Trong kinh tế học vĩ mô, người ta sử dụng mô hình IS-LM để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong cả hai thị trường là thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ.
* Mô hình IS
Trên đây, ta đã xét mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô của nền kinh tế đóng:
Y = C + I +G,
Với sự có mặt của thị trường tiền tệ, một biến số có ý nghĩa quan trọng được xem xét là lãi suất, kí hiệu là r. Trong mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô vừa đề cập trên, ta đã giả thiết tổng đầu tư không đổi I = I0 nhưng để xét ảnh hưởng qua lại của thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ, bây giờ ta giả sử rằng tổng đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r theo quy luật lãi suất càng cao thì đầu tư càng giảm. Hàm số biểu diễn quan hệ đó được gọi là hàm đầu tư.
Hàm đầu tư tuyến tính có dạng:
I = c − dr (c, d là các hằng số dương). Trong đó, hệ số d là hệ số sản xuất và hệ số c là tổng chi phí.
Phương trình biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường hàng hóa là:
Y = (aY +b) + (c−dr) + G0
⇔dr = b+ c+ G0 −(1−a)Y (2.6) Phương trình (2.6) biểu diễn quan hệ giữa lãi suất và thu nhập khi thị trường hàng hóa cân bằng (tổng cung bằng tổng cầu) được gọi là phương trình IS.
Từ (2.6) ta thấy thu nhập Y càng tăng thì lãi suất r càng giảm. Nếu biểu diễn quan hệ (2.6) trên mặt phẳng với trục hoành là thu nhập và trục tung là lãi suất thì ta được một đường thẳng dốc xuống. Đường thẳng đó gọi là đường IS.
* Mô hình LM
Trong thị trường tiền tệ, người ta cho rằng lượng cầu tiền kí hiệu là L, có quan hệ cùng chiều với thu nhập và quan hệ ngược chiều với lãi suất. Tức là, khi thu nhập tăng người ta dùng nhiều tiền mặt hơn và khi lãi suất tăng người ta dùng tiền mặt ít đi. Nếu biểu diễn bằng hàm tuyến tính thì hàm cầu tiền có dạng:
L = αY −βr (α và β là các hằng số dương).
Giả sử lượng cung tiền kí hiệu là M, được cố định ở mức M0. Điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ được biểu diễn dưới dạng phương trình:
M0 = αY −βr
⇔ βr = αY −M0 (2.7) Phương trình (2.7) biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ được gọi là phương trình LM và đường biểu diễn quan hệ đó trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đường LM. Từ phương trình (2.7) suy ra rằng
khi thu nhập Y tăng thì lãi suất tăng đường LM là đường dốc lên.
* Mô hình IS-LM
Hệ gồm hai phương trình (2.6) và (2.7) là mô hình IS-LM:
dr = b+ c+ G0 −(1−a)Y βr = αY −M0
Từ hệ hai phương trình đó ta xác định được mức thu nhập Y và lãi suất
r đảm bảo cân bằng trong cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ:
Y = β(b+c+G0) +dM0
αd+β(1−a) ;r =
α(b+c+G0)−(1−a)M0 αd +β(1−a) .
Điểm cân bằng là giao điểm của đường IS và đường LM.
Trên đây đề cập đến mô hình IS-LM dạng đơn giản để bạn đọc bước đầu làm quen với việc sử dụng toán học trong phân tích kinh tế. Trong kinh tế học vĩ mô, mô hình IS-LM được đề cập ở các cấp độ khác nhau, tùy theo yếu tố và các quan hệ được tính đến trong mô hình. Chẳng hạn, đối với nền kinh tế mở, phương trình cân bằng của thị trường hàng hóa (cân bằng thu nhập quốc dân) được xét dưới dạng:
Y = C +I +G+ X,
trong đó X là xuất khẩu ròng (xuất khẩu - nhập khẩu). Nếu tính đến thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng được thay bằng:
C = aYd+b, Yd = Y −T (T là tổng thuế thu nhập).
