Phát biểu mô hình
Giả sử thu nhập quốc dân bao gồm các phần chi phí dành cho tiêu dùng quốc dân, cho đầu tư và cho bộ máy nhà nước.
Chu kỳ quốc dân tại thời điểm (chu kỳ) t phụ thuộc vào mức thu nhập quốc dân tại thời điểm (chu kỳ) trước đó t−1.
Lượng đầu tư tại mỗi thời điểm t được giả sử là bằng một tỉ lệ nhất định của lượng tăng tiêu dùng tại thời điểm này so với thời điểm trước. Nếu lượng tiêu dùng tăng thì lượng đầu tư cũng được giả sử tăng lên. Ngoài ra chúng ta cũng giả sử rằng chi phí cho bộ máy nhà nước được coi là biến ngoại sinh.
Từ các giả thiết trên chúng ta có hệ phương trình sai phân sau đây:
Yt = Ct+ It +G0 Ct = γYt−1 It = α(Ct −Ct−1) Trong đó:
Y: Thu nhập quốc dân. C: Tiêu dùng quốc dân. I: Đầu tư (tái đầu tư).
α: Nhân tử tăng tốc cho tái đầu tư. γ: Khuynh hướng tiết kiệm biên.
Lấy phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ ba trong hệ ta được:
It = α(Ct −Ct−1) =α(γ ·Yt−1 −γ ·Yt−2) = αγ(Yt−1 −Yt−2) (2.10) Thay phương trình thứ hai và (2.10) vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
Yt = γYt−1 + αγ(Yt−1 −Yt−2) +G0
Thực hiện phép biến đổi, ta được:
Yt −γ(1 +α)Yt−1 + αγYt−2 = G0
hay
Yt+2−γ(1 +α)Yt+1 +αγYt = G0. (2.11) Khảo sát tính ổn định của mô hình
Trước hết chúng ta đi tìm nghiệm của phương trình sai phân (2.11). Phương trình (2.11) có cấu trúc nghiệm dạng Yt = Yt +Yt∗
Trong đó Yt là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Yt+2−γ(1 +α)Yt+1 +αγYt = 0. Yt∗ là một nghiệm riêng của phương trình (2.11).
Tìm Yt∗
Giả sử Yt∗ = k(const) thay vào (2.11) ta có: k−γ(1 +α)k+αγk = G0 Đặt k làm nhân tử chung, ta được:
k(1−γ −γα+αγ) =G0 hay k(1−γ) = G0. Suy ra k = G0 1−γ > 0 do 0 < γ <1 Vậy Yt∗ = G0 1−γ. Tìm Yt
Phương trình đặc trưng tương ứng: λ2 −γ(1 +α)λ+αγ = 0
Từ đó, ta có:
• Trường hợp 1:
Nếu ∆ > 0 ⇔ γ γ(1 +α)2 −4α
> 0 ⇔ γ > 4α
(1 +α)2 thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực λ1, λ2:
λ1,2 = γ(1 +α)±pγ2(1 +α)2 −4αγ
2 .
Ta có Yt = A1(λ1)t +A2(λ2)t
Suy ra: Yt = Yt + Yt∗ = A1(λ1)t+ A2(λ2)t + G0
1−γ
Vì f(1) = 1−γ(1 +α) +αγ = 1−γ > 0 do (γ < 1) theo giả thiết
nên 1 nằm ngoài khoảng nghiệm (λ1, λ2). Vậy có hai khả năng sau:
Khả năng 1: Nếu 0 < λ1 < λ2 < 1 ⇔ λ1.λ2 = αγ < 1 ⇔ γ < 1 α thì Yt = A1(λ1)t +A2(λ2)t + G0 1−γ −→ G0 1−γ khi t → +∞. Do đó Yt có tính ổn định dừng. Khả năng 2: Nếu 1 < λ1 < λ2 <⇔ λ1 ·λ2 = αγ > 1 ⇔ γ > 1 α thì Yt = A1(λ1)t+A2(λ2)t+ G0 1−γ không hội tụ về G0 1−γ khi t →+∞.
Do đó Yt không có tính ổn định dừng và cũng không dao động.
