Sự hội tụ của thuật toán chiếu một lần đòi hỏi tính giả đơn điệu mạnh của ánh xạ giá F. Trong nhiều trường hợp, việc tính toán hằng số giả đơn điệu mạnh γ là khó có thể thực hiện được. Để tránh giả thiết này, ta xét thuật toán phép chiếu hai lần để giải bài toán V I(F, C) như sau:
Thuật toán 2.2.
Bước 0. Chọn x0 ∈ C,{λk} ⊂ (0,+∞) và k := 0.
Bước 1. Tính yk := PC(xk − λkF(xk)). Nếu yk = xk thì dừng. Ngược lại, chuyển sang Bước 2.
Bước 2. Tính xk+1 := PC(xk −λkF(yk)). Gán k := k + 1 và quay trở lại Bước 1.
Nếu thuật toán dừng tại bước lặp thứ k, hayxk := PC(xk−λkF(xk)). Khi đó, xk là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C). Bổ đề 2.1. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn, ánh xạ
F : C →Rn là giả đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số L > 0. Với mỗi điểm x∗ ∈ Sol(F, C) và dãy lặp {xk} được xây dựng bởi Thuật toán 2.2, ta có:
kxk+1−x∗k2 ≤k xk −x∗k2 −(1−λ2kL2)kxk+1 −ykk2.
Chứng minh. Từ x∗ ∈ Sol(F, C) hay hF(x∗), y−x∗i ≥ 0 với mọi y ∈ C
và yk ∈ C, suy ra:
hF(x∗), yk −x∗i ≥ 0, ∀k ≥ 0.
Do F là giả đơn điệu trên C, nên:
hF(yk), yk −x∗i ≥ 0, ∀k ≥ 0,
hay
Theo tính chất của phép chiếu, ta có: hxk+1 −yk, xk −λkF(yk)−yki = hxk+1−yk, xk −λkF(xk)−yki+ λkhxk+1−yk, F(xk)−λkF(yk)−yki ≤ hxk+1−PC(xk −λkF(xk)), xk − λkF(xk)i −PC(xk −λkF(xk))i+ λkhxk+1−yk, F(xk)−λkF(yk)−yki ≤ λkhxk+1−yk, F(xk)−λkF(yk)−yki.
Để đơn giản, đặt zk = xk −λkF(yk), Khi đó, ta có:
kxk+1−x∗k2 = kPC(zk)−x∗k2 = kzk −x∗k2 +kPC(zk)−zkk2 + 2hPC(zk)−zk, zk −x∗i ≤ kzk −x∗k2 − kzk−PC(zk)k2 = kxk −x∗ −λkF(yk)k2 − kxk−xk+1 −λkF(yk)k2 = kxk −x∗k2 − kxk −xk+1k2 + 2λkhx∗ −xk+1, F(yk)i ≤ kxk −x∗k2 − kxk −xk+1k2 + 2λkhyk−xk+1, F(yk)i = kxk −x∗k2 − kxk −ykk2 − kyk −xk+1k2 +2λkhxk+1−yk, xk −λkF(yk)−yki ≤ kxk −x∗k2 − kxk −ykk2 − kyk −xk+1k2 +2λkLkxk+1 −ykkkxk −ykk ≤ kxk −x∗k2 −(1−λk2L2)kxk+1 −ykk2. Suy ra: kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2 −(1−λ2kL2)kxk+1 −ykk2.
Dựa vào bổ đề 2.1, ta sẽ thiết lập sự hội tụ của Thuật toán 2.2. Chú ý rằng hằng số Lipschitz L của F điều chỉnh độ dài bước λk trong thuật
toán.
Định lý 2.4. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn, ánh xạ
dãy {λk} thỏa mãn {λk} ∈ (0, L1), lim
i→∞λki = λ > 0 thì dãy {xk} xác định bởi Thuật toán 2.2 hội tụ tới một nghiệm của bài toán V I(F, C).
Chứng minh. Giả sử x∗ là một nghiệm tùy ý của VI(F,C). Từλk ∈ (0, L1) ,suy ra 1−λ2kL2 ∈ (0,1). Theo Bổ đề 2.1 ta có:
kxk+1 −x∗k2 ≤ kxk−x∗k2, ∀k ≥0.
Dãy {kxk−x∗k} không tăng và bị chặn dưới bởi 0. Vậy, tồn tại giới hạn lim
k→∞kxk−x∗k và do đó dãy {xk} bị chặn. Tồn tại một dãy con {xki} hội tụ tới x¯. Theo bổ đề 2.1 và giả thiết λk ∈ (0,L1), ta có:
(1−λ2kL2)
∞
X
k=0
kxk −ykk2 ≤ kx0 −x∗k2.
Điều này kéo theo:
lim
k→∞kxk −ykk= 0,
và do đó:
lim
i→∞kxki −ykik = 0.
Vậy, dãy con {yki} cũng hội tụ tới x¯. Theo định nghĩa của yk tại Bước 1 của Thuật toán 2.2 và theo tính liên tục của F và của phép chiếu PC, ta nhận được: ¯ x = lim i→∞yki = lim i→∞PC(xki −λkiF(xki)) = PC(¯x−λF(¯x)).
