A(z,t )=
2.4.1.Phương pháp số (Slip-Step-Fourier)
Từ việc giải phương trình Schrodinger không tuyến tính đã giúp chúng tôi hiểu được các mất mát khác nhau xảy ra trong quá trình truyền tín hiệu. Nhiều thuật toán số đã được phát triển để giải phương trình (2.54). Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung vào nghiên cứu phương pháp tách – ghép (SSFM). Để hiểu được cơ chế của SSFM, phương trình (2.54) phải được viết dưới dạng [28]:
∂A(z ,t)
∂z =( ^D+ ^N)A(z,t) (2.61) Trong đó D^ là toán tử vi phân chi phối sự tán sắc và hấp thụ trong môi trường tuyến tính; là một toán tử phi tuyến chi phối ảnh hưởng của các phi tuyến sợi lên xung truyền. Các toán tử này được đưa ra theo công thức sau:
^D=−α2 A(z ,t)−∑ D=−α2 A(z ,t)−∑ k=2βkik−k!1∂kA(z ,t) ∂tk (2.62) ^ N=iγ(1+ωi 0 ∂ ∂t)(A(z,t)−∞∫∞ R(t')|A(z,t−t')|2dt') (2.63) Nói chung, sự tán sắc và phi tuyến tác động qua lại cùng nhau dọc theo sợi quang. Trong SSFM, hai toán tử D^ và N^ thỏa mãn hệ thức sau:
A(z+h,t)≈exp(hD^ )exp(hN^)A(z,t), (2.64) với exp(hD^ ) được giả định thỏa mãn điều kiện:
exp(hD^ )A(z ,t)=F−1exp[hD^ (iω)]FA(z ,t), (2.65)
trong đó F biểu thị biến đổi Fourier và ω là tần số trong miền Fourier, D^(iω)
được lấy từ phương trình (2.62) và thay thế toán tử ∂/∂t bằng thuật ngữ iω
. Vì D^(iω)chỉ là một số trong không gian Fourier, sau khi lấy biểu thức
Fourier của D^ . Ta có D^(iω) được viết dưới dạng:
^D(iω)≡F{D^ }=F{−α D(iω)≡F{D^ }=F{−α 2 A(z ,t)−∑ k=2βkik−1 k ! ∂kA(z,t) ∂tk } ¿−α 2 A(z ,t)−∑ k=2βkik−1 k ! (iω)k (2.66)
Phương trình (2.61) được viết lại như sau:
A(z+h,t)=exp[(hD^+ ^N)A(z,t)] (2.67) Độ chính xác của SSFM có thể được cải thiện bằng cách áp dụng một số quy trình khác để truyền xung quang qua một đoạn từ z đến z + h. Phương trình (2.64) trở thành:
A(z+h,t)≈exp(h 2D^)exp(∫ z z+h ^ N(z ')dz ')exp(h 2D^)A(z,t) (2.68) Phương trình (2.68) cho phép xác định các phi tuyến thông qua h. Nếu h là đủ nhỏ, toán tử phi tuyến được lấy xấp xỉ theo biểu thức:
∫
z z+h
^
N(z')dz '≈h2[N^(z)+ ^N(z+h)] (2.69)
SSFM rất hữu ích cho nhiều loại vấn đề quang học bao gồm lan truyền sóng trong khí quyển [28], sợi chiết suất biến đổi [26], Laser bán dẫn [7] và cộng hưởng không ổn định [27].