Bổ đề 3.2.1.Cho M là một R− mođun phải với S = EndR(M). Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(1). M là một môđun C4.
(2). Với mọi cặp lũy đẳng cùng chung phần bù e, f ∈ S với eM∩f M = 0 thì tồn tại hai lũy đẳng trực giao g, h ∈ S sao cho eM = gM và f M = hM. (3). Với mọi cặp lũy đẳng e, f ∈ S với eM ∩f M = 0 thì tồn tại một lũy đẳng g của S sao cho eM = gM và f M ⊆ (1−g)M.
Chứng minh
(1) ⇒ (2) Đặt e, f ∈ S là các lũy đẳng cùng chung phần bù trong S với
eM ∩f M = 0.
Chúng ta viết S = eS⊕X = f S⊕X với iđêan phải X nào đó của S. Thì tồn tại hai lũy đẳng p, q ∈ S sao cho eS = pS, f S = qS, và X = (1−p)S = (1−q)S. Từ đó suy ra được rằng M = eM ⊕(1−p)M = f M ⊕(1−q)M
và (1−p)M = (1 −q)M. Do đó eM và f M là các hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của M.
Vì M là môđun C4 nên M = eM ⊕f M ⊕N với N ( M. Nếu g là một phép chiếu từ M đến eM với hạt nhân f M ⊕N và h là phép chiếu từ M
đến f M với hạt nhân eM ⊕N thì g và h là hai lũy đẳng trực giao sao cho
gM = eM và hM = f M.
(2)⇒ (3) Cho e, f ∈ S là các lũy đẳng cùng chung phần bù với
eM ∩ f M = 0. Theo giả thiết tồn tại cặp lũy đẳng trực giao g, h ∈ S sao cho gM = eM và hM = f M. Vì f M = hM ⊆ kerg = (1−g)M nên g là một lũy đẳng như yêu cầu.
(3)⇒ (1) Cho e, f là các lũy đẳng cùng chung phần bù của S với
eM∩f M = 0. Theo giả thiết tồn tại một lũy đẳng g ∈ S sao cho eM = gM
(1− g)M]. Khi đó M = gM ⊕ [f M ⊕ ((1− f)M ∩ (1 − g)M)] = eM ⊕
[f M ⊕((1−f)M ∩ (1−g)M)]. Do đó eM ⊕f M là hạng tử trực tiếp của
M. ✷
Bổ đề sau đây sẽ cho phép chúng ta chứng minh một tính chất khác của môđun C4 trong điều kiện của vành tự đồng cấu.
Bổ đề 3.2.2. Cho M là một R− môđun phải với S = EndR(M). Với bất kì các lũy đẳng e, f ∈ S thì:
(1). eM +f M ⊆⊕ M khi và chỉ khi (1−e)f M ⊆⊕ M. (2). (1−e)M = (1−f)M và eM ∩f M = 0 khi và chỉ khi
Kere = Kerf = Ker(e−f).
Chứng minh
(1). Chúng ta có thể kiểm tra được eM +f M = eM ⊕(1−e)f M.
(2). Từ định nghĩa ta có điều đó là hiển nhiên. ✷ Mệnh đề 3.2.3. Một R−môđun phải M là C4 khi và chỉ khi với mọi
cặp lũy đẳng e, f ∈ EndR(M) mà Kere = Kerf = Ker(e−f) thì (1−e)f M ⊆⊕ M.
Chứng minh
Cho A và B là hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của M với
A∩ B = 0. Khi đó chúng ta có thể tìm được cặp lũy đẳng e, f ∈ EndR(M)
sao cho A = eM, B = f M, M = eM ⊕ (1− e)M = f M ⊕ (1− f)M và
(1−e)M = (1−f)M. Theo Bổ đề 3.2.2 và giả thiết ta có được
eM +f M ⊆⊕ M. Do đó M là C4. Điều ngược lại là hiển nhiên theo Bổ đề
3.2.2. ✷
Định nghĩa 3.2.4. Một R− môđun phải M được gọi là k-co rút địa phương nếu rM(ϕ) =rS(ϕ)M với mọi ϕ ∈ S = EndR(M).
Dễ dàng có được các môđun tự do, môđun chính quy và môđun có tất cả các tự đẳng cấu khác không là đồng cấu đều là k-co rút địa phương.
Định lý 3.2.5. Cho M là một R−môđun phải với S = EndR(M) thì S
là vành phải C4 nếu M là môđun C4 và thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:
(1). M là k-co rút địa phương.
(2). Với mọi α ∈ S thì kerα được sinh bởi M.
thì ta có eM ∩f M = 0.
Chứng minh
(1). Giả sử rằng M là C4 và k-co rút địa phương.
Đặt eS và f S là hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của S và
eS ∩f S = 0.
Chúng ta viếtS = eS⊕(1−e)S = f S⊕(1−f)S và (1−e)S = (1−f)S. Vì (1−e)S = (1−f)S và eS∩f S = 0 nên ta córS(e) =rS(f) = rS(e−f). Khi đó theo tính chất k-co rút địa phương của M có được rM(e − f) =
rS(e−f)M = rS(f)M = (1−f)M = (1−e)M.
Chúng ta chỉ ra được rằngeM∩f M = 0. Đặtx = em = f m′ ∈ eM∩f M
thì m−em = (1−e)m = m−f m′ = (1−f)m” với mọi m” ∈ M và vì vậy
f m = f m′. Điều đó chỉ ra được rằng m ∈ rM(e−f) = (1−e)M và do đó
x = em = 0. Theo Bổ đề 3.2.1 tồn tại cặp lũy đẳng trực giao g, h ∈ S sao cho gS = eS và hS = f S vì vậy eS⊕f S = gS⊕hS = (g+h)S ⊆⊕ S. Điều đó khẳng định được rằng S là vành phải C4.
(2). Giả sử M là môđun C4 và Kerα được sinh bởi M với mọi α ∈ S tức là Kerα = P
{θ(M)|θ ∈ S, θ(M) ⊆ Kerα}. Cho e, f là hai lũy đẳng trong
S sao cho rS(e) = rS(f) = rS(e−f). Ta chỉ ra rằng (1−e)f S ⊆⊕ S. Theo giả thiết ta có Ker(e− f) = P
θ(M) ⊆ Ker(e−f) thì θ ∈ rS(e−f) = rS(e) vì vậy θ(M) ⊆ Kere. Điều này chỉ ra được rằng Ker(e−f) ⊆Kere.
Tương tự ta cóKere ⊆Ker(e−f). Do đó Ker(e−f) = Kere = Kerf. Theo Mệnh đề 3.2.3 thì SS là môđun C4.
(3). Giả sử hai lũy đẳng e, f ∈ S với eS ∩ f S = 0. Vì M có tính chất
C4 nên theo Bổ đề 3.2.1(2) tồn tại hai lũy đẳng trực giao g, h ∈ S sao cho
eM = gM và f M = hM. Vì g, h trực giao nên chúng ta có eM ∩f M =
gM ∩hM = 0. ✷
Xét R−môđun tự do F = R(Ω) trên tập sinh Ω. Khi đó EndR(F) được xác định với CFMΩ(R) là vành các ma trận Ω×Ω trong đó mỗi cột chỉ hữu hạn phần tử khác không. Vành CFM(Ω)(R) được gọi là vành các ma trận có số cột hữu hạn.
Hệ quả 3.2.6. Nếu M là một môđun phải tự do thì M là môđun C4 khi
và chỉ khi EndR(M) là một vành phải C4. Đặc biệt các khẳng định sau đúng
với mọi n ∈ Z+ và tập vô hạn Λ:
(1). Rn là môđun phải C4 nếu và chỉ nếu Mn(R) là một vành phải C4. (2). R(Λ) là một môđun phải C4 nếu và chỉ nếu CFMΛ(R) là một vành phải C4.
Nó được suy ra trực tiếp từ Định lý 3.2.5 vì mọi môđun tự do đều là k-co
rút địa phương. ✷
