Côn trùng nói chung có nhiều giai đoạn trong chu kỳ sống của nó từ con non đến con trưởng thành. Hoàn thành một chu kỳ có thể mất nhiều tuần, nhiều tháng, thậm chí nhiều năm. Tuy nhiên, thông thường người ta sử dụng một thế hệ đơn như là một đơn vị cơ bản về thời gian khi viết mô hình cho sự phát triển quần thể côn trùng. Một vài giai đoạn trong chu kỳ sống có thể được mô tả bằng việc viết một số phương trình sai phân. Các phương trình sai phân đó thường được chuyển thành một phương trình đơn, trong đó tổ hợp tất cả các tham số cơ bản có mặt.
Xét một ví dụ về sự sinh sản của rệp rừng ở nốt sần của cây bạch dương, những con rệp cái trưởng thành tạo những nốt sần trên lá cây bạch dương. Tất cả các thế hệ con của một con rệp nằm trong một nốt sần. Một tỉ lệ nào đó trong số rệp con này sẽ nở ra và sống sót đến khi trưởng thành. Mặc dù khả năng sinh sản và khả năng sống sót đến khi trưởng thành phụ thuộc vào những điều kiện môi trường, chất lượng thức ăn và kích thước quần thể. Chúng ta tạm thời bỏ qua những ảnh hưởng này và nghiên cứu một mô hình lý tưởng, trong đó tất cả các thông số là hằng số.
Để thiết lập mô hình, trước hết ta xác định các biến số như sau: an: Số rệp cái trưởng thành trong thế hệ thứ n.
pn: Số rệp con mới sinh ra trong thế hệ thứ n. Với giả thiết:
m = 0.7: Tỉ lệ tử vong của rệp con.
f = 180: Số con mới sinh ra trên một con rệp cái.
r = 0.4: Tỉ lệ rệp cái trong toàn bộ số rệp trưởng thành.
Sau đó ta đi viết phương trình để biểu diễn sự sinh trưởng những quần thể của rệp và sử dụng những phương trình này để thu được một biểu thức về số con cái trưởng thành trong thế hệ thứ n, nếu ban đầu có số con cái là a0 = 50.
Do mỗi con cái sinh ra f = 180 con non nên ta có:
pn+1 = 180.an (2.21)
Trong đó pn+1 là số lượng con mới sinh ra trong thế hệ thứ n+ 1. Từ m = 0.7 là tỉ lệ tử vong của rệp con, ta có 1−m = 0.3 là tỉ lệ con non sống sót đến khi trưởng thành. Mặt khác, r = 0.4là tỉ lệ rệp cái trong toàn bộ số rệp trưởng thành nên ta có:
Số rệp cái trưởng thành trong thế hệ thứ n+ 1 = Số rệp con mới sinh ra trong thế hệ thứ n+ 1 × Tỉ lệ con non sống sót đến trưởng thành × Tỉ lệ rệp cái trong toàn bộ số trưởng thành Suy ra phương trình: an+1 = r.(1−m)·pn+1 hay an+1 = 3 25pn+1. (2.22) Từ (2.21) và (2.22) ta có: an+1 = 108 5 an.
Trong phần giả thiết ban đầu f, r, m là các số đã cho thí nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính là: an = 50·
108 5
n
là số con cái trưởng thành ban đầu. Từ đó suy ra số rếp cái trưởng thành ở thế hệ thứ 9 là: a9 = 50· 108 5 9 . Trong trường hợp tổng quát ta có:
an+1 = f.r.(1−m)an. (2.23) Giả thiết ban đầu f, r, m là hằng số tùy ý thì nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2.23) là:
an = [f.r.(1−m)]n ·a0 (2.24) (trong đó a0 là số con cái trưởng thành ban đầu).
Phương trình (2.23) là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và nghiệm có dạng như đã có ở (2.24). Biểu thức f.r.(1 −m) là số con cái trưởng thành mà mỗi rệp mẹ sinh ra. Từ đó suy ra, để đảm bảo cho quần thể sinh trưởng ở tỉ lệ sống sót cố định và tỉ lệ giới tính đã biết mà không bị tiêu diệt thì:
f > 1
r ·(1−m).
Do đó: nếu tỉ lệ sống sót của rệp là 1−m = 30% = 0.3 và tỉ lệ rệp cái trên tổng số rệp là r = 40% = 0.4 thì sức sinh sản của mỗi con rệp cái tối thiểu phải là 1
0.12 = 120 (con rệp con) thì quần thể rệp này sẽ không bị
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu, luận văn đã thu được những kết quả sau.
1.1. Hệ thống các kiến thức cơ bản về sai phân, phương trình sai phân cấp một.
1.2.Trình bày được các ứng dụng của phương trình sai phân trong việc giải các bài toán tính tổng qua các ví dụ cụ thể.
1.3. Trình bày được các ứng dụng của phương trình sai phân cấp một trong các mô hình kinh tế, mô hình sinh học trong thực tế.
2. Kiến nghị
Thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau.
2.1. Tìm và giải các bài toán ứng dụng phương trình sai phân cấp một trong tính tổng các dãy số.
2.2. Tìm và giải các bài toán ứng dụng phương trình sai phân cấp một trong sinh học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Vũ Quốc Chung, Nguyễn Văn Hùng, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh (2014), Ứng dụng của sai phân và phương trình sai phân trong toán sơ cấp, Nhà xuất bản Sư phạm. .
[2] Lê Đình Định (2011), Bài tập phương trình sai phân, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình sai phân và lý thuyết ổn định, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo dục.
[5] Nguyễn Hải Thanh (2008), Các phương pháp toán kinh tế, Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ thuật.
[6] Lê Đình Thịnh (2004), Phương pháp sai phân, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[7] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phạm Văn Hạp (1996), Phương trình sai phân và một số ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[8] Lê Hải Trung, Giáo trình Phương trình vi phân- sai phân, Nhà xuất bản Thông tin và truyền thông.
Tiếng Anh
[9] Alpha C. Chiang, (1984), ,Fundamental methods of mathematical eco- nomics, McGraw-Hill Book Company, New York.