Điều này kéo theo x¯ ∈ Sol(F, C). Áp dụng Bổ đề 2.1 với x∗ := ¯x , tồn tại giới hạn lim
k→∞kxk−xk¯ và: lim
k→∞kxk −xk¯ = lim
i→∞kxki −xk¯ = 0.
Ví dụ 2.4. Cho C := [−1,1] và hàm F : C → Rn xác định bởi F(x) =
x2. Dễ nhận thấy hàm F(x) giả đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số L=2 trên C và không đơn điệu trên C. Áp dụng Thuật toán 2.2 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C).
Áp dụng Thuật toán 2.2 với điều kiện dừng của thuật toán là kyk− xkk ≤ ε, (ε = 10−4), ta được kết quả như sau
Bước 0: Chọn x0 = 1 ∈ C, λk = λ = 12 và k = 0.
Bước 1: Tính y0 := PC(x0 − λF(x0)) = 1 − 12 ∗ 12 = 0,5000. Khi đó
y0 6= x0 và ky0 −x0k= 0,5000 > ε nên tiếp tục sang bước 2. Bước 2: Tính x1 := PC(x0 −λF(y0)) = 1− 12 ∗0,50002 = 0,8750.
Bước 3: Tính y1 := PC(x1 −λF(x1)) = 0,875− 12 ∗ 0,8752 = 0,4922. Khi đó y1 6= x1 và ky1 −x1k = 0,3828 > ε nên tiếp tục sang bước 4. Tiếp tục quá trình tính toán trên, ta được các giá trị tiếp theo như bảng sau đây: Bước thứ k xk yk kyk −xkk 0 1 0,5000 0,5000 1 0,8750 0,4922 0,3828 2 0,7539 0,4697 0,2842 3 0,6436 0,4365 0,2071 4 0,5483 0,3980 0,1503 5 0,4691 0,3591 0,1100 6 0,4046 0,3228 0,0819 7 0,3525 0,2904 0,0621 8 0,3104 0,2622 0,0482 9 0,2760 0,2379 0,0381 ... ... ... ... 98 0,0215 0,0212 2,3037.10−4 99 0,0212 0,0210 2,2555.10−4 100 0,0210 0,0208 2,2089.10−4
Như vậy, ta thấy nghiệm tối ưu toàn cục là x∗ = (0, 0)T.
Ví dụ 2.5. Cho C := [−1,1] và hàm F : C → Rn xác định bởi F(x) =
x4. Dễ nhận thấy hàm F(x) giả đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số L=4 trên C và không đơn điệu trên C. Áp dụng Thuật toán 2.2 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C).
Áp dụng Thuật toán 2.2 với điều kiện dừng của thuật toán là kyk− xkk ≤ ε, (ε = 10−6), ta được kết quả như sau:
Bước 0: Chọn x0 = 1 ∈ C, λk = λ = 14 và k = 0.
Bước 1: Tính y0 := PC(x0 −λF(x0)) = 1− 14 ∗14 = 0,7500.
Khi đó y0 6= x0 và ky0 −x0k = 0.2500 > ε nên tiếp tục sang bước 2. Bước 2: Tính x1 := PC(x0 −λF(y0)) = 1− 1
4 ∗0,75004 = 0,9209.
Bước 3: Tính y1 := PC(x1 −λF(x1)) = 0,9209− 14 ∗0,92094 = 0,7411. Khi đó y1 6= x1 và ky1 −x1k = 0,1798 > ε nên tiếp tục sang bước 4. Bước 4: Tính x2 := PC(x1 −λF(y1)) = 0,8455.
Tiếp tục quá trình tính toán trên, ta thu được các giá trị tiếp theo của
xk và yk như sau: y2 := PC(x2 −λF(x2)) = 0,7177, x3 := PC(x2 −λF(y2)) = 0,7791, y3 := PC(x3 −λF(x3)) = 0,6870, x4 := PC(x3 −λF(y3)) = 0,7235, y4 := PC(x4 −λF(x4)) = 0,6550, x5 := PC(x4 −λF(y4)) = 0,6774, y5 := PC(x5 −λF(x5)) = 0,6248.
Bước thứ k xk yk kyk −xkk 0 1 0,7500 0,2500 1 0,9209 0,7411 0,1798 2 0,8455 0,7177 0,1278 3 0,7791 0,6870 0,0921 4 0,7235 0,6550 0,0685 5 0,6774 0,6248 0,0527 6 0,6393 0,5976 0,0418 7 0,6075 0,5734 0,0340 8 0,5804 0,5521 0,0284 9 0,5572 0,5331 0,0241 10 0,5370 0,5162 0,0208 ... ... ... ... 97 0.2414 0,2405 8,483.10−4 99 0,2405 0,2397 8,3661.10−4 100 0,2397 0,2389 8,2519.10−4
Bảng 2.5 Các bước trong Thuật toán 2.2 cho ví dụ 2.5 với λk = 14.