• Trường hợp 2: Nếu ∆ = 0 ⇔ γ = 4α (1 +α)2 thì phương trình đặc trưng có nghiệm kép: λ1 = λ2 = λ = γ(1 +α) 2 . Ta có: Yt = (A3 +A4t)λt Suy ra Yt = Yt +Yt∗ = (A3 +A4t)λt + G0 1−γ.
Vì f(1) 6= 0 nên ta xét hai khả năng sau:
Khả năng 1: Nếu λ1 = λ2 < 1 ⇔αγ < 1 ⇔γ < 1 α thì Yt = (A3 +A4t)λt + G0
1−γ −→ 1G0
−γ
khi t → +∞. Do đó Yt có tính ổn định dừng và không dao động. Khả năng 2: Nếu λ1 = λ2 > 1 ⇔αγ > 1 ⇔γ > 1
α thì Yt = (A3 + A4t)λt + G0
1−γ không hội tụ về G0
1−γ khi t → +∞. Do
• Trường hợp 3: Nếu ∆ < 0 ⇔ γ > 4α
(1 +α)2 thì phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức λ1, λ2:
λ1,2 = γ(1 +α)±ip|γ2(1 +α)2 −4αγ| 2 = a±bi. với a = γ(1 +α) 2 và b = p |γ2(1 +α)2 −4αγ| 2 = p |△| 2 . Đặt R = √ a2 +b2 = s γ2(1 +α)2 4 + −γ2(1 +α)2 + 4αγ 4 = √αγ, cosϕ = a R = γ(1 +α) 2√αγ , sinϕ = b R = p |∆| 2√αγ Khi đó Yt = Rt(A5cosϕt+ A6sinϕt) Yt = Yt +Yt∗ = Rt(A5cosϕt+A6sinϕt) + G0 1−γ Khả năng 1: Nếu R < 1 ⇔ αγ < 1 ⇔ γ < 1 α thì: Rt −→ 0 khi t−→ +∞. Do đó Yt có tính ổn định dừng theo thời gian và dao động tắt dần.
Khả năng 2: Nếu R ≥ 1 ⇔ αγ ≥ 1 ⇔ γ ≥ 1
α thì: Rt −→ ∞ khi
t −→ +∞. Do đó Yt không có tính ổn định dừng theo thời gian và dao động khuếch đại.
Từ các trường hợp đã phân tích ở trên ta đi tới kết luận sau đây về tính chất của đường quỹ đạo thời gian thu nhập quốc dân Yt trên biểu đồ cho trực quan.
Xét hai đường cong γ = 4α
(1 +α)2 và γ = 1
α, α ∈ (0,+∞).
Ta có đồ thị hai đường cong trên cùng một hệ trục tọa độ như sau: Do γ < 1 nên ta chỉ xét các vùng và các đoạn phía dưới đường γ = 1. Tại vùng A: 4α
Hình 2.5: Sơ đồ các vùng dao động của Yt và không dao động. Tại vùng D: 4α (1 +α)2 < γ < 1;α > 1;αγ > 1thì Yt không ổn định dừng và không dao động. Tại vùng B: 0 < γ < 4α (1 +α)2 và α < 1 hoặc 0 < γ < 1 α và α > 1 thì Yt có tính ổn định dừng và dao động tắt dần. Tại vùng C: 1 α < γ < 4α
(1 +α)2 và α > 1 thì Yt dao động khuếch đại và không ổn định dừng.
Trên đoạn cong L1: có γ = 4α
(1 +α)2; 0 < α < 1, γ < 1
α;γ < 1 tương ứng với trường hợp 2 khả năng 1, khi đó Yt có tính ổn định dừng và không dao động.
Trên đoạn cong L2: có γ = 4α
(1 +α)2;α > 1, γ > 1
α;γ < 1 tương ứng với trường hợp 2 khả năng 2, khi đó Yt không ổn định dừng và không dao động.
Trên đoạn cong L3:có γ = 1
α;α > 1;γ <
4α
(1 +α)2 tương ứng với trường hợp 3 khả năng 2, khi đó Yt dao động đều nhưng không ổn định dừng.
Bài toán 2.7. Xét mô hình tương tác với nhân tử tăng tốc Samuelson:
( Yt = Ct +It + G0
Ct = 0,8Yt−1
It = 3,5 (Ct −Ct−1)
Trong đó:
Y: Thu nhập quốc dân. C: Tiêu dùng quốc dân. I: Đầu tư (tái đầu tư).
