Đặc trưng của bài toán là phân chia một tập hợp n phần tử khác nhau thành k nhóm, mỗi nhóm gồm ni phần tử. Việc chọn ni phần tử trong n phần tử là một phép chọn và loại trừ dần các phần tử đã chọn.
Phương pháp:
i) Phương pháp chọn và loại trừ
- Chọn các phần tử có tính chất thỏa mãn đề bài để chia cho mỗi nhóm, nhóm cuối cùng là tất cả các phần tử còn lại.
- Phân chia trường hợp, giai đoạn (nếu có). - Áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân,... ii) Phương pháp tạo vách ngăn
- Xếp m vật giống nhau vào m vị trí theo hàng ngang, giữa chúng sẽ tạo ra m - 1 chỗ trống.
- Đặt bất kỳ k vạch vào m - 1 chỗ trống ta sẽ được k + 1 nhóm khác nhau, mỗi nhóm có ít nhất 1 vật.
- Số cách chia m vật giống nhau thành n nhóm mà mỗi nhóm có ít nhất một vật là: Cmk−1.
Ví dụ 2.16 (ĐH khối B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Giải
Đầu tiên ta chọn 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ nhât. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: n1 = C124 C31 = 1485.
Tiếp tục chọn 4 nam 1 nữ cho tỉnh thứ 2. Lúc này 4 nam sẽ được chọn trong 8 nam còn lại và 1 nữ trong 2 nữ còn lại. Vậy ta có:n2 = C84C21 = 140.
Những người còn lại sẽ đi tình nguyện ở tỉnh thứ 3.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số cách phân công các đội tình nguyên là
n = n1n2 = 1485.140 = 207900.
Ví dụ 2.17 Một đội sản xuất có 4 quản lý, 8 kỹ sư và 20 công nhân. Trong một ngày, đội phải thực hiện công việc tại 4 khu vực khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để chia nhóm làm việc theo khu vực sao cho mỗi khu vực có 1 quản lý, 2 kỹ sư và 5 công nhân.
Giải
Ta chọn nhân lực cho khu vực thứ nhất có C41C82C205 = 1736448 cách. Chọn nhân lực cho khu vực thứ hai có C31C62C155 = 135135 cách.
Chọn nhân lực cho khu vực thứ ba có C21C42C105 = 3024 cách. Những người còn lại sẽ làm việc tại khu vực bốn.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số cách phân chia nhóm làm việc theo khu vực là: 1736448.135135.3024 = 709596419051520 cách.
Ví dụ 2.18 Có bao nhiêu cách chia 12 viên bi giống nhau hoàn toàn cho 4 em bé sao cho em nào cũng có bi.
Giải
Xếp 12 viên bi thành hàng ngang, giữa chúng có 11 chỗ trống. Đặt 3 vạch bất kỳ vào giữa 11 chỗ tống đó ta được cách chia 12 viên bi cho 4 em bé, mỗi em bé đều có ít nhất 1 viên.
Vậy số cách chia là C113 = 165 cách.