Với q0 = [ ]T = * +T
ta có kết quả mô phỏng nhƣ sau:
Hình 4.8: Vị trí tải theo phương trục x
Kết quả mô phỏng cho thấy khi vị trí ban đầu có góc lệch θ khác 0 thì chất lƣợng các bộ điều khiển ảnh hƣởng không đáng kể. Bộ điều khiển PD mở rộng vẫn cho chất lƣợng tốt về đáp ứng thời gian cũng nhƣ sai lệch tĩnh và độ quá điều chỉnh.
Hình 4.9: Vị trí tải theo phương trục y
Kết quả mô phỏng Hình 4.9 cũng cho thấy đáp ứng vị trí của tải theo phƣơng y cũng thay đổi đáng kể khi góc lệch θ ban đầu khác không. Kết quả vẫn cho thấy đáp ứng bộ điều khiển PD mở rộng là tốt. Hình 4.10: Góc quay θ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 2 Thoi gian t(s) Vi tri tai theo t ruc y (m ) DT dat PD E binh phuong PD mo rong 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.5 0 0.5 1 1.5 Thoi gian t(s) Goc lec h thet a (rad ) PD E binh phuong PD mo rong
Kết quả mô phỏng Hình 4.10 cho thấy rõ rang nhất về sự rung lắc của tải khi cầu trục di chuyển thông qua góc lệc θ. Kết quả cho thấy bộ điều khiển PD mở rộng đã đƣa đƣợc góc lệch θ về 0 với thời gian ngắn nhất. có nghĩa rằng rung lắc đã bị triệt tiêu.
Hình 4.11: Góc quay ϕ
Kết quả mô phỏng Hình 4.1 cho thấy góc quay ϕ trong bộ điều khiển PD mở rộng
có xu hƣớng tăng nhƣng rất nhỏ. Còn bộ điều khiển PD và năng lƣợng bình phƣơng cho thấy góc quay có xu hƣớng tăng mạng có nghĩa rằng tải xoay tròn tại vị trí tải.
Nhận xét:
a) Bộ điều khiển PD
θ0 = không ảnh hƣởng nhiều đến x và y bám giá trị đặt, thời gian ổn định, độ quá điều chỉnh của x và y cũng giống nhƣ trƣờng hợp θ0 = 0.
Góc quay θ dần ổn định về 0. Tuy nhiên độ quá điều chỉnh lớn.
Góc quay θ không ổn định cũng giống nhƣ trƣờng hợp θ 0 = 0. Tuy nhiên khi góc θ về 0 thì ϕ 0 không anh hƣởng quá nhiều (có thể tải bị xoay).
b) Bộ điều khiển năng lƣợng bình phƣơng:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 Thoi gian t(s) Goc qua y phi (rad ) PD E binh phuong PD mo rong
x vẫn bám giá trị đặt nhƣ trƣờng hợp θ0 = 0, tuy nhiêu y đã có độ quá điều chỉnh, thời gian đạt đến ổn định cũng lớn hơn.
Góc quay θ không ổn định. θ0 0 đã có ảnh hƣởng không nhỏ đến việc điều khiển θ.
Góc quay ϕ không ổn định cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp θ 0 = 0. Tuy nhiên nếu góc θ về 0 thì ϕ 0 không anh hƣởng quá nhiều (có thể tải bị xoay).
c) Bộ điều khiển PD mở rộng
x và y vẫn ổn định và bám giá trị đặt rất nhanh (t = 4s), độ quá điều chỉnh cũng gần nhƣ bằng 0 nhƣ trƣờng hợp θ 0 = 0.
Góc quay θ 0 thay đổi không ảnh hƣởng nhiều đến thời gian ổn định của θ (t = 4s), độ quá điều chỉnh cũng tƣơng đối nhỏ.
Theo chứng minh tại chƣơng 3 (3.54), ̇ = const. khi góc quay θ0 thay đổi theo đồ thị của góc ϕ vẫn giống nhƣ khi đã đƣợc chứng minh ở chƣơng 3.
