F, C).
Thật vậy, với mỗi y ∈ C,kxRk< R, tồn tại ε ≥0 đủ nhỏ sao cho:
z = εy + (1−ε)xR = εy+ xR −εxR ∈ CR,
Mặt khác, theo định nghĩa của nghiệm xR của bài toán V I(F, CR), ta có xR ∈ CR ⊂ C và
hF(xR), z −xRi ≥ 0
⇐⇒ hF(xR), εy+ xR −εxR −xRi ≥ 0
⇐⇒ hF(xR), ε(y −xR)i ≥ 0
⇐⇒ εhF(xR), y−xRi ≥ 0,∀y ∈ C.
Điều này có nghĩa xR là 1 nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, C).
Định lý 1.4. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một
không gian Rn, và một ánh xạ liên tục F : C → Rn thỏa mãn điều kiện
bức, tức là, tồn tại x0 ∈ C sao cho
hF(x)−F(xo), x−xoi
||x−xo|| →+∞,
khi kxk → +∞ và x ∈ C.
Chứng minh. Chọn H > ||F(xo)|| và R > ||xo||. Khi đó, hF(x)−F(xo), x−xoi ||x−xo|| ≥ H,∀||x|| > R, x ∈ C ⇒ hF(x)−F(xo), x−xoi ≥ H||x−xo|| ⇔ hF(x), x−xoi − hF(xo), x −xoi ≥ H||x−xo|| ⇔ hF(x), x−xoi ≥ H||x−xo||+hF(xo), x−xoi ⇒ hF(x), x−xoi ≥ H||x−xo|| − ||F(xo)||.||x−xo|| ⇒ hF(x), x−xoi ≥ (||xk − kxo||)(H − kF(xok)) > 0,∀||x|| ≥ R.
Theo định lí 1.2, tồn tại xR ∈ CR là nghiệm của bài toán V I(F, CR), khi đó
hF(xR), xR −xoi = −hF(xR), xo −xRi ≤ 0.
Do đó, ta có ||xR|| 6= R, hay nói cách khác ||xR|| < R.
Như vậy, xR là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, CR).
Theo định lí 1.3, bài toán V I(F, C) có nghiệm.
Nói chung nghiệm của bất đẳng thức biến phân là không duy nhất. Tuy nhiên, có một điều kiện rất tự nhiên nhưng lại đảm bảo được tính duy nhất.
Định lý 1.5. [10] Nếu C là tập lồi đóng khác rỗng và F là đơn điệu chặt trên C thì bài toán V I(F, C) có không quá một nghiệm.
Chứng minh. Giả sử rằng, x, x0 ∈ C là 2 nghiệm khác nhau của bài toán
V I(F, C). Khi đó, ta có
x ∈ C : hF(x), y −xi ≥ 0, y ∈ C (1.9) và
x0 ∈ C :hF(x0), y−x0i ≥ 0, y ∈ C. (1.10) Bởi vậy, đặt y = x0 trong (1.9), y = x trong (1.10) rồi cộng theo vế hai bất đẳng thức đó với nhau, ta được:
hay
hF(x)−F(x0), x −x0i ≤ 0,∀x ∈ C.
Điều này mâu thuẫn với định nghĩa về tính đơn điệu chặt của F. Vậy
x = x0.
Định lý 1.6. Nếu C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Rn
và F : C → Rn là β đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C thì bài
toán V I(F, C) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Theo tính chất 1.5 (i), ánh xạ PC là một ánh xạ không
giãn trên C. Xét ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn được xác định bởi T(x) = PC(x−λF(x)),∀x ∈ C, λ > 0. Do T là ánh xạ không giãn trên C và theo tính chất 1.5 (ii) nên ta có ∀x, y ∈ C, λ >0 thì
||T(x)−T(y)||2 = ||PC(x−λF(x)) −PC(y −λF(y))||2 ≤ ||(x−λF(x))−(y −λF(y))||2
= ||x−y −λ(F(x)−F(y))||2
= ||x−y||2 −2λhF(x)−F(y), x−yi+λ2||F(x)−F(y)||2.
Do F là β- đơn điệu mạnh nên ta có:
hF(x)−F(y), x −yi ≥ β||x−y||2
⇔ −2λhF(x)−F(y), x−yi ≤ −2λβ||x−y||2.
Vì F liên tục Lipschitz với L là hằng số Lípchitz nên ta có:
||F(x)−F(y)|| ≤ L||x−y|| ⇔ λ||F(x)−F(y)|| ≤ λL||x−y|| ⇒ λ2||F(x)−F(y)||2 ≤λ2L2||x−y||2. Suy ra ||T(x)−T(y)||2 ≤ ||x−y||2 −2λhF(x)−F(y), x −yi + λ2||F(x)−F(y)||2
⇔ ||T(x)−T(y)||2 ≤ ||x−y||2(1−2λβ + λ2L2) ⇒ ||T(x)−T(y)|| ≤ ||x−y||p1−2λβ +λ2L2 = ||x−y|| q 1−λ(2β −λL2) = ||x−y||ρ. Trong đó ρ = q 1−λ(2β −λL2) ∈ [0,1).
Do đó T : C → C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất x∗ ∈ C sao cho T(x∗) = x∗ ⇐⇒ PC(x∗ −λF(x∗)) = x∗. Theo Bổ đề 1.3, x∗ ∈ Sol(F, C) và là nghiệm duy nhất của bài toánV I(F, C).
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Ở chương này, luận văn trình bày các phương pháp chiếu một lần, chiếu hai lần để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân. Đồng thời áp dụng giải thuật của các phương pháp này để giải các bài toán cụ thể. Những lý thuyết của phần này được tham khảo từ các tài liệu [1],[10].