Phương pháp:
- Phân chia trường hợp, giai đoạn (nếu có).
- Chọn các phần tử theo số lượng và tính chất mà bài toán yêu cầu.
- Tính số cách sắp xếp bằng cách áp dụng công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị,...
Ví dụ 2.11 Một bữa tiệc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, người ta chọn ra 3 cặp để khiêu vũ (mỗi cặp gồm 1 nam và 1 nữ). Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ?
Giải
Bước 1: Chọn 3 nam trong 10 nam có: C103 = 120 cách.
Bước 2: Chọn 3 nữ trong 6 nữ có: C63 = 20 cách.
Bước 3: Ghép cặp cho những người được chọn: 3! = 6 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra 3 cặp nhảy là: 120.20.6 = 14400 cách.
Ví dụ 2.12 [9] Trong một toa tàu có 2 ghế dài đối diện nhau, mỗi ghế có 4 chỗ ngồi. Trong số 8 hành khách thì có 3 người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu chạy, 2 người muốn ngồi theo hướng ngược lại, 3 người còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn yêu cầu của khách?
Giải
Bước 1: Sắp xếp 3 người muốn ngồi nhìn hướng tàu chạy vào 4 ghế. Số cách sắp xếp là: A34 = 24 cách.
Bước 2: Sắp xếp 2 người muốn ngồi ngược hướng tàu chạy vào 4 ghế. Số cách sắp xếp là: A24 = 12 cách.
Bước 3: Số cách sắp xếp chỗ cho 3 người còn lại vào 3 ghế còn lại là:
3! = 6 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 8 hành khách thỏa mãn yêu cầu là: 24.12.6 = 1728 cách.
Ví dụ 2.13 Xếp ngẫu nhiên 6 người, trong đó có 2 vợ chồng anh A vào một bàn tròn có 6 ghế sao cho vợ chồng anh A không ngồi cạnh nhau. Tính số cách sắp xếp trong 2 trường hợp sau:
i) Ghế có đánh số. ii) Ghế không đánh số.
Giải
i) Số cách sắp xếp tùy ý cho 6 người vào một bàn tròn với ghế có đánh số là: 6! = 720 cách.
Xếp vợ chồng anh A cạnh nhau: - Xếp anh A có 6 cách.
- Xếp vợ anh A cạnh anh A có 2 cách. - Xếp 4 người còn lại có 4! = 24 cách.
Vậy số cách xếp 6 người vào bàn tròn sao cho vợ chồng anh A ngồi cạnh nhau là: 6.2.24 = 288 cách.
Vậy số cách xếp 6 người vào bàn tròn sao cho vợ chồng anh A không ngồi cạnh nhau là 720 - 288 = 432 cách.
ii) Số cách sắp xếp tùy ý cho 6 người vào một bàn tròn với ghế không đánh số là: 5! = 120 cách.
Xếp vợ chồng anh A cạnh nhau: - Xếp anh A có 1 cách.
- Xếp vợ anh A cạnh anh A có 2 cách. - Xếp 4 người còn lại có 4! = 24 cách.
Vậy số cách xếp 6 người vào bàn tròn sao cho vợ chồng anh A ngồi cạnh nhau là 2.24 = 48 cách.
Vậy số cách xếp 6 người vào bàn tròn sao cho vợ chồng anh A không ngồi cạnh nhau là 120 - 48 = 72 cách.
Ví dụ 2.14 [9] Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của 5 nước: nước Anh có 3 người, nước Nga có 5 người, nước Mỹ có 2 người, nước Pháp có 3 người, nước Trung Quốc có 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho các người cùng quốc tịch (cùng phái đoàn) thì ngồi gần nhau (ghế không đánh số).
Giải
Ta chọn tùy ý một phái đoàn ngồi vào bàn trước (cách chọn này không đóng vai trò gì do các ghế không đánh số) nên có 4! cách sắp xếp các phái đoàn còn lại.
Bây giờ ta xét các cách sắp xếp chỗ ngồi cho nội bộ từng phái đoàn. Theo giả thiết, ta có:
3! cách sắp xếp cho phái đoàn nước Anh. 5! cách sắp xếp cho phái đoàn nước Nga. 2! cách sắp xếp cho phái đoàn nước Mỹ. 3! cách sắp xếp cho phái đoàn nước Pháp.
4! cách sắp xếp cho phái đoàn nước Trung Quốc.
Vậy theo quy tắc nhân số cách sắp xếp chỗ ngồi cho hội nghị là: n = 4!.3!.5!.2!.3!.4! = 4976640 cách sắp xếp.
Ví dụ 2.15 Một tổ gồm 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ được xếp thành hàng ngang. Tính số cách sắp xếp sao cho 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau.
Giải
Vì 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau nên ta coi 3 học sinh đó đứng chung một vị trí.
Số cách sắp xếp 3 nữ đứng cạnh nhau là: n1 = 3! = 6.
Số cách sắp xếp 5 học sinh nam và 1 vị trí của 3 học sinh nữ là:
n2 = 6! = 720.
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
n= n1n2 = 6.720 = 4320.