4.3. Đánh giá chất lượng điều khiển
Các bộ điều khiển đều đáp ứng đƣợc yêu cầu và mục tiêu điều khiển. với bộ điều khiển PD là x,y; với bộ điều khiển năng lƣợng bình phƣơng và bộ điều khiển PD mở rộng là x,y, θ:
Với bộ điều khiển PD, 2 biến trạng thái x,y đạt tới giá trị đặt. thời gian ổn định của x,y nhanh, tuy nhiên θ có độ quá điều chỉnh và thời gian ổn định lớn. ngoài ra cần phải lựa chọn các thông số bộ điều khiển sao cho θ ổn định về 0. Việc lựa chọn góc θ để x,y ổn định nhanh cũng không phải đơn giản.
Đơi với bộ điều khiển năng lƣợng bình phƣơng, thời gian ổn định của 2 biến trạng thái x,y lớn hơn so với bộ PD, tuy nhiên góc θ có độ quá điều chỉnh cũng nhƣ độ dao động, thời gian ổn định nhỏ hơn. Hơn nữa, việc chọn thông số cho bộ điều khiển sao cho x,y, θ đáp ứng yêu cầu điều khiển đơn gỉn hơn so với bộ PD.
Với bộ điều khiển PD mở rộng, các biến trạng thái x,y, θ đều bám giá trị đặt và thời gian ổn định ngắn. Cùng với đó, độ quá điều chỉnh cũng nhƣ độ dao động nhỏ, đáp ứng tốt yêu cầu và mục tiêu điều khiển. Việc chọn thông số cho bộ điều khiển cũng đơn giản hơn so với 2 bộ điều khiển trên.
Khi góc θ = 0 thì góc ϕ có thể có tác động rất nhỏ đối với hệ cầu trục. Vì vậy, trong mục tiêu điều khiển chỉ cần góc θ đạt giá trị 0 thì có thể không xét đến ảnh hƣởng của góc ϕ.
Với trƣờng hợp đầu vào biến trạng thái θ 0 0 thì các biến x,y vẫn ổn định đối với 3 bộ điều khiển. Tuy nhiên chỉ có bộ điều khiển PD mở rộng là có khả năng đƣa đƣợc góc θ về 0 nhanh và ổn định nhất. Với 2 bộ điều khiển còn lại, tùy thuộc vào góc θ 0 mà có thể đƣa đƣợc góc θ ổn định về 0 hay không.
4.4. Kết luận
Cả 3 bộ điều khiển đều đáp ứng yêu cầu và mục tiêu điều khiển, đƣa x,y bám giá trị đặt đồng thời cũng đƣa góc θ tiến dần về 0.
Cả ba bộ điều khiển chƣa đƣa đƣợc góc xoay ϕ về không, tuy nhiên bộ điều khiển năng lƣợng bình phƣơng và bộ điều khiển PD mở rộng đã đƣa đƣợc góc lệch θ về không. Điều đó có nghĩa rằng bộ điều khiển đã đáp ứng đƣợc yêu cầu về chống rung tuy nhiên tải bị xoay tại chỗ.
Kết quả mô phỏng với trƣờng hợp khi biến trạng thái khác không là đáp ứng tốt về vị trí và chống rung do đó ta hoàn toàn có thể nâng hạ tải tới vị trí chiều dài dây không đổi nhƣ đã lựa chọn ở mô hình.
Trong 3 bộ điều khiển, bộ điều khiển PD mở rộng là tối ƣu và ổn định nhất. Ngoài ra việc chọn thông số bộ điều khiển cũng đơn giản hơn so với 2 bộ điều khiển PD và năng lƣợng bình phƣơng. Tuy nhiên việc thiết kế bộ điều khiển thực tế có thể khó khăn hơn so với 2 bộ điều khiển còn lại.
Cơ cấu cầu trục là cơ cấu hụt dẫn động với hai tham số đầu vào là vị trí theo trục x, vị trí theo trục y và điều khiển bốn tham số đầu ra là vị trí theo trục x, vị trí theo trục y, góc lệch θ và góc xoay ϕ Đây là một hệ thống phức tạp và có tính ứng dụng cao o đó ần có một xu hướng cho việc nghiên cứu và phát triển các bộ điều khiển về mặt lý thuyết ũng như ứng dụng vào thực tiễn.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sau khi hoàn thành luận văn “Điều khiển chống rung cho cầu trục 3 chiều” tác giả có những kết luận và kiến nghị nhƣ sau:
Những đóng góp cụ thể.
Tìm hiểu đƣợc khái niệm, đặc điểm, cấu tạo cũng nhƣ phân loại các hệ cầu trục trong thực tế.
Xây dựng đƣợc mô hình toán học hệ cầu trục 3-D và kiểm nghiệm trên phần mềm Matlab Simulink.
Xây dựng đƣợc các bộ điều khiển PD, năng lƣợng bình phƣơng, PD mở rộng và thực hiện mô phỏng trên Matlab Simulink, qua đó đánh giá chất lƣợng các bộ điều khiển.
Những hạn chế của đồ án:
Lựa chọn các thông số cho các bộ điều khiển chƣa thực sự tối ƣu.
Chƣa đƣa đƣợc góc ϕ về 0.
Chƣa xét đến sự thay đổi của chiều dài dây
Chƣa xét đến ảnh hƣởng của lực ma sát cũng nhƣ ảnh hƣởng của mô trƣờng.
Chƣa xây dựng đƣợc mô hình thực tế
Những Đề xuất, hướng phát triển đồ án:
Do quá trình nghiên cứu còn hạn chế về mặt thời gian cũng nhƣ kinh nghiệm nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế và khó khăn khi thực hiện. Qua đây tác giả muốn kiến nghị những đề xuất, hƣớng phát triển cụ thể nhƣ sau.
Tối ƣu hóa các bộ điều khiển. Xây dựng bộ điều khiển cầu trục khác nhƣ bộ điều khiển mờ, bộ điều khiển thích nghi, bộ điều khiển trƣợt.
Kể đến ảnh hƣởng của ma sát và môi trƣờng lên hệ thống.
Xây dựng mô hình và điều khiển hệ cầu trục trong thực tế sản xuất.
Xét ảnh hƣởng của lực ma sát ảnh hƣởng tới hệ cầu trục 3 chiều
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]Bùi Quốc Khánh, Hoàng Xuân Bình, Trang bị điện-điện tửtự động hóa cầu trục vàcần trục, Nhà xuất bản khoa học và kỹthuật, Hà Nội, 2006.
[2]Nguyễn Mạnh Tiến, Điều khiển robot công nghiệp, Nhà xuất bản khoa học và kỹ
thuật, Hà Nội, 2007.
[3]R.M.T. Raja Ismail, M.A. Ahmad, M.S. Ramli, F.R.M. Rashidi, “Nonlinear dynamic modelling and analysis of a 3-D overhead gantry crane system with system parameters variation”,Faculty of Electrical and Electronics Engineering
UniversityMalaysia Pahang, Pekan, 26600, Pahang, Malaysia, pp. 9-16.
[4]Y. Fang, W. E. Dixon, D. M. Dawson, and E. Zergeroglu, “Nonlinear coupling control laws for a 3-DOF overhead crane system,” in Proc. IEEE Conf.Decision andControl, Orlando, Florida, USA, Dec. 2001, pp. 3766-3771.
[5]Y. Fang, W. E. Dixon, D. M. Dawson, and E. Zergeroglu, “Nonlinear coupling control laws for an underactuated overhead crane system,” IEEE/ASME Trans.Mechatronics, vol. 8, no. 5, Sep. 2003, pp. 418-423.
[6]R.Lozano, I.Fantoni, and D. J. Block, “Stabilization of the inverted pendulum around its homoclinic orbit,” Syst. Control Lett., vol. 40, no. 3, 2000, pp. 197-204. [7]D. Chwa, “Nonlinear tracking control of 3-DOF overhead crane against the initial
swing angle and the variation of payload weight,” IEEE Transactions on controlsystems technology, vol. 17, no. 4, July. 2009, pp. 876-883.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
[1] Ngô Văn An, Dƣơng Minh Đức, Nguyễn Tùng Lâm. “Phương pháp điều
khiển chống rung cho cầu trục tránh vật cản”. Tạp chí nghiên cứu khoa học và công
PHỤ LỤC
P1. Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov
1.1 Ổn định của điểm cân bằng
Xét một hệ liên tục phi tuyến biến đổi theo thời gian bậc n có dạng: ̅̇ = ƒ(t, ̅), ̅(t0) = x0 (1) Hoặc hệ gián đoạn phi tuyến biến đổi theo thời gian bậc n có dạng: ̅(k + 1) = ƒ(t, ̅(k)), ̅(k0) = x0 (2)
Trong đó: x Rn, t R, k Z và x0 là giá trị ban đầu tại t0 (hoặc k0 tƣơng ứng)
1.1.1 Trạng thái cân bằng
Trạng thái là trạng thái cân bằng khi:
ƒ(t, ̅̅̅ ) = 0 với mọi t đối với hệ thống liên tục. ƒ(t, ̅̅̅ ) = 0 với mọi t đối với hệ thống gián đoạn.