G0: Chi phí cho bộ máy nhà nước.
Hãy mô tả định tính quỹ đạo thời gian tương ứng của mức thu nhập quốc dân Yt.
Lời giải. Lấy phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ ba trong hệ, ta được:
It = 3,5 (Ct −Ct−1) = 3,5 (0,8.Yt−1 −0,8.Yt−2) = 2,8 (Yt−1 −Yt−2)
(2.12) Thay phương trình thứ hai và (2.12) vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
Yt = 0,8Yt−1 + 2,8 (Yt−1 −Yt −2) +G0
Thực hiện biến đổi, ta được:
Yt −3,6Yt−1 + 2,8Yt−2 = G0 hay
Yt+2 −3,6Yt+1 + 2,8Yt = G0 (2.13) Phương trình (2.13) có cấu trúc nghiệm dạng Yt = Yt +Yt∗
Trong đó Yt là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Yt+2 −3,6Yt+1+ 2,8Yt = 0. Yt∗ là một nghiệm riêng của (2.12).
Tìm Yt∗
Giả sử Yt∗ = k (const) thay vào (2.12) ta có: k−3,6k + 2,8k = G0
hay
Từ đó, suy ra:
k = G0
0,2 = 5G0.
Vậy Yt∗ = 5G0. Tìm Yt
Phương trình đặc trưng tương ứng: λ2 −3,6λ+ 2,8 = 0.
∆′ = (1,8)2 − 2,8 = 0,44 > 0 khi đó phương trình đặc trưng có hai
nghiệm thực λ1, λ2:
λ1,2 = 1,8±p0,44 > 1. Ta có: Yt = A1(λ1)t +A2(λ2)t.
Suy ra: Yt = Yt+ Yt∗ = A1(λ1)t +A2(λ2)t + 5G0. Như vậy quỹ đạo thời gian của thu nhập quốc dân là:
Yt = Yt +Yt∗ = A1(λ1)t +A2(λ2)t + 5G0.
Nhận thấy λ1 > λ2 > 1 −→ (λ1)t,(λ2)t −→+∞ khi t−→ +∞.
Yt = A1(λ1)t+A2(λ2)t+ 5G0 không hội tụ về 5G0 khi t−→ +∞. Do đó:
Yt không có tính ổn định dừng và cũng không dao động.
Bài toán 2.8. Xét mô hình tương tác với nhân tử tăng tốc Samuelson:
( Yt = Ct +It + G0
Ct = 0,9Yt−1
It = 0,2 (Ct −Ct−1)
Trong đó:
Y: Thu nhập quốc dân. C: Tiêu dùng quốc dân. I: Đầu tư (tái đầu tư).
G0: Chi phí cho bộ máy nhà nước.
Hãy mô tả định tính quỹ đạo thời gian tương ứng của mức thu nhập quốc dân Yt.
Lời giải. Lấy phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ ba trong hệ ta được:
It = 0,2 (Ct −Ct−1) = 0,2 (0,9.Yt−1 −0,9.Yt−2) = 0,18 (Yt−1 −Yt−2)
(*) Thay phương trình thứ hai và phương trình (*) vào phương trình đầu tiên trong hệ ta có
Thực hiện phép biến đổi, ta được:
Yt −1,08Yt−1 + 0,18Yt−2 = G0
hay
Yt+2−1,08Yt+1 + 0,18Yt = G0 (2.14) Phương trình (2.14) có cấu trúc nghiệm dạng Yt = Yt +Yt∗.
Trong đó Yt là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Yt+2−1,08Yt+1+ 0,18Yt = 0. Yt∗ là một nghiệm riêng của (2.14).
Tìm Yt∗
Giả sử Yt∗ = k (const) thay vào (2.14) ta có: k −1,08k + 0,18k = G0. hay 0,1k = G0 Từ đó, ta thu được: k = G0 0,1 = 10G0. Vậy Yt∗ = 10G0. Tìm Yt
Phương trình đặc trưng tương ứng: λ2 −1,08λ+ 0,18 = 0.
∆′ = (0,54)2 −0,18 = 0,1116 > 0 khi đó phương trình đặc trưng có hai
nghiệm thực λ1, λ2:
λ1,2 = 0,54±p0,1116. Ta có: Yt = A1(λ1)t +A2(λ2)t.