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
Bất đẳng thức biến phân là một công cụ khá hữu ích trong việc nghiên cứu và giải nhiều bài toán cân bằng trong kinh tế, cơ khí, nghiên cứu toán tử. Bài toán bất đẳng thức biến phân có mối quan hệ mật thiết với các bài toán tối ưu khác. Trong đó bài toán bù phi tuyến là một trường hợp đặc biệt của bài toám bất đẳng thức biến phân. Trong chương này, tôi nghiên cứu Phương pháp kiểu Newton cho một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân. Đó là bài toán bù phi tuyến trong không gian Rn. Những kết quả của phần này được tham khảo trong các tài liệu [1],[2],[3],[5],[9],[10],[11],[12].
3.1. Phát biểu bài toán
Trong phần này, ta cho: C = {x = (x1, ..., xn} ∈ Rn | xi ≥ 0,∀i = 1, n} và F :C →Rn. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F,C) được phát biểu dưới dạng:
Tìm x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), x−x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C. (3.1) Bài toán này tương đương với bài toán bù phi tuyến (Viết tắt NCP(F) ) sau đây:
Tìm x∗ ∈ C sao cho F(x∗) ∈ C và hF(x∗), x∗i = 0. . (3.2) Điều này sẽ được làm rõ thông qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1. Điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bù phi tuyếnN CP(F)
nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, C).
Chứng minh.
(⇒) Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán bù phi tuyến N CP(F). Ta chứng minh rằng x∗ cũng là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, C).
Thật vậy, Vì x∗ là nghiệm của bài toán bù phi tuyến nên x∗ ∈ C, F(x∗) ∈ C và hF(x∗), x∗i = 0.
Mặt khác, Do F(x∗) ∈ C nên hF(x∗), xi ≥ 0 ∀x ∈ C.
Khi đó,
hF(x∗), x−x∗i = hF(x∗), xi − hF(x∗), x∗i = hF(x∗), xi ≥ 0 ∀x ∈ C.
Vậy x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, C).
(⇐) Giả sửx∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phânV I(F, C). Ta chứng minh rằng x∗ cũng là nghiệm của bài toán bù phi tuyến
N CP(F).
Thật vậy, vì x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân nên
x∗ ∈ C.
Mặt khác,
Với x = 0 ta thay vào (3.1) thì thu được:
hF(x∗),−x∗i ≥ 0⇔ hF(x∗), x∗i ≤ 0. (3.3) Với x = 2x∗ ta thay vào (3.1) thì thu được:
hF(x∗),2x∗ −x∗i ≥ 0⇔ hF(x∗), x∗i ≥ 0. (3.4) Từ (3.3) và (3.4) ta có hF(x∗), x∗i = 0. .
Từ đó ta thấy :
0≤ hF(x∗), x−x∗i = hF(x∗), xi − hF(x∗), x∗i = hF(x∗), xi, ∀x ∈ C.
Do đó hF(x∗), xi ≥ 0 ∀x ∈ C nên F(x∗) ≥0 ⇒F(x∗) ∈ C.
Vậy x∗ là nghiệm của bài toán N CP(F).
Bài toán bù phi tuyến được áp dụng ở rất nhiều ứng dụng trong nghiên cứu các toán tử, hệ cân bằng kinh tế cũng như khoa học kĩ thuật.
Cho đến nay có rất nhiều phương pháp giải bài toán bù phi tuyến
N CP(F). Trong đó có nhiều phương pháp dựa trên hàm bù phi tuyến, điển hình là phương pháp hàm N CP(F).
Hàm N CP(F) là một ánh xạ ϕ : R2 → R có tính chất:
ϕ(a, b) = 0 ⇔a ≥ 0, b ≥ 0, ab = 0.
Trong luận văn này, tôi sẽ nghiên cứu hàm sau:
ϕ(a, b) = q
(a−b)2 +ab−a−b. (3.5) Dễ nhận thấy được rằng biểu thức trong căn của (3.5) luôn là biểu thức không âm. Từ đó ta có
(a−b)2 + ab ≥0 ∀a, b ∈ R.
Do đó ϕ là một hàm xác định và ϕ cũng là một hàm bù phi tuyến. Lúc này, nếu ta định nghĩa toán tử Φ : Rn → Rn xác định bởi:
Φ(x) = ϕ(x1, F1(x)) ... ϕ(xn, Fn(x)) ,
thì từ định nghĩa của hàm N CP(F) ta thu được x∗ là nghiệm của bài toán N CP(F) ⇔x∗ là nghiệm của phương trình Φ(x) = 0.
Ngoài ra, nếu ta đặt Ψ : Rn →R xác định bởi: Ψ(x) = 1
2Φ(x)
TΦ(x) = 1
2kΦ(x)k2.
Bài toán NCP(F) sẽ trở thành bài toán tối ưu không điều kiện ràng buộc:
minΨ(x), x ∈ Rn.
Khi đó, x∗ là nghiệm của bài toán N CP(F) ⇔ x∗ là nghiệm của bài toán tối ưu không điều kiện ràng buộc minΨ(x), x ∈ Rn.