MC NA PB FC AE
3. Các khái niệm khác
Một đa giác có n đỉnh được gọi là n – giác.
Ví dụ: tam giác, tứgiác, ngũ giác, thập giác,…, 100 – giác.
Đường chéo của đa giác là các đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác đó.
Đa giác đều là đa giác có tất cảcác cạnh bằng nhau và tất cảcác góc bằng nhau
III. BÀI TẬP
Bài 1: Tính sốđo của mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, bátgiác đều ( đa giác đều 8 cạnh).
Bài 2: a) Tính tổng các góc của đa giác 15 cạnh.
b) Đa giác nào có tổng các góc bằng 1620°?
Bài 3: Tìm số cạnh của một đa giác biết sốđường chéo hơn số cạnh là 7.
Bài 4: Tính số cạnh cảu một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng 135°.
Bài 5: Góc ngoài của đa giác là góc kề bù với một góc của đa giác. Ta coi ở mỗi đỉnh của đa giác có một góc ngoài. Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của đa giác bằng 3600.
Bài 6: Cho tam giác đều ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K, M
theo thứ tựlà trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng DKFIEM là lục giác đều.
Bài 7: a) Tính sốđường chéo của đa giác n cạnh.
b) Đa giác nào có sốđường chéo bằng số cạnh?
Bài 8: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M là trung điểm của EF, N là trung điểm của
BD. Chứng minh rằng AMN là tam giác đều.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD . Trên đường chéo BD, lấy các điểm E và K sao cho
BE DK .
a) Chứng minh rằng AKCE là hình bình hành.
b) Hình bình hành ABCD có điều kiện gì thì AKCE là hình thoi.
c) Gọi M là giao điểm của AK và CD. Xác định vị trí của điểm K đểM là trung điểm của CD.
Tự luyện
Bài 10: Lục giác ABCDEF có các cạnh đối song song và bằng nhau. Chứng minh rằng đường chéo AD, BE, CF đồng quy.
Bài 11: Cho lục giác đều ABCDEF. Trên cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA lấy các điểm
A′, B′, C′, D′, E′, F′ sao cho AA BB CC DD EE FF′= ′= ′= ′= ′= ′. Chứng minh rằng
A B C D E F′ ′ ′ ′ ′ ′ là một lục giác đều.
Bài 12: Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ). Tính các góc
của tam giác ABC.
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐIII. BÀI TẬP TỰ LUẬN III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Mỗi góc của ngũ giác đều bằng: (5 2).1800 1080 5 Mỗi góc của ngũ lục đều bằng: (6 2).1800 1200 6
Mỗi góc của bát giác đều bằng: (8 2).1800 1350 8
Bài 2: a) 26 v. (Tạo được 13 tam giác)
b) Đa giác có 11 cạnh (Số cạnh: 1620 : 180 2 11 )
Bài 3: Tìm cách giải. Bài này biết mối liên hệgiữa sốđường chéo và số cạnh nên hiển
nhiên chúng ta đặt số cạnh của đa giác là n biểu thịsốđường chéo là 3 2
n n
từđó ta tìm được số cạnh.
Trình bày lời giải
Đặt số cạnh của đa giác là n (n ≥ 3) thì sốđường chéo là 3 2 n n theo đề bài ta có: 3 2 7 5 14 0 2 7 0 2 n n n n n n n
Vì n 3 nên n 7 0 n 7 Vậy số cạnh của đa giác là 7.
Bài 4: Gọi n là số cạnh của đa giác đều.
Ta có ( 2 .180) 135 n n − ° = ° nên 2 135 3 180 4 n n − = = . Do đó 4(n−2)=3n. Vậy n=8.
Bài 5: Tổng các góc trong và ngoài của đa giác tại một đỉnh bằng 2v, tại n đỉnh bằng 2nv
Ta đã biết tổng các góc trong của đa giác bằng (n−2 .2 .) v
Vậy tổng các góc ngoài của đa giác bằng: 2nv−(n−2 .2) v=4 .v
Bài 6: Xét ∆HDC vuông tại D, DM là đường trung tuyến
ứng với cạnh huyền nên DM HM= . Ta lại có C1 =30° nên
1 60
H = °. Do đó ∆HDM là tam giác đều.
Tương tựcác tam giác HME, HEI, HIF, HFK, HKD là các tam giác đều.
Lục giác DKFIEM có các cạnh bằng nhau và các góc bằng
nhau (bằng 120°) nên là lục giác đều.
Bài 7: a) Từ mỗi đỉnh của hình n – giác lồi. kẻđược n−1 đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại,
trong đó có hai đoạn thẳng là cạnh của đa giác, n−3 đoạn thẳng là đường chéo.
Đa giác có n đỉnh nên kẻđược n n( −3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy sốđường chéo của hình n- giác lồi là ( 3)
2 n n− . b) Giải phường trình ( 3) 2 n n n − = . Ta được n=5
Bài 8: Gọi O là giao điểm của AD, BE, CF. Dễdàng chứng minh N là trung điểm của
OC, ∆AFM= ∆AON (c.g.c).
Từđó AM AN= và MAN=60° nên ∆AMN là tam giác đều.
Bài 9: a) Tứgiác AKCE có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
b) Hình bình hành KACE là hình thoi. ⇔ AC ⊥KE
⇔ hình bình hành ABCD là hình thoi
c) M là trung điểm của CD⇔K là trọng tâm của ∆ADC 1 . 3
DK DB
⇔ =
Bài 10: HD: Chứng minh rằng FBCE và ACDF là hình bình hành.
Bài 11: HD: Chứng minh rằng các tam giác AA F′ , BB A′ ′, CC B′ ′, DD C′ ′, EE D′ ′, FF E′ bằng nhau.
Bài 12:
Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có:
0
0 0
6 2 .180
120 30 ;
6
ADB DAB DBA
0 0 0 5 2 180 108 36 ; 5
ADC DAC DCA
Suy ra 0 0 0 0 BDC=360 −120 −108 =132 . Ta có ∆BDC DB DC cân tại D. Do đó 1800 1320 240 2 DBC DCB .
Suy ra BAC 300 360 66 ; 300 ABC 0 240 54 ; 240 BCA 0 360 600