Suy ra Yt = Yt +Yt∗ = A1(λ1)t +A2(λ2)t+ 10G0. Như vậy quỹ đạo thời gian của thu nhập quốc dân là:
Yt = Yt +Yt∗ = A1(λ1)t +A2(λ2)t+ 10G0.
Nhận thấy 0< λ2 < λ1 < 1 −→(λ1)t; (λ2)t −→ 0 khi t−→ +∞
Yt = A1(λ1)t + A2(λ2)t + 10G0 hội tụ về 10G0 khi t −→ +∞. Do đó Yt
có tính ổn định dừng và cũng không dao động.
Bài toán 2.9. Xét mô hình tương tác với nhân tử tăng tốc Samuelson:
( Yt = Ct +It +G0
Ct = 0,8Yt−1
Trong đó:
Y: Thu nhập quốc dân. C: Tiêu dùng quốc dân. I: Đầu tư (tái đầu tư).
G0: Chi phí cho bộ máy nhà nước.
Hãy mô tả định tính quỹ đạo thời gian tương ứng của mức thu nhập quốc dân Yt.
Lời giải. Lấy phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ ba trong hệ ta được:
It = 2 (Ct −Ct−1) = 2 (0,8.Yt−1 −0,8.Yt−2) = 1,6 (Yt−1 −Yt−2) (2.15)
Thay phương trình thứ hai và (2.15) vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
Yt =0,8Yt−1 + 1,6 (Yt−1 −Yt −2) +G0
Thực hiện phép biến đổi, ta được:
Yt −2,4Yt−1 + 1,6Yt−2 = G0
hay
Yt+2 −2,4Yt+1 + 1,6Yt = G0 (2.16) Phương trình (2.16) có cấu trúc nghiệm dạng Yt = Yt+Yt∗ Trong đó Yt là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Yt+2 −2,4Yt+1+ 1,6Yt = 0
Yt∗ là một nghiệm riêng của (2.16). Tìm Yt∗
Giả sử Yt∗ = k (const) thay vào (2.16) ta có: k−2,4k + 1,6k = G0 hay 0,2k = G0 Từ đó, suy ra: k = G0 0,2 = 5G0. Vậy Yt∗ = 5G0. Tìm Yt
∆′ = (1,2)2 − 1,6 = −0,16 < 0 khi đó phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức λ1, λ2: λ1,2 = 1,2±0,4i. Đặt r = p(1,2)2 + (−0,4)2 = √ 1,6; cosϕ = √1,2 1,6; sinϕ = 0,4 √ 1,6. Ta có: Yt = rt(Acosnϕ+Bsinnϕ).
Suy ra Yt = Yt +Yt∗ = rt(Acosnϕ +Bsinnϕ) + 5G0. Như vậy quỹ đạo thời gian của thu nhập quốc dân là:
Yt = Yt +Yt∗ = rt(Acosnϕ+ Bsinnϕ) + 5G0.
Nhận thấy |r| > 1 −→rt −→ +∞ khi t −→ +∞.
Yt = rt(Acosnϕ +Bsinnϕ) + 5G0 không hội tụ về 5G0 khi t −→ +∞.
Do đó Yt không có tính ổn định dừng và cũng không dao động.
Bài toán 2.10. Xét mô hình tương tác với nhân tử tăng tốc Samuelson:
( Yt = Ct + It +G0
Ct = 0,6Yt−1
It = 1.5 (Ct −Ct−1)
Trong đó:
Y: Thu nhập quốc dân. C: Tiêu dùng quốc dân. I: Đầu tư (tái đầu tư).
G0: Chi phí cho bộ máy nhà nước.
Hãy mô tả định tính quỹ đạo thời gian tương ứng của mức thu nhập quốc dân Yt.
Lời giải. Lấy phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ ba trong hệ, ta được:
It = 1,5 (Ct −Ct−1) = 1,5 (0,6.Yt−1 −0,6.Yt−2) = 0,9 (Yt−1 −Yt−2)
(*) Thay phương trình thứ hai và (*) vào phương trình thứ nhất trong hệ, ta có:
Yt = 0,6Yt−1 + 0,9 (Yt−1 −Yt −2) +G0. Thực hiện phép biến đổi, ta có:
Yt −1,5Yt−1 + 0,9Yt−2 = G0
hay
Phương trình (2.17) có cấu trúc nghiệm dạng: Yt = Yt + Yt∗. Trong đó Yt là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.
Yt+2 −1,5Yt+1+ 0,9Yt = 0. Yt∗ là một nghiệm riêng của (2.17).
Tìm Yt∗
Giả sử Yt∗ = k (const) thay vào (2.17) ta có: k−1,5k + 0,9k = G0 hay 0,4k = G0 Từ đó, suy ra: k = G0 0,4 = 2,5G0. Vậy Yt∗ = 2,5G0 Tìm Yt
Phương trình đặc trưng tương ứng: λ2 −1,5λ+ 0,9 = 0.
∆′ = (0,75)2 −0,9 = −0,3375 < 0 khi đó phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức λ1, λ2: λ1,2 = 0,75±p0,3375i. Ta có: Yt = A1(λ1)t +A2(λ2)t. λ1,2 = 0,75±ip0,3375. Đặt r = p (0,75)2 + 0,3375 = √ 0,9; cosϕ= √0,75 0,9; sinϕ= √ 0,3375 √ 0,9 . Ta có Yt = rt(Acosnϕ+Bsinnϕ). Suy ra Yt = Yt +Y∗ t = rt(Acosnϕ +Bsinnϕ) + 2,5G0.
Như vậy quỹ đạo thời gian của thu nhập quốc dân là:
Yt = Yt + Yt∗ = rt(Acosnϕ+Bsinnϕ) + 2,5G0.
Nhận thấy |r| < 1 −→rt −→ 0 khi t −→+∞.
Yt = rt(Acosnϕ+Bsinnϕ) + 2,5G0 hội tụ về 2,5G0 khi t −→ +∞. Do
2.3. Ứng dụng phương trình sai phân cấp một trong sinh học 2.3.1. Sự phân chia tế bào
Giả sử một tế bào phân chia đồng thời, mỗi tế bào đó sinh ra một lượng là a = 2 tế bào con. Ta đặt lượng tế bào trong từng thế hệ tương ứng với chỉ số dưới là 1,2, . . . , n thì khi đó S1, S2, . . . , Sn là số lượng tế bào riêng biệt trong thế hệ thứ nhất, thứ hai,. . . , thứ n.
Theo giả thiết, ta có phương trình biểu diễn thế hệ tiếp theo là:
Sn+1 = 2.Sn. (2.18)
Giả thiết rằng ban đầu có S0 = 99 tế bào, quần thể sẽ lớn như thế nào sau n thế hệ. Sử dụng phương trình (2.18) được kết quả sau:
Sn+1 = 2.Sn = 2.(2.Sn−1) = 2·[2·(2.Sn−2)] = . . . = 2n+1S0 = 99.2n+1.
(2.19) Từ (2.19) thì qua n = 7 thế hệ ta có số lượng tế bào sẽ là: S7 = 99.27.
Trong trường hợp tổng quát số lượng tế bào được xác định bởi phương trình sau:
Sn = an.S0. (2.20)
Kết quả của phương trình phân chia tế bào cho ta một phương trình sai phân tuyến tính đơn giản (2.20). Phương trình đó chứa một biểu thức có dạng một số nào đó có lũy thừa bậc n, với n là số thế hệ. Nhận thấy rằng, độ lớn của a sẽ quyết định quần thể phát triển hay thoái hóa theo thời gian. Đó là:
|a| > 1: Sn tăng qua các thế hệ kế tiếp.
|a| < 1: Sn giảm qua các thế hệ kế tiếp.
|a| = 1: Sn là hằng số qua các thế hệ.
2.3.2. Sự sinh trưởng của một quần thể côn trùng
Côn trùng nói chung có nhiều giai đoạn trong chu kỳ sống của nó từ con non đến con trưởng thành. Hoàn thành một chu kỳ có thể mất nhiều tuần, nhiều tháng, thậm chí nhiều năm. Tuy nhiên, thông thường người ta sử dụng một thế hệ đơn như là một đơn vị cơ bản về thời gian khi viết mô hình cho sự phát triển quần thể côn trùng. Một vài giai đoạn trong chu kỳ sống có thể được mô tả bằng việc viết một số phương trình sai phân. Các phương trình sai phân đó thường được chuyển thành một phương trình