Ngoài ra, các thành tố G, X có thể được xét có tính đến quan hệ với thu nhập và một số yếu tố khác.
Ví dụ 2.8. Cho biết các thông tin sau đây về một nền kinh tế đóng, với lãi suất r tính bằng %, tỉ lệ thuế thu nhập t viết dưới dạng thập phân, các biến còn lại tính bằng triệu USD:
C = 0,8Yd+ 50; Yd = (1−t)Y;
I = 20−5r; t = 0,15 (tỉ lệ thuế thu nhập);
G = 200 ; L = 0,5Y −2r; M = 400.
a) Hãy lập phương trình IS và phương trình LM.
b) Xác định mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng.
Lời giải:
Đây là một ví dụ về nền kinh tế đóng, có tính đến thuế thu nhập
T = tY. a) Phương trình IS: Y = C +I +G ⇔Y = 0,8(1−0,15)Y + 50 + 20−5r + 200 ⇔0,32Y + 5r = 270. Phương trình LM: M = L ⇔ 0,5Y −2r = 400
b) Thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng được xác định từ hệ phương trình:
0,32Y + 5r = 270 0,5Y −2r = 400
* Giải hệ phương trình trên bằng kiến thức đại số tuyến tính
Ma trận hệ số A và ma trận số hạng tự do B: A= 0,32 5 0,5 −2 ;B = 270 400 .
Ta có det(A) =−157 50 . Do đó A −1 = 50 157 2 5 0,5 −0,32 Vậy X = Y r = A−1B = 808,92 2,23 . * Giải bằng phần mềm R
Trước tiên ta gọi thư viện matlib bằng lệnh: library(matlib)
Khai báo các ma trận A và B.
Nhận kết quả bằng lệnh: Solve(A, B, verbose = FALSE, fractions = TRUE)
Quá trình thực hiện được mô tả trên giao diện phần mềm R như hình 11, trong đó x1 = Y; x2 = r:
Hình 11
Kết luận thu nhập cân bằng Y = 808,92 triệu USD và lãi suất cân bằng r = 2,23%.
Ví dụ 2.9. Cho biết các thông tin sau đây về một nền kinh tế đóng, lãi suất r tính bằng % và các biến còn lại tính bằng triệu USD:
C = 0,8Yd+ 15;Yd = Y −T (T là thuế); T = 0,25Y −25;
Xác định mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng.
Lời giải:
Ta có:C = 0,8Yd+15 = 0,8(Y −T)+15 = 0,8(Y −(0,25Y −25))+15 ⇔ C = 0,6Y + 35.
Thu nhập cân bằng Y và lãi suất cân bằng r được xác định từ hệ phương trình: Y = 0,6Y + 35 + 65−r+ 94 5Y −50r = 1500 ⇔ 0,4Y + r = 194 5Y −50r = 1500
* Giải hệ phương trình trên bằng kiến thức đại số tuyến tính
Ma trận hệ số A và ma trận số hạng tự do B: A = 0,4 1 5 −50 ;B = 194 1500 . Ta có det(A) =−25. Do đó A−1 = 1 25 50 1 5 −0,4 . Vậy X = Y r = A−1B = "448 74 5 # . * Giải bằng phần mềm R
Trước tiên ta gọi thư viện matlib bằng lệnh: library(matlib)
Khai báo các ma trận A và B.
Nhận kết quả bằng lệnh:
Solve(A, B, verbose = FALSE, fractions = TRUE)
Quá trình thực hiện được mô tả trên giao diện phần mềm R như hình 12, trong đó x1 = Y; x2 = r.
Khi đó, ta kết luận thu nhập cân bằng Y = 448 triệu USD; lãi suất cân bằng r = 14,8 %.
Hình 12
Trong mô hình IS-LM, để tìm được mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng trong thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ, ta cần dùng kiến thức của hệ phương trình tuyến tính để giải. Hơn nữa, để cho việc tính toán nhẹ nhàng hơn, ta có thể sử dụng phần mềm R vào việc tìm kết quả khi giải hệ phương trình đó.