Không mất tính tổng quát có thể coi ̅̅̅ = 0 là trạng thái cân bằng.
1.1.2 Ổn định và ổn định đều theo nghĩa của Lyapunov
Trạng thái cân bằng 0 của hệ thống (1) là trạng thái ổn định cục bộ theo nghĩa Lyapunov nếu với mỗi Ɛ > 0, sẽ tồn tại một δ(Ɛ, t0) sao cho nếu ‖ ̅(t) ‖< δ luôn tồn tại‖ ̅(t) ‖< Ɛ với mọi t > t0 (đối với hệ thống gián đoạn k0 ) .
Nếu δ đƣợc chọ độc lập với t0 có nghĩa là tồn tại δ(Ɛ0, trạng tháo 0 sẽ là ổn định đều.
1.1.3. Ổn định tiệm cận đều theo nguyên lý Lyapunov
Trạng thái 0 là ổn định tiệm cận cục bộ nếu: - Ổn định theo nghĩa Lyapunov và
- Tồn tại δ᾿(t0) sao cho nếu ‖ ̅(t) ‖ thì ‖ ̅(t) ‖ 0 khi t Trạng thái 0 là ổn định tiệm cận đều (cục bộ) nếu:
- Ổn định đều theo nghĩa Lyapunov và
- Tồn tại δ᾿ độc lập với t0 sao cho nếu ‖ ̅(t) ‖ thì ‖ ̅(t) ‖ 0 khi t
1.1.4. Ổn định tiệm cận toàn bộ
Trạng thái 0 là ổn định tiệm cận toàn bộ nếu ổn định tiệm cận với bất kỳ δ᾿ > 0
1.1.5. Ổn định hàm mũ
Trạng thái 0 là ổn định hàm mũ, nếu ổn định theo nghĩa Lypunov và tồn tại δ᾿ > 0 và một hằng số M < ∞ và α > 0 sao cho ‖ ̅(t) ‖ | | ( ) với mọi ‖ ̅(t) ‖
; gọi là tỷ lệ hàm mũ.
1.2.Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov cho hệ thống không biến đổi theo thời gian (Autonom)
Xét hàm f của hệ thống liên tục (1) không phụ thuộc thời gian tức là: ̅̇ = ƒ(t, ̅), ̅(t0) = x0 (3) Và hàm f của hệ thống gián đoạn (2) không phụ thuộc thòi gian:
̅(k + 1) = ƒ(t, ̅(k)), ̅(k0) = x0 (4)
1.2.1. Hàm xác định dương (bán xác định dương)
Một hàm có đạo hàm liên tục V đƣợ gọi là xác định dƣơng trong vùng U € Rn bao gồm điểm gốc nếu:
- ̇(0) = 0
Một hàm đƣợc gọi là bán xác định dƣơng nếu điều kiện thứ 2 đƣợc thay thế bằng V( ̅) 0, x U
1.2.2. Địn lý Lyapunov
Đối với một hệ thống không biến đổi theo thời gian, nếu tồn tại một hàm V xác định dƣơng có đạo hàm liên tục và tồn tại đạo hàm thỏa mãn :
̇ = ̅ =
̅ ( ̅) = -W( ̅)
Là hàm xác định âm, thì điểm cân bằng 0 là ổn định. Nếu W… là hàm xác định dƣơng, điểm cân bằng là ổn định tiệm cận u:
‖x̅‖ > V( ̅)
1.2.3. Tính ổn định của hệ thống tuyến tính không biến đổi theo thời gian
Điểm cân bằng 0 của của hệ thống bậc n: ̅̇ = A ̅
Là điểm cân bằng ổn định tiệm cận (ổn định hàm mũ) khi: - Tất cả các thí nghiệm của A nằm bên trái mặt phức
Với mỗi ma trận Q đối xứng xác định dƣơng bất kỳ, luôn tìm đƣợc ma trận P đối xứng xác định dƣơng thỏa mãn phƣơng trình Lyapunov sau:
1.2.4. Tính ổn định của hệ thống gián đoạn tuyến tính không biến đổi theo thời gian
Điểm cân bằng 0 của hệ thống bậc n:
̅(k + 1) = A ̅(k) (6) Là điểm cân bằng ổn định tiệm cận (ổn định hàm mũ) khi:
Tất cả các thí nghiệm của A có biên độ nhỏ hơn 1
Với mỗi ma trận Q đối xứng xác định dƣơng bất kỳ, luôn tìm đƣợc một ma trận P đối xứng xác định dƣơng thỏa mãn phƣơng trình Lyapunov gián đoạn nhƣ sau:
ATPA – P = -Q
P2. Phương trình Lagrange
Trong phƣơng trình Lagrange, các biến tọa độ tổng quát đƣợc sử dụng để xác định duy nhất vị trí của vật. Phƣơng trình Lagrange sẽ nhận đƣợc từ phƣơng trình Niutơn.
Giả sử hệ thống gồm n phần tử vật chất với n bậc tự do mô tả bởi các biến tọa độ tổng quát q1, q2 , … , qn (đối với chuyển động khớp quay, tọa độ tổng quát là góc quay của khớp qi = i; đối với khớp chuyển động tịnh tiến, tọa độ tổng quát là độ di chuyển qi = di ). Một vectơ vị trí trong không gian ba chiều ̅μ đối với mỗi phần tử vật chất Pμ đƣợc ký hiệu là:
̅ = xμ(q1, q2, … , qn, t) (2.1)
Khối lƣợng của mỗi phần tử vật chất Pμ là mμ và lực đặt lên Fμ, phƣơng trình chuyển động Niutơn có dạng:
̅μ = mμ ̅̈μ (2.2) Lấy đạo hàm ̅̅̅̅
và lấy tổng đối vối tất cả các phần tử vật chất của hệ thống, ta nhận đƣợc phƣơng trình sau: ∑ ̅T μ ̅̅̅̅ = ∑ ̅̈ ̅̅̅̅ ; q = 1, 2, …, n (2.3) Mặt khác từ phƣơng trình (2.1) ta có: ̅̅̅̇ =∑ ̅̅̅̅ ̇ + ̅̅̅̅ (2.4)
̅̅̅̅̇ ̇ = ̅̅̅̅
(2.5)
Nhƣ vậy phƣơng trình (2.3) có thể đƣợc viết dƣới dạng sau:
(
) (
) (2.6)
Trong đó ∑ ̅ ̅ – động năng của hệ thống Và Qi = ∑ ̅
- lực tổng quát tƣơng ứng với tọa độ qi
Lực ̅ bao gồm hai thành phần trọng lực ( ) và thành phần các lực còn lại ( ). Thành phần trọng lực đƣợc tính từ thế năng của phần tử: (2.7) Khi đó nhận đƣợc thành phần Qib có dạng sau: ∑ ̅ (2.8)
Hàm Lagrange là hiệu của động năng và thế năng của vật có dạng:
(2.9)
Sử dụng các biểu thức (2.6) đến (2.8), sau một số phép biến đổi, phƣơng trình chuyển động Lagrange đƣợc viết nhƣ sau:
( ) ( ) (2.10)
Đối với vật thể cứng có n bậc tự do, động của vật K đƣợc xác định nhƣ sau:
(2.11)
Trong đó: v – tốc độ chuyển động tịnh tiến của tâm vật thể – tốc độ góc
m – khối lƣợng vật thể
Jt - momen quán tính của vật thể
P3. Mô hình cầu trục 3-D và các bộ điều khiển mô phỏng trên phần mềm Mathlab Simulink
3.1 Mô hình cầu trục 3-D
Hình P.1. Mô hình mô phỏng cầu trục 3-D
Thông số các khối M-1(q); V và G nhƣ sau: