Phương pháp
Xét một phép thử có vô hạn không gian mẫu với đồng khả năng. Giả sử ta có
thể biểu thị tập hợp mọi không gian mẫu này bởi một miền hình họcG nào đó:
một đoạn thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không gian
. . . và những không gian mẫu thích hợp cho sự kiệnAbởi các điểm thuộc miền
congg⊂G. Với các giả thiết trên, xác suất của sự kiệnAđược tính như sau:
P(A) = kích thước miền g kích thước miền G.
Bài toán 2.3.1. Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a = 2cm.
Giải:
Gọi Alà biến cố điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a = 2cm.
Gọih là đường cao trong tam giác đều, khi đóh =a. √
3 2 =√
+ Ta có diện tích của tam giác đều đã cho là : |Ω|= 1 2ah=√ 3 + Ta có diện tích hình tròn đã cho là : |A|=π.R2 = 1 9.π.h2= π 3 Vậy theo công thức xác suất hình học ta có:
P(A) = |A| |Ω| =
π/3 √
3 ≈0,605.
Bài toán 2.3.2. Đường dây điện thoại ngầm nối hai trạm A, B bỗng nhiên bị đứt. Dây dài 800 mét chôn trong lòng đất đồng chất. Hãy tính xác suất của sự kiện: chỗ đứt cách A không quá 100 mét.
Giải:
Rõ ràng dây có đứt tại một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB (như hình vẽ) với cùng khả năng như nhau, do đó có thể biểu thị tập hợp mọi kết cục đồng khả năng của phép thử bởi đoạn thẳng AB.
Các kết cục thích hợp cho sự kiện chỗ đứt cách A không quá 100 mét được biểu thị bởi đoạn AC.
Do đó:P= 100
800 = 1
8
Bài toán 2.3.3. Trên một vòng tròn bán kính R có một điểm A cố định. Chọn ngẫu nhiên trên vòng tròn đó một điểm. Tính xác suất để điểm này cách A không quá R.
Điểm M có thể chọn tùy ý trên vòng tròn nên miền đồng khả năng là cả vòng tròn.
Muốn biến cố: “Điểm M cách A không quá R” xảy ra thì điểm M chỉ được nằm trên cung IJ (như hình vẽ).
Do đóP(A) = độ dài IJ
độ dài (O) =
1 3
Bài toán 2.3.4. Trên đoạn thẳng OA ta chọn ngẫu nhiên hai điểm B và C có
độ dài tương ứng là OB = x, OC = y (y ≥ x). Tìm xác suất sao cho độ dài của
đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB.
Giải:
Giả sử đoạn thẳng OA có chiều dài bằng l.
Với mỗi cách chọn hai điểm B và C có độ dài tương ứng là OB = x, OC = y
(y≥ x) sẽ cho ta tương ứng một điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Vì:
(0≤x≤l
0≤y≤l y≥x
suy ra miền biểu diễn điểm M(x;y) là tam giác OMP như hình vẽ bên dưới.
Để độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB thìy−x<x⇒y<2x. Do đó: Miền biểu diễn các kết cục thuận lợi là tam giác ONP.
VậyP= SONP
SOMP = 1
2
Bài toán 2.3.5. Xét hình vuông (H) giới hạn bởi:0≤x≤1,0≤y≤1và hai
đường cong: y =x2 và y = √x. Lấy ngẫu nhiên một điểm M thuộc hình vuông
(H). Tìm xác suất để M thuộc hình giới hạn bởi hai đường cong trên.
Giải:
Diện tích hình vuông (H) bằng S = 1.
Hai đường cong y = x2, y = √x cắt nhau tại O(0;0) và A(1;1) là hai đỉnh hình vuông (H).
Diện tích hình giới hạn bởi hai đường cong là:
S′ = 1 Z 0 (√ x−x2)dx= 2 3x32 −13x3 1 0 = 1 3 Vậy xác suất cần tìm là:P= S ′ S = 1 3 ≈33%
Bài toán 2.3.6. Có một đoạn thẳng chiều dài l. Bẻ gẫy ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn đó tạo thành được một tam giác.
Giải:
Nếu ta xem đoạn thẳng như một trục số từ O đến l, ta ký hiệu x là tọa độ điểm chia thứ nhất và y là tọa độ điểm chia thứ hai (trên trục Ol) thì đoạn thẳng được chia thành ba đoạn có độ dài tương ứng là: x, y - x và l - y.
Mỗi cách chia đoạn thẳng sẽ được biểu thị bằng một điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ta nhận thấy0<x<y<l nên miền đồng khả năng là tam giác OAB.
Gọi X là biến cố ba đoạn tạo thành được một tam giác.
Muốn tạo tam giác thì tổng hai cạnh phải lớn hơn cạnh thứ ba, do đó:
x+ y−x>l−y x+ l−y>y−x y−x+ l−x>x ⇔ y> 1 2 y<x+1 2 x< 1 2 Suy ra miền thuận lợi cho X chính là tam giác∆IJK.
VậyP A= S∆IJK
S∆AOB
= 1
Bài toán 2.3.7. Hai người A và B hẹn gặp nhau tại một địa điểm xác định trong vòng từ 0 đến 1 giờ. Người đến trước chờ người kia quá 20 phút thì sẽ bỏ đi. Tính xác suất để họ gặp được nhau, biết rằng mỗi người có thể đến chỗ hẹn vào thời điểm bất kỳ trong khoảng thời gian trên.
Giải:
Gọi x là thời gian đến của A, y là thời gian đến của B (tính bằng phút).
Mọi kết cục đồng khả năng là mọi cặp số (x;y) mà0≤x≤60,0≤y≤60.
Tập hợp này được biểu diễn bởi hình vuông OIJK (như hình vẽ).
Các kết cục thích hợp cho hai người gặp nhau là những cặp (x;y) sao cho: |x−y| ≤20⇔x−20≤y≤x+20.
Trên hình vẽ, tập hợp này ứng với miền con của hình vuông OIJK, gồm phần nằm giữa các đường thẳng y = x + 20 và y = x - 20.
Vậy xác suất phải tìm bằng:P= 60
2
−402 602 = 5
9.
Bài toán 2.3.8. Trên mặt phẳng kẻ sẵn các đường thẳng song song cách đều nhau một khoảng có độ dài 2a, người ta gieo ngẫu nhiên một chiếc kim dài 2l (l <a). Tính xác suất sao cho kim cắt một đường thẳng trong số những đường thẳng đó.
Giải:
Gọi x là khoảng cách từ trung điểm của kim đến đường thẳng song song gần
nhất vàϕlà góc mà kim tạo với các đường này.
Do đó có thể biểu diễn miền đồng khả năng bởi một hình chữ nhật có cạnh là a vàπ.
Ta thấy rằng để kim cắt đường thẳng song song, điều kiện cần và đủ là: 0≤x≤lsinϕ.
Từ các giả thiết của bài toán, suy ra xác suất phải tìm bằng tỷ số diện tích miền gạch chéo và diện tích hình chữ nhật: P(H) = π R 0 lsinϕdϕ aπ = 2l aπ