TRUNG BÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Trên cơ sở định lí giá trị trung bình trong không gian Banach, người ta chứng minh được một định lí khá đầy đủ về sự hội tụ của dãy hàm khả vi (hội tụ điểm và hội tụ đều); cũng như xây dựng nên mối quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm riêng; và chứng minh được định lí hàm ngược trong không gian Banach.
3.1. Sự hội tụ của dãy hàm khả vi
Trước hết, chúng ta nhắc lại định nghĩa hội tụ điểm và hội tụ đều của dãy hàm. Cho E là không gian Banach, X1 ⊂ E, dãy hàm {fn(x)} xác định trên X1 và hàm f xác định trên X1.
• Dãy hàm {fn(x)} được gọi là hội tụ điểm (hay gọi tắt là hội tụ) đến f(x)
trên X1 nếu fn(x)−→f(x) khi n −→+∞.
• Dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều đến f(x) trên X1, kí hiệu là fn(x)⇒ f(x), nếu
∀ε >0,∃n0∈N∗,∀n > n0,∀x∈X1 :||fn(x)−f(x)||< ε.
Khi đề cập đến sự hội tụ và hội tụ đều của dãy hàm khả vi, thì có nhiều vấn đề đặt ra, cụ thể như sau:
Vấn đề 1: Nếu dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều đến f(x) trên X, và {fn(x)} có đạo hàm trên X, thì có kết luận được hàmf(x)cũng có đạo hàm trênX không? Câu trả lời là không.
Thật vậy, xét dãy hàm fn : [−1; 1] −→R xác định bởi fn(x) =
r 1 n2 +x2. Khi đó {fn(x)} có đạo hàm trên [−1; 1] (Vì 1 n2 +x2 >0 ∀x ∈ [−1; 1],∀n ∈ N∗). Dễ dàng thấy rằng x2 ≤fn2(x) = 1 n2 +x2 ≤ |x|+ 1 n 2 . Suy ra |x| ≤fn(x)≤ |x|+ 1 n,∀x∈[−1; 1].
Như vậy, dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều đến hàm f(x) = |x|, tuy nhiên hàm f(x) = |x| không có đạo hàm tại x= 0.
Vấn đề 2: Nếu dãy hàm {fn(x)} hội tụ đều đến f(x) trên X, và {fn(x)} có đạo hàm trên X thì dãy hàm {fn0(x)} có hội tụ không?
Câu trả lời là không. Cụ thể, ta xem xét ví dụ sau đây: Xét dãy hàm fn : [0; 2π]−→R xác định bởi fn(x) = sin√nx
n . Do |siny| ≤ 1 với mọi y∈ R nên: ∀x ∈[0; 2π],0≤ |fn(x)| ≤ √1
n. Do đó, dãy hàm
{fn(x)} hội tụ đều đến hàm f(x) = 0. Mặt khác, fn0(x) = √