Phương pháp
+ Chúng ta đã xét dãy phép thử độc lập và công thức Bernoulli. Nếu thực hiện n phép thử độc lập, trong mỗi phép thử biến cố A xuất hiện với xác suất p không
đổi thì biến ngẫu nhiên X chỉ số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử có phân phối nhị thức.
+ Trong thực tế, với một số giả thiết thích hợp thì các biến ngẫu nhiên Poisson là các quá trình đếm sau:
- Số cuộc gọi đến một tổng đài;
- Số khách hàng đến một điểm giao dịch; - Số xe cộ đi qua một ngã tư...
Trong một khoảng thời gian xác định nào đó sẽ có phân phối Poisson với tham sốδlà tốc độ trung bình diễn ra trong khoảng thời gian này. ...
Bài toán 2.4.1. Một gia đình có 10 người con. Giả sử xác suất sinh con trai, con gái như nhau. Tính xác suất:
a) Không có con trai
b) Có 5 con trai và 5 con gái c) Số con trai từ 5 đến 7.
Giải:
Gọi X là số con trai trong 10 người con. Ta có X∼B(10,1 2) a)P(X =0) =C100 .(1 2)0.(1 2)10= 1 1024 b)P(X =5) =C105 .(1 2)5.(1 2)5 = 63 256 =0,25 c) P(5≤X ≤7) =C105 .(1 2)5.(1 2)5+C106 .(1 2)6.(1 2)4+C107 .(1 2)7.(1 2)3 = 582 1024 =0,6
Bài toán 2.4.2. Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái.
a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư. b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư.
c) Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư. d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.
Gọi X là số trái hư trong ba trái lấy ra. a)P(X =3) = C 3 4 C103 = 4 120 =0,03 b)P(X =1) = C 1 4C62 C103 = 60 120 =0,5 P(X ≥1) =1−P(X <1) =1− C 3 6 C103 =0,83 P(X ≤2) =P(X =0) +P(X =1) +P(X =2) =0,97
Bài toán 2.4.3. Trọng lượng của 1 gói đường (đóng bằng máy tự động) có phân phối chuẩn. Trong 1000 gói đường có 70 gói có trọng lượng lớn hơn 1015 g. Hãy ước lượng xem có bao nhiêu gói đường có trọng lượng ít hơn 1008 g. Biết rằng trọng lượng trung bình của 1000 gói đường là 1012 g.
Giải:
Gọi X là trọng lượng trung bình của 1 gói đường (g)
X ∼N(1012,σ2) P(X >1015) =0,07=0,5−Φ(1015−1012 σ ) ⇒Φ(3 σ) =0,43≈0,4306⇒ σ3 =1,48 ⇒σ= 3 1,48 =2,0325 Vậy P(X <1008) =0,5+Φ(1008−1012 2,0325 ) =0,5−Φ(1,97) =0,5−0,4756≈0,024.
Do đó trong 1000 gói đường sẽ có khoảng 1000.0,024 = 24 gói đường có trọng lượng ít hơn 1008g.
Bài toán 2.4.4. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất là 0,1587 và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu?
Giải:
X ∼N(µ,σ2),µ,σ2 chưa biết. P(X >20) =0,5−Φ(20−µ σ ) =0,1587 P(X >25) =0,5−Φ(25−µ σ ) =0,0228 ⇔ Φ(20−µ σ ) =0,3413 =Φ(1) Φ(25−µ σ ) =0,4772 =Φ(2) ⇔ 20−µ σ =1 25−µ σ =2 ⇔ µ =15 σ =5 Để có lãi thì P(X >0) =0,5−Φ(0−15 5 ) =0,5+Φ(3) =0,5+0,4987=0,9987
Bài toán 2.4.5. Nhà máy sản xuất 100000 sản phẩm trong đó có 30000 sản phẩm loại 2, còn lại là sản phẩm loại 1. KCS đến kiểm tra và lấy ra 500 sản phẩm để thử. Trong 2 trường hợp chọn lặp và chọn không lặp. Hãy tính xác suất để số sản phẩm loại 2 mà KCS phát hiện ra:
a) Từ 145 đến 155 b) Ít hơn 151.
Giải:
Trường hợp chọn lặp:
Gọi X là số sản phẩm loại 2 có trong 500 sản phẩm đem kiểm tra. Ta có:X ∼B(500; 0,3)
Do n = 500 khá lớn, p = 0,3 (không quá 0 và 1) Nên ta xấp xỉ theo chuẩnX ∼N(150; 105)
a) P(145≤X ≤155) =Φ(155−150 √ 105 )−Φ(145−150 √ 105 ) =Φ(4,87) +Φ(4,87) =0,5+0,5=1
b) P(0≤X ≤150) =Φ(150−150 √ 105 )−Φ(0−150 √ 105 ) =0+Φ(14,6) =0,5 Trường hợp chọn lặp:
X ∼H(100000; 30000; 500)X có phân phối siêu bội Do N = 100000 » n = 500 nên ta xấp xỉ theo nhị thức:
X ∼B(500; 0,3)
với p= 30000
100000 =0,3 Kết quả giống như trên.
Bài toán 2.4.6. Có 20 chi tiết máy, trong đó có 15 chi tiết máy tốt. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 chi tiết máy. Gọi X là số chi tiết máy tốt trong số 4 chi tiết máy được lấy ra.
a) Tính xác suất để lấy được 3 chi tiết máy tốt.
b) Tính trung bình số chi tiết máy tốt được lấy ra và phương sai của X.
Giải: Ta cóX ∼H(20,15,4) P(X =k) =C k 15.C54−k C204 (k=0,4) Do đó P(X =3) = C 3 15.C51 C204 = 455 969 ≈0,4696 c) Trung bình số chi tiết tốt được lấy ra :E(X) =np=4.15
203 Phương saiVar(X) =npqN−n
N−1 =4.15 20. 5
20.16
19 ≈0,6316.
Bài toán 2.4.7. Một đề thi có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Sinh viên A trả lời một cách ngẫu nhiên tất cả câu hỏi. Gọi X là số câu trả lời đúng trong 10 câu.
a) Tính xác suất để sinh viên A trả lời đúng từ 2 đến 3 câu hỏi. b) Tính xác suất để sinh viên A trả lời đúng ít nhất một câu hỏi.
c) Tính trung bình số câu hỏi được trả lời đúng và phương sai của X. d) Tính số câu hỏi mà sinh viên A có khả năng trả lời đúng lớn nhất.
Giải: Ta có : X ∼B(10; 0,25) a) Ta có P(2≤X ≤3) =P(X =2) +P(X =3) =C102 (0,25)2(0,75)8+C103 (0,25)3(0,75)7 ≈0,531 b) Ta có P(X ≥1) =1−P(X <1) =1−P(X =0)≈0,943. c) Kỳ vọng và phương sai E(X) =np=10.0,25=2,5 D(X) =npq=10.0,25.0,75=1,875
d) Số câu hỏi mà sinh viên có khả năng trả lời đúng nhất chính là Mod(X), ta
có:
np−q≤Mod(X)≤np+p⇔1,75≤Mod(X)≤2,75 VậyMod(X) = 2
Bài toán 2.4.8. [1] Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 12%. Các sản phẩm của nhà máy được đóng gói thành từng hộp , mỗi hộp 20 sản phẩm.
a) Trung bình mỗi hộp chứa bao nhiêu phế phẩm? Tính độ lệch chuẩn số phế phẩm trong mỗi hộp.
b) Một khách hàng mua ngẫu nhiên một hộp sản phẩm. Tính xác suất hộp đó có chứa phế phẩm.
c) Tìm số phế phẩm trong hộp có xác suất lớn nhất.
Giải:
Gọi X là số phế phẩm trong mỗi hộp. Khi đó,X ∼B(20; 0; 12). a)E(X) =np=2,4;σ(X) =pnp(1−p)∼1,45
b)P(X ≥1) =1−P(X =0) =1−0,8820
c)(n+1)p=2,52∈/ Znên P(X =k) =C20k .0,12k.0,8820−kđạt giá trị lớn nhất tại k = 2.
Bài toán 2.4.9. [1] Một gara cho thuê xe ôtô có 2 ôtô loại A. Số đơn đặt hàng ôtô loại này vào ngày cuối tuần có phân bố Poisson với số đơn trung bình 2 đơn/ngày. Tính xác suất trong ngày cuối tuần:
a) Có một ôtô loại A được thuê. b) Có 2 ôtô loại A được thuê.
c) Gara không đáp ứng nhu cầu thuê ôtô loại này.
Giải:
Gọi X là số đơn đặt hàng thuê ôtô ngày cuối tuần của gara. Ta có X ∼ Poi(2)
(doE(X) =λ=2.) a)P(X =1) =e−22 1 1! ≈0,27 b) P(X ≥2) =1−P(X <2) =1−P(X =0)−P(X =1) =1−e−2−e−22 1 1! ≈0,59 c)P(X >2) =1−P(X ≤2)≈0,32.
Bài toán 2.4.10. [1] Ở một tổng đài bưu điện, số cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson với số cuộc điện thoại trung bình là 2 cuộc gọi 1 phút. Tính xác suất có đúng 5 cuộc trong khoảng thời gian 1 phút.
Giải:
Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong khoảng thời gian 1 phút, theo giả thiết, X có phân bố Poisson. VìE(X) =2 nên λ=2. Do đó:
P(X =5) =e−2.2 5
5! ≈0,036
Bài toán 2.4.11. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 0,006. Lấy ngẫu nhiên 1000 sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất có đúng 9 phế phẩm.
Giải:
Gọi X là số phế phẩm trong 1000 sản phẩm, khi đóX ∼B(1000; 0,006). Vì n = 1000 khá lớn và p = 0,006 khá bé nên ta có thể tính bằng xấp xỉ phân bố Poisson vớiλ=np=6:
P(X =9)≈e−9.6 9
9! ≈0,069
Bài toán 2.4.12. Một xưởng in sách thấy rằng trung bình một cuốn sách 500 trang có chứa 300 lỗi. Tìm xác suất trong một tháng:
a) Có đúng 2 lỗi b) Có ít nhất 2 lỗi.
Giải:
Gọi p là xác suất một chữ bị lỗi, X là số lỗi trong 1 trang có n chữ. Khi đó
X ∼B(n;p) và E(X) =np = 300/500 =0,6. Vì xác suất 1 chữ bị lỗi rất nhỏ và số chữ trong 1 trang rất lớn nên có thể xấp xỉ X bởi phân bố Poisson với
λ=0,6. Do đó: a)P(X =2) = 0,6
2
2! e−0,6 ≈0,099
b)P(X ≥2) =1−P(X <2)≈1−0,549−0,359=0,122
Bài toán 2.4.13. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X ∼ N(1; 4). Tính P(X < 3,5),P(X >0),P(0,5 <X ≤2,5)
Giải:
P(X <3,5) =Φ(3,5−1
P(X >0) =1−P(X ≤0) =1−Φ(−0,5) =Φ(0,5) =0,6915
P(0,5<X ≤2,5) =Φ(0,75)−Φ(−0,25) =0,3721
Bài toán 2.4.14. Giả sử số đo chiều dài của một sợi dây kim loại do một máy tự động cắt ra là một biến ngẫu nhiên chuẩn vớiµ =10mm,σ2 =4mm2.
a) Tính xác suất lấy ra được một sợi dây có chiều dài lớn hơn 13mm. b) Tìm tỉ lệ sợi dây do máy cắt ra có chiều dài từ 8,5mm đến 12,5mm.
Giải:
a)P(X >13) =1−P(X ≤13) =1−Φ(1,5) =0,067 b)P(8,5≤X ≤12,5) =Φ(1,25)−Φ(−0,75) =0,668.
Bài toán 2.4.15. Đường kính của một trục trong ổ đĩa quang là một biến ngẫu nhiên chuẩn với đường kính trung bình là 0,2508inch và độ lệch chuẩn 0,0005inch. Thông số kỹ thuật ghi trên trục là 0,25±0,0015inch. Tìm tỉ lệ trục có đường kính phù hợp với thông số kỹ thuật.
Giải:
Gọi X là đường kính của trục ổ đĩa quang, ta có:
X ∼N(0,2508; 0,00052)
P(0,25−0,0015≤X ≤0,25+0,0015) =Φ(1,4)−Φ(−4,6) =0,919
Bài toán 2.4.16. Chiều cao X(mét) của nam thanh niên trưởng thành ở quốc gia A tuân theo quy luật phân bố chuẩnN(µ; 0,12). Chọn ngẫu nhiên 100 nam thanh niên của quốc gia A. Tính xác suất sai số tuyệt đối giữa chiều cao trung
bình của 100 nam thanh niên được chọn vớiµ không vượt quá 0,03.
Giải:
GọiXklà chiều cao của nam thanh niên thứ k (k = 1,2,...,100). Khi đó:
X = X1+X2+...+X100
100
là chiều cao trung bình của 100 nam thanh niên được chọn. VìX ∼N(µ; 0,012)
nên ta có :
P(|X−µ| ≤0,03) =2φ(3)−1 =0,9974
Nhu vậy, khi chọn ngẫu nhiên 100 nam thanh niên thì hầu như chắc chắn rằng
chiều cao trung bình của 100 nam thanh niên đó rơi vào đoạn [µ−0,03;µ+
Bài toán 2.4.17. Giả sử tuổi thọ (X) của một chiếc quạt trong máy tính là một biến ngẫu nhiên phân bố mũ với tuổi thọ trung bình là 3300 giờ. Tính xác suất:
a) Chiếc quạt hỏng trước 10000 giờ.
b) Chiếc quạt có tuổi thọ lớn hơn 7000 giờ.
Giải:
Theo giả thiếtE(X) = 1
λ =3300nên: a)P(X <10000) = 10000R 0 1 3300e−x/3300.dx≈0,952. b)P(X >7000) =1−P(X ≤7000) = 7000R 0 1 3300e−x/3300.dx≈0,88.
Bài toán 2.4.18. Tuổi thọ làm việc của một linh kiện điện tử là một biến ngẫu nhiên X có kì vọng 250 giờ và độ lệch chuẩn là 250 giờ. Tính xác suất 100 linh kiện được chọn ngẫu nhiên có tổng tuổi thọ ít nhất 1 năm (365 ngày).
Giải:
GọiXk là tuổi thọ của linh kiện thứk 1≤k≤100, khi đó các biến ngẫu nhiên
X1,X2, ...,Xn độc lập, cùng phân bố xác suất vớiX. Theo định lý giới hạn trung tâm ta có:
T =X1+X2+...+Xn
có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn N(100×250; 100×2502). Do đó
P(T ≥365x24) =1−P(S<8760)≈1−Φ(−6,496)≈1
Bài toán 2.4.19. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là 0,7. Cho xạ thủ bắn 100 phát độc lập vào mục tiêu, tính xác suất có ít nhất 75 phát trúng mục tiêu.
Giải:
Gọi X là số phát trúng trong 100 phát đã bắn. Khi đóX ∼B(100; 0,7).Áp dụng hệ quả định lý giới hạn tích phân Moivre - Laplace, X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩnN(70; 21). Do đó:
P(X ≥75) =1−P(X <75) =1−Φ(75−70 √
21 )≈0,14
Bài toán 2.4.20. Có 10000 xe máy mua bảo hiểm của một công ty trong 1 năm. Mỗi chủ xe phải nộp phí 100000 đồng/ 1 năm và trung bình nhận lại
5×106 đồng nếu xe máy bị tai nạn giao thông. Qua thống kê cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông trong 1 năm là 0,006. Tính xác suất:
a) trong một năm hoạt động công ty bị lỗ.
b) trong một năm hoạt động công ty lãi ít nhất 800 triệu đồng.
Giải:
Gọi X là số xe máy mua bảo hiểm của công ty bị tai nạn trong một năm, khi đó
X ∼B(104; 0,006). Vì np = 60 và np(1 - p) = 59,64 nên ta có thể xấp xỉ X bởi phân bố chuẩn N(60;59;64)
a) Xác suất sau một năm hoạt động công ty bị lỗ là:
P(109−5x106X <0) =P(X >200) =1−P(X ≤200) =1−Φ(18,13) =0 b) Xác suất sau một năm hoạt động công ty lãi ít nhất 800 triệu đồng là:
P(109−5x106X ≥8.108) =P(X ≤40) =Φ(−2,59)≈0,005
Bài toán 2.4.21. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là BNN có phân phối chuẩn với trung bình là 11 năm và độ lệch chuẩn là 2 năm.
a) Nếu quy định thời gian bảo hành là 10 năm thì tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là bao nhiêu?
b) Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10% thì phải quy định bảo hành là bao nhiêu?
Giải:
Gọi X (năm) là tuổi thọ của loại sản phẩm này. Ta cóX ∼N(11,4). a) Tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành
P(0≤X ≤10) =Φ(10−11
2 )−Φ(0−11
2 ) =0,3085. b) Gọi a là thời gian bảo hành.
P(0≤X ≤a) =10%⇔Φ(a−11 2 )−Φ(0−11 2 ) =0,1 ⇔Φ(a−11 2 ) +0,5=0,1 ⇔Φ(a−11 2 ) =−0,4 ⇔Φ(11−a 2 ) =0,4=Φ(1,29) ⇔ 112−a =1,29 ⇔a=8,42
Bài toán 2.4.22. Một loại chi tiết máy được gọi là đạt tiểu chuẩn nếu đường kính của nó sai lệch không quá 0,33mm về giá trị tuyệt đối so với đường kính thiết kế. Cho biết đường kính của loại chi tiết máy này là BNN phân phối theo quy luật chuẩn, với độ lệch tiêu chuẩn là 0,3mmm.
a) Tìm xác suất để sản xuất được một chi tiết máy đạt tiêu chuẩn.
b) Tìm trung bình số chi tiết máy đạt tiêu chuẩn khi sản xuất 100 chi tiết.
Giải:
Gọi X là đường kính của chi tiết máy. Theo giả thiết ta có X ∼ N(µ,σ2) với
σ=0,3
a) Xác suất để sản xuất được 1 chi tiết máy đạt tiêu chuẩn là
P(|X−µ| ≤0,33) =2Φ(0,33
0,3 ) =2Φ(1,1) =0,7286.
b) Gọi Y là số chi tiết đạt tiêu chuẩn khi sản xuất 100 chi tiết. Khi đóY ∼B(n,p)
với n = 100 và p = 0,7286. Trung bình số chi tiết đạt tiêu chuẩn khi sản xuất 100 chi tiết là
E(X) =np=100.0,7286=72,86
Bài toán 2.4.23. Đường kính của một loại chi tiết máy có quy luật phân phối
chuẩn với đường kính trung bình là 200mm, phương sai là 25mm2. Chọn ngẫu
nhiên một chi tiết máy
a) Tính xác suất để chọn được chi tiết có đường kính > 205,25mm.
b) Tính xác suất để chọn được chi tiết có đường kính từ 205mm đến 210mm.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chiều dài đường kính của một loại chi tiết máy.