Mệnh đề 3.3.1. Cho Ri (i ∈ I) là họ các vành và R là tích trực tiếp Πi∈IRi thì R là một vành phải C4 khi và chỉ khi mọi Ri là vành phải C4.
Chứng minh
(⇒) Giả sử rằng R là một vành phải C4.
Đặt eiRi và fiRi là các hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của Ri với phần bù trực tiếp bình thườngXi và phần giao không. Khi đó tồn tại lũy đẳng
gi, hi ∈ Ri sao cho eiRi = giRi,fiRi = hiRi và Xi = (1−gi)Ri = (1−hi)Ri. Bây giờ viếte (hoặc f) bởi các phần tử trong R với phần tử thứ i ei (hoặc
fi) và tất cả phần tử khác đều bằng 0, và 1−g (hoặc 1−h) với mọi phần tử trong R với phần tử thứ i là 1−gi (hoặc 1−hi) và tất cả các phần tử khác đều bằng 1. Khi đó eR⊕(1−g)R = f R⊕(1−h)R. Thật dễ dàng để thấy được rằng eR và f R là hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của R với phần giao không. Do đó eR⊕f R ⊆⊕ R theo như giả thiết. Điều này chỉ ra được rằng eiRi⊕fiRi ⊆⊕ Ri, vì vậy Ri là một vành phải C4.
(⇐) Giả sử mỗi Ri là một vành phải C4. Đặt {ei}iR và {fi}iR là các hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của R với phần giao không trong đó
e2i = ei và fi2 = fi với mọi i ∈ I. Khi đó tồn tại các lũy đẳng {gi}i,{hi}i ∈ R
sao cho {ei}iR = {gi}iR,{fi}iR = {hi}iR, và {1 − gi}iR = {1− hi}iR. Điều này khẳng định được rằng eiRi và fiRi là các hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của Ri với phần giao không với mọi i ∈ I. Vì mỗi Ri là một vành phải C4 nên eiRi ⊕ fiRi = kiRi ⊆⊕ Ri với mọi lũy đẳng
ki ∈ Ri. Do đó {ei}iR⊕ {fi}iR = {ki}iR ⊆⊕ R. Vì vậy R là một vành phải
C4. ✷
Mệnh đề 3.3.2. Nếu R là một vành phải C4 thì eRe cũng là vành phải
C4 với mọi lũy đẳng e ∈ R sao cho ReR = R.
Chứng minh
Nếu R là một vành phải C4 thì eRR là C4 như là một hạng tử trực tiếp của RR. Chú ý rằng eRe ∼= EndR(eR). Vì vậy nó đủ để khẳng định được rằngf S∩gS = 0suy ra f(eR)∩g(eR) = 0 với mọi cặp lũy đẳng cùng chung phần bù f, g ∈ S = eRe theo Định lý 3.2.5(3).
Giả sử rằng f S ∩gS = 0 với mọi lũy đẳng f, g ∈ S. Đặt f r = gt
∈ f(eR)∩g(eR). Khi đó với mọi x ∈ R ta cóf erxe = getxe ∈ f S∩gS = 0. Vì ReR = R nên f er = 0. Do đó f r = 0. ✷ Ví dụ 3.3.3. Điều kiện ReR = R là không bỏ được đối với Mệnh đề 3.3.2: Cho R là đại số của các ma trận trên một trường F có dạng:
a x 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 c y 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 b z 0 0 0 0 0 c Đặt e = e11 + e22 + e33 + e44+ e55 trong đó eij là các ma trận với vị trí (i, j) bằng 1 còn các phần tử còn lại đều bằng 0.
Khi đó e là một lũy đẳng của R sao cho ReR 6= R. Vì R là một vành tựa Frobenius nên R là vành phải C4. Tuy nhiên eRe ∼=
F F 0 F = S
không phải là vành phải C4. Để chứng minh được điều này, ta xét lũy đẳng
e = e12+e22 và f = e22 của S. Lúc đó ta có S = eS ⊕e11S = f S⊕e11S và
eS ∩f S = 0.
Nhưng eS +f S không phải là hạng tử trực tiếp của SS bởi vì nó là cột thứ hai của S. Theo Mệnh đề 3.3.2 tính chất C4 cho các vành là một bất biến Morita nếu và chỉ nếu với mọi n ≥ 1 thì Mn(R) là một vành phải C4
khi R là một vành phải C4. Nhưng điều này không cần thiết phải đúng. Bởi vì tồn tại một vành phải C4 mà không phải là vành phải C4 mạnh (tương đương C4 mạnh): Cho A là một U F D giao hoán địa phương không phải là
miền iđêan chính (ví dụ, A có thể là vành của chuỗi lũy thừa trong hai biến trên một trường). Gọi M là tổng trực tiếp của tất cả A/pA trong đó p khác nhau trên các số nguyên tố của A. Đặt R = A ∝ M, phần mở rộng tầm thường của A theo M (xem định nghĩa theo sau). Khi đó R là một C2 cũng là C4 nhưng không phải là C2 mạnh.
ChoR là một vành vàM là một R−R song môđun. Khi đó phần mở rộng tầm thườngR ∝ M là một vành có cơ sở nhóm là R×M với phép nhân được xác định bởi (r, m)(s, n) = (rs, rn+ms) trong đór, s ∈ R vàm, n ∈ M. Khi đó R ∝ M là một đẳng cấu đối với vành con {
r m 0 r : r ∈ R, m ∈ M}
của vành các ma trận tam giác
R M 0 R và R ∝ R ∼= R[x]/(x2). Để thuận tiện ta đặt (I, N) = {(r, n) : r ∈ I, n ∈ N} trong đó I là tập con của R và
N là tập con của M.
Mệnh đề 3.3.4. Cho R là một vành và M là một R−R song môđun. (1). Nếu R ∝ M là một vành phải C4 và với mọi lũy đẳng e, f ∈ R, eR∩f R = 0 suy ra eM ∩f M = 0 thì R là một vành phải C4.
(2). NếuR là một vành phải C4và eM(1−e) = 0 với mọi lũy đẳng e∈ R
thì R ∝ M là một vành phải C4.
Định nghĩa T := R ∝ M.
(1). Cho e, f, g là các lũy đẳng của R sao cho R = eR⊕gR = f R⊕gR
và eR ⊕f R = 0. Khi đó E := (e,0)T, F := (f,0)T và G := (g,0)T là các hạng tử trực tiếp của T. Chúng ta đặt (ea, em) = (f b, f n) ∈ E∩F trong đó
a, b ∈ R và m, n ∈ M. Khi đó, theo giả thiết ta có ea = f b ∈ eR∩f R = 0
và em = f n ∈ eM ∩f M = 0. Điều này suy ra rằng E∩ F = 0.
Tương tự ta có E ∩ G = 0 và F ∩ G = 0. Từ đó dễ dàng có được
T = E ⊕G = F ⊕G thì E, F là hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù. Vì T là vành phải C4 nên E + F ⊆⊕ T. Khi đó, tồn tại một lũy đẳng
(h, m) ∈ T sao cho E +F = (h, m)T. Từ đó suy ra h2 = h.
Bây giờ chúng ta chỉ cần khẳng định eR+f R = hR. Vì (h, m) ∈ E+ F, hR ⊆ eR+f R. Nếu ea+ f b∈ eR+ f R với mọi a, b ∈ R thì
(e,0)(a,0) +(f,0)(b,0)= (ea+ f b,0) ∈ E +F. Vì vậy ea+ f b ∈ hR. Điều này suy ra được rằng eR+f R = hR. Do đó RR là một môđun C4.
(2). Nếu eM(1−e) = 0 với mọi lũy đẳng e∈ R thì mọi hạng tử trực tiếp của T đều có dạng (eR, eM)(e2 = e ∈ R).
Bây giờ đặt (eR, eM) và (f R, f M) là hai hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù của T với phần bù tổng trực tiếp tầm thường là (gR, gM) và phần giao không. Khi đó, ta có được R = eR⊕gR = f R⊕gR và eR∩f R = 0.
Vì R là vành phải C4 nên eR + f R ⊆⊕ R. Cho h2 = h ∈ R sao cho
eR+ f R= hR. Khi đó (eR, eM) + (f R, f M) = (eR+ f R, eM + f M) =(eR+ f R,(eR+f R)M)= (hR, hM) ⊆⊕ T. ✷
Hệ quả 3.3.5. Cho R và S là hai vành và M là R − S song môđun.
Xét vành ma trận tam giác có dạng T = R M 0 S thì các mệnh đề sau luôn đúng:
(1).NếuT là vành phảiC4mà với mọi cặp lũy đẳng e, f ∈ R, eR∩f R = 0 suy ra được eM ∩f M = 0 thì R và S là các vành phải C4.
(2). Nếu R, S là các vành phải C4 và M = 0 thì T là vành phải C4.
Chứng minh (1). Chú ý rằng T = R M 0 0 ⊕ 0 0 0 S thì R M 0 0 vàS là các vành phải C4 theo Mệnh đề 3.3.1. Vì R M 0 0 ∼
= (R×0) ∝M nên R là vành phải C4theo Mệnh đề 3.3.4.
(2).Hiển nhiên. ✷
Gần đây các vành có môđun phải xyclic là C3 được nghiên cứu chi tiết. Vành giao hoán và vành địa phương là những ví dụ về những vành như vậy.
Ở đây chúng ta sẽ nghiên cứu về tính chất của các vành này tương đương với tính chất các vành mà có môđun phải xyclic là phải C4.
Mệnh đề 3.3.6. Cho R là một vành với mọi R−môđun phải xyclic là C4 khi và chỉ khi với mọi R−môđun phải xyclic là C3.
Chứng minh. Có thể thu được kết quả với mọi môđun thương của M
làC4nếu và chỉ nếu với mọi môđun thương củaM đều có tính chấtSSP, theo
Mệnh đề 2.2.17. ✷
Vì vậy ta có một kết quả trên C3 tương tự được áp dụng cho C4 đó là: Trên một vành nửa hoàn chỉnh R với mọi R−môđun phải xyclic là C4 nếu và chỉ nếu R là tích trực tiếp của một vành Artin nửa hoàn chỉnh và một vành là một tích hữu hạn trực tiếp của các vành địa phương.
Hệ quả 3.3.7. Cho n≥ 2. Mọi môđun n−sinh là C4 nếu và chỉ nếu với mọi môđun n−sinh là C3.
Chứng minh
(⇐) Hiển nhiên.
(⇒) Đặt PR = Rn và S = EndR(P) thì M od −R và M od −S là các phạm trù tương đương Morita với các hàm tử HomR(SPR,_) và _⊕S P.
Ta có với mọi môđunN n−sinh thì HomR(P, N)là mộtS−môđun xyclic và với mọi S−môđun xyclic M thì M ⊗S P là một R−môđun n−sinh. Do
đó với mọi S−môđun xyclic là môđun C3 nếu và chỉ nếu với mọi R−môđun
n−sinh là C3. Hơn nữa tính chất C4 của các môđun được bảo toàn theo tương đương Morita. Do đó mỗi S−môđun xyclic là một môđun C4 nếu và chỉ nếu mọi R−môđun n−sinh là một môđun C4. Theo Mệnh đề 3.3.6 thì
việc chứng minh được hoàn thành. ✷
Mệnh đề 3.3.8. Các phát biểu sau đây tương đương với một vành R: (1). R là nửa Artin phải.
(2). Với mọi R−môđun phải với đế không chính phương là không chính phương.
(3). Với mọi R−môđun phải với đế không chính phương là môđun C4.
Chứng minh
(1) ⇒ (2). Cho M là một R−môđun phải với đế không chính phương. Chúng ta cần chứng minh rằng M là một môđun không chính phương. Gọi
A, B ⊆ M với A ∩ B = 0 và A =∼f B. Giả sử rằng A 6= 0. Vì R là nửa Artin nên A chứa một môđun con đơn K của M. Rõ ràng K ∼= f(K) với
K ∩f(K) = 0, điều này mâu thuẫn.
(2)⇒ (3). Hiển nhiên.
(3) ⇒ (1). Giả sử soc(M) = 0, chúng ta sẽ chứng minh M = 0. Gọi
môđun C4. Theo Định lý 2.1.8 thì ánh xạ bao hàm i : N → M là chẻ ra và
N ⊆⊕ M. Điều đó khẳng định được rằng M là nửa đơn với đế không nên
KẾT LUẬN
Luận văn “Các lớp môđun C4” đã đạt được các kết quả sau:
1. Tìm hiểu, tổng hợp và trình bày lại các lý thuyết về định nghĩa các lớp môđun C1, C2, C3 và các đặc trưng của lớp các môđun và vành với điều kiện C4. Đặc biệt tổng hợp được một số kết quả quan trọng của lớp môđun C4 như là Mệnh đề 2.2.5, Bổ đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.9, Mệnh đề 2.2.15 và mối quan hệ giữa lớp môđun C4với một số lớp môđun đã biết
SSP, ADS,...
2. Trình bày được các tính chất và đặt trưng của các lớp môđun C4 thông qua các hạng tử trực tiếp cùng chung phần bù. Đặc biệt trong luận văn này đã trình bày được các kết quả quan trọng liên quan đến các lớp môđun C4và vành C4 thông qua tính chất của các lũy đẳng như Mệnh đề 3.3.2, Mệnh đề 3.3.4. Và trình bày tổng quan về các vành mở rộng của các lớp vành C4.
3. Chứng minh tường minh và làm rõ các kết quả đạt được ở trong một số công trình liên quan đến lớp môđun C4.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Trương Công Quỳnh và Lê Văn Thuyết, (2013),Giáo trình lý thuyết vành và môđun, NXB ĐH Huế.
[2] Lê Văn Thuyết, Trương Công Quỳnh, (2019),Giáo trình môđun và vành,
NXB. ĐH Huế.
Tiếng Anh
[3] Al-Ahmadi.A.,Jain.S.K.,Leroy.A.,(2012),ADS modules, J.Algebra 352, 215-222.
[4] Al-Ahmadi.A.,Er.N., Jain.S.K,(2005),Modules which are invariant under monomorphisms of their injective hulls, J. Aust, Math. Soc. 79(3),. [5] Amin.I., Ibrahim.Y., Yousif.M.F. ,C3-modules, Algebra colloq. 22(2015),
[6] Altun-Ozarslan.M., Ibrahim.Y.,CigdemOzcan.A.,Yousif.M.,C4- and D4- modules via perpective direct summands, Comu. Algebra 46(10) (2018), 4480-4497.
[7] Ding.N., Ibrahim.Y.,Yousif.M.,Zhou.Y.,C4-modules,Comm, Algebra 45(4),1727-1740.
[8] Dung.N.V., Huynh.D.V.,Smith.P.F.,Wisbauer.R.,Extending modules, Longman Scientific and Technical, 1994.
[9] Hamdouni.A., Ozcan.A.C., Harmanci.A.,(2005),Characterization of modules and rings by the summand intersection property and the sum- mand sum property, JP J. Algebra Number Theory Appl. 5, 469-490. [10] Lee.T.K., Zhou.Y.,(2013),Modules which are invarant under monomor-
phisms of their injective hulls J.Alg. Appl. 12(2), 1250159,9 pp.
[11] Meltem Altun-Ozarslan, Ibrahim.Y., Ozcan.A.C., Yousif.M.,C4- and D4- Modules via perspective direct summands, Communications in Algebra, (2018).
[12] Mohamed.S.H., Muller.B.J.,1990,Continous and Discrete modules, Cam- bridge Univ. Press, Cambrige, UK.
[13] Nicholson. W.K., Yousif. M.F.,(2003),Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Tracts in Math. Cambridge Univ. Press, Cambridge,UK.
[14] Quynh.T.C., Hai.P.T., Kosan.M.T.,Weakly C2 modules and rings, preprint.
[15] Wisbauer.R.,(1991),Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach. Reading.
