Mục này trình bày khái niệm về chuỗi thời gian mờ và các định nghĩa liên quan. Các khái niệm này chủ yếu được trích dẫn từ các công trình nền tảng của Song và Chissom [8, 9], Chen [10] và một số tác giả khác.
❖ Chuỗi thời gian mờ (Fuzzy time series-FTS)
Dựa trên lý thuyết tập mờ của Zadeh [7], Song và Chissom [8, 9] đã đề xuất khái niệm chuỗi thời gian mờ và chỉ ra điểm khác chủ yếu giữa chuỗi thời gian mờ và chuỗi thời gian truyền thống là giá trị của chuỗi thời gian được biểu diễn bởi các tập mờ (hay các nhãn ngôn ngữ), trong khi chuỗi thời gian truyền thống được biểu diễn bởi các giá trị số.
Cho 𝑼 = {𝑢1, . . , 𝑢𝑛 } là tập nền, một tập mờ 𝐴 của tập nền U được xác định là:
𝐴 =𝐴(𝑢1)
𝑢1 + 𝐴(𝑢2)
𝑢2 +…+𝐴(𝑢𝑛)
𝑢𝑛 (1.4)
Trong đó, 𝐴là hàm thuộc của tập mờ 𝐴 , sao cho 𝐴: U→[0,1]; Nếu 𝑢𝑖 là một thành viên của 𝐴 thì 𝐴(𝑢𝑖) là cấp độ thuộc của 𝑢𝑖 vào tập mờ 𝐴 sao cho
𝐴(𝑢𝑖) ϵ [0, 1] và 1≤ i ≤ n. Ở đây các ký hiệu “+” và “/” được biểu diễn là phép hợp và phép phân tách giữa các cấp độ thuộc chứ không phải là phép tổng và phép chia số học thông thường. Một số định nghĩa cơ bản và các thuật ngữ liên quan đến FTS được đưa ra như sau:
Định nghĩa 1.2 : Chuỗi thời gian mờ
Cho 𝑌(𝑡)(𝑡 =. . .0, 1, 2, . . . ) là một tập con của tập số thực (𝑌(𝑡) ∈ 𝑅1) và cũng là tập nền U trên đó xác định các tập mờ 𝑓𝑖(𝑡). 𝐹(𝑡) là tập chứa các tập 𝑓𝑖(𝑡) (𝑖 = 1,2, . . . ). Khi đó, gọi 𝐹(𝑡) là chuỗi thời gian mờ xác định trên tập nền 𝑌(𝑡).
Khái niệm chuỗi thời gian mờ có thể được giải thích thông qua hai ví dụ sau:
Ví dụ 1.2: Quan sát chung về điều kiện thời tiết tại một nơi nào đó có thể được miêu tả bởi các hạng từ như “nóng”, “rất nóng”, “mát”, “lạnh”, “rất lