ĐỐI XỨNG TRỤC I KIẾN THỨC CƠ BẢN

MC NA PB  FC AE 

6. ĐỐI XỨNG TRỤC I KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d

nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

∆

A đối xứng với A′ qua d⇔d là đường trung trực của AA′.

 Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình Hqua đường thẳng d cũng thuộc hình H.

Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình

thang cân đó.

Chú ý:

+ Qui ước một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng

chính là nó.

+ Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau

III. BÀI TẬP

Bài 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? a) Đường trung trực của một đoạn thẳng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó. b) Đường phân giác của một góc là trục đối xứng của góc đó.

c) Đường trung tuyến của một tam giác là trục đối xứng của tam giác đó. d) Tam giác đều có ba trục đối xứng.

e) Đường tròn có vô số trục đối xứng. f) Đường thẳng d có vô số trục đối xứng.

Bài 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau ởO. Qua A vẽcác đường vuông góc với BD và với CE, chúng cắt BC theo thứ tựởN và M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từO đến BC. Chứng minh rằng:

a) M đối xứng với A qua CE, N đối xứng với A qua BD; b) M đối xứng với N qua OH.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, lấy D là điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, F là điểm đối xứng với D qua AC.

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của EF.

b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì EF có độ dài ngắn nhất.

Bài 4: .Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là điểm đối xứng của điểm H qua AB và AC. Chứng minh rằng:

a) A là trung điểm của đoạn DE b) Tứgiác BDEC là hình thang vuông.

c) Cho BH = 2cm, Ch = 8cm. Tính AH và chu vi hình thang BDEC.

Bài 5: Cho tam giác ABC có A 70 , B và C là các góc nhọˆ = ° n. M là một điểm thuộc cạnh

BC. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đỗi ứng với M qua AC. Gọi I, K là

giao điểm của DE với AB, AC.

a) Tính các góc của tam giác ADE.

b) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc IMK.

c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độdài ngắn nhất?

Bài 6: Cho hai điểm A và B cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng d. Tìm trên

d một điểm C sao cho tổng độdài CA + CB là ngắn nhất.

Tự luyện.

Bài 7: Cho tam giác ABC có A=60 .0 trực tâm H. Gọi Mlà điểm đối xứng với H qua BC. a) Chứng minh ∆BHC= ∆BMC.

b) Tính góc BMC.

Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC. Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các điểm

đối xứng với Mqua AB và AC.Gọi I, Klà giao điểm của EF với AB và AC. a) Chứng minh MAlà tia phân giác của góc IMK.

b) Khi M cố định, tìm vị trí của điểm P AB∈ và Q AC∈ để chu vi tam giác MPQ nhỏ

nhất.

Bài 9: Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B nằm về một phía của một khúc sông

thẳng. Tìm trên bờsông một địa điểm C đểxây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống

dẫn nước từC đến A và đến B là nhỏ nhất.

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ

Bài 1: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. e) Đúng. g) Đúng.

Bài 2:

a) Tam giác ACM có đường phân giác CE cũng là đường cao nên là tam giác cân, suy ra CE là đường trung trực của AM. Vậy M đối xứng với A qua CE. Tương tựN đối xứng với A qua BD.

b) Tam giác AMN có O là giao điểm các đường trung

trực của AM và AN nên OH là đường trung trực của

MN. Suy ra M đối xứng với N qua OH.

Bài 3: a) E là điểm đối xứng với D qua AB

( )1

AE AD

⇒ = ;  BAE=BAD ( )2

F là điểm đối xứng với D qua AC

( )3AF AD AF AD ⇒ = ; CAF =CAD ( )4 Từ(1) và (3) suy ra AE= AF ( )5 . Từ(2) và (4) suy ra   ( )  0 2 2 180

DAE+DAF = BAD CAD+ = BAC= do đó  0

180

EAF = nên A, E, F thẳng hàng ( )6

Từ(5) và (6) suy ra A là trung điểm của EF,

b) Ta có EF =2AD nên: EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔ D là chân đường cao kẻ từ A

đến BC.

Bài 4: .

a) Chứng minh tương tự bài 2 ý a.

b) Chỉ ra ADB AHB 90 ; AEC AHC 90

Từđó suy ra DB EC// DBCE là hình thang có

 

DE90 , do vậy BDEC là hình thang vuông tại D

và E.

c) BH = 2cm, CH = 8cm.

Trong tam giác ABH vuông tại H, theo định lý Pitago: AH2 AB2 BH2 AB2 4

Trong tam giác ACH vuông tại H, theo định lý Pitago AH2 AC2 CH2 AC2 64

Suy ra: 2AH2 AB2 AC268

Lại có AB2 AC2 BC2 100 , suy ra 2AH2 100 68 32AH2 16 Vậy AH4

Đặt là chu vi hình thang BDEC.

Ta có BDBH, DE 2DA 2HA, ECHC . Do đó:

BD DE EC CB BH 2AH CH CB 2 8 8 10 28(cm)

            

 .

Bài 5:

a) Tam giác ADE cân tại A, DAE=140°. D 1 =E1 =20°. b)    M1 =D1=E1 =M2.

c) Các tam giác ADE cân tại A, có góc ởđỉnh không đổi nên cạnh đáy DE nhỏ nhất ⇔ cạnh bên AD nhỏ nhất⇔AMnhỏ nhất⇔M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC

(Do B C , nhọn nên chân đường vuông góc đó nằm trên cạnh BC).

Bài 6: Gọi A’ là điểm đối xứng của điểm A qua đường

thẳng d. Với mỗi điểm C trên đường thẳng d, ta có

CA=CA'. Do đó: CA+CB=CA'+CB≥A B' . CACB nhỏ nhất khi CACBA'B , hay C

thuộc đoạn A B' . Vậy điểm C thỏa đềbài là giao điểm của đoạn BA’ với đường thẳng d.

Chủđề13. HÌNH BÌNH HÀNH I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định nghĩa: Hình bình hành là tứgiác có các cặp cạnh đối song song. Tứgiác ABCD là hình bình hành // // AB CD AD BC  ⇔   Tính chất:Trong hình bình hành: - Các cạnh đối bằng nhau. - Các góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Dấu hiệu nhận biết:

- Tứgiác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

- Tứgiác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứgiác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

- Tứgiác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứgiác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

III. BÀI TẬP

Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của

AC. Đường vuông góc với BC tại M và đường vuông góc với AC tại N cắt nhau ở O.

a) Trên tia đối của tia OC, lấy điểm K sao cho OK OC . Ch= ứng minh rằng AHBK là hình bình hành.

b) Chứng minh OM=1AH

2 .

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho CB = CE. Chứng minh AECD là hình bình hành.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K theo thứ tựlà chân đường vuông góc kẻ

từ A và từ C đến BD.

a) Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành.

b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, gọi N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh

rằng AN=CM.

c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng O M N, , thẳng hàng.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có A 120 , phân giác góc D đi qua trung điểm của cạnh AB. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) AB 2AD b) ADE đều, AEC cân c) AC AD

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm E, F lần lượt lấy trên BC, AD sao cho

1 BE BC

3

 , DF 1DA

3

 và EF lần lượt cắt AB, CD tại G, H. Chứng minh rằng:

a) GE EF FH b) Tứgiác AECF là hình bình hành.

Bài 6: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E. Đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Tứgiác BDCE là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng M là trung điểm của DE. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì thì DE đi qua A?

c) Chứng minh rằngBACBDC 180 .

Bài 7: Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽcác đường trung

trực HE, HF của các cạnh AC, BC. Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với AK tại I. Chứng minh rằng:

a) BG AI b) BG 2HE c) AG 2HF

Bài 8*: Cho tam giác ABC cân ở A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên AC sao cho

AD=CE. Gọi O là trung điểm của DE, gọi K là giao điểm của AO và BC. Chứng minh

rằng ADKE là hình bình hành.

Tự luyện.

Bài 9: Cho tứgiác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tựlà trung điểm của AB, AC, CD, BD.

a) Tứgiác EFGH là hình gì?

b) Tính chu vi của tứgiác EFGH biết AD a,BC b . = =

Bài 10: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Vẽcác điểm H và K sao cho E là trung điểm của CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK.

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh CD sao cho DE= 1DC

3 . Gọi K

là giao điểm của AE và BD. Chứng minh rằng DK= 1DB

4 .

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ

Bài 1: a) Tam giác KBC có KO OC,BM MC = = nên OM là đường trung bình của KBC .

Suy ra OM//KB,OM=1KB

2 . Ta lại có OM//AH (cùng vuông góc với BC).

Suy ra KB//AH.

Chứng minh tương tự ta có: KA//BH.

Tứgiác AHBK có KB//AH,KA//BH nên là hình bình hành. b) AHBK là hình bình hành nên KB AH= . Ta lại có OM=1KB 2 nên = 1 OM AH 2 .

Bài 2: Dễ thấy tam giác BCE cân tại C suy ra CBE CEB

Ta lại có CBA DAB

Mà CBA DAB Nên CEB DAB 180

Suy ra AC ED// (2 góc trong cùng phía bù nhau) Suy ra AECD là hình bình hành Bài 3: a) Cách 1 Xét ∆AHD và ∆CKB ( H =K= °90 ): AD=BC (cạnh đối hình bình hành);   1 1 D =B (so le trong, AD BC// ). Vậy ∆AHD= ∆CKB (trường

hợp cạnh huyền và góc nhọn), suy ra

.

AH =CK Ta lại có AH CK// (cùng vuông góc

với BD). Tứgiác AHCK có AH =CK AH CK, //

nên là hình bình hành.

Cách 2. Chứng minh rằng tứgiác AHCK có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b) Tứgiác AHCKlà hình bình hành (câu a) nên AH CK// , tức là AM CN// . Ta lại có AN CM// .

Tứgiác ANCM là hình bình hành (theo định nghĩa) nên AN=CM.

c) Hình bình hành AHCK có O là trung điểm của HK nên O là trung điểm của AC (tính chất đường chéo hình bình hành)

Hình bình hành ANCM có O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của MN. Vậy

, ,

M N O thẳng hàng.

Bài 4:

a) Gọi M là trung điểm của cạnh AB, ta có AMD CDM

(1) (so le trong).

Mặt khác, DM là phân giác góc D nên ADM CDM (2) (1), (2)AMD ADM , do đó tam giác ADM cân tại A.

Vậy AD AM 1AB 2   b) Trong hình bình hành ABCD, A 120 D 60 và AD DE 1CD 2   . Tam giác

ADE cân và có một góc bằng 600, nên tam giác ADE đều.

Theo trên, tâm giác ADE đều nên AE ED EC , suy ra tam giác AEC cân tại E.

c) Vì ADE đều và ACE cân tại E nên EAC 1AED 30 2

   (góc ngoài của AEC)

Mặt khác EAD 60 , suy ra CAD 90 . Vậy ACAD

Bài 5:

a) Trong AGF , B trên cạnh AG, E trên cạnh FG.

Ta có BE 1BC 1AF

3 2

  và BE AF// suy ra BE là đường trung bình trong AGF. Do đó E là trung điểm của GF (1).

Chứng minh tương tự, DF là đường trung bình trong CHE , nên F là trung điểm của HE (2). Từ(1) và (2) suy ra GE EF FH . b) Ta có AF 2AD 3  và EC 2BC 3  , suy ra

AFCE . Mặt khác AF//CE , do vậy tứgiác AECF là hình bình hành. Bài 6: a) Ta có: BE AC BE//DC DC AC        (1) CE AB CE//BD BC AB        (2) Từ(1) và (2) suy ra BDCE là hình bình hành.

b) Vì BDCE là hình bình hành và M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của DE. DE đi qua A khi và chỉkhi A, E, M thẳng hàng. Vì E là giao điểm hai đường cao BH và CK nên AE là đường cao trong tam giác ABC. Vậy AE qua M khi và chỉkhi đường cao và đường trung tuyến kẻ từA trùng nhau, hay tam giác ABC cân tại A.

c) Trong tứgiác ABDC: A   B C D 360 , mà B C 90 nên A D 180 . Vậy BACBDC 180 . ∆ ∆ ∆ M D E K H A B C

Bài 7: a) Ta có AG BI// và BG AI// nên tứgiác AIBG là hình bình hành, suy ra BG AI// ;BG AI .

b) IB / /AGIB BC , mà HFBC , do đó

// .

IB HF

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từđó tađược H là trung điểm của IC.

Trong AIC , HE là đường trung bình, do đó

1 1

AI BG

2 2

HE   . Vậy BG 2HE.

c) Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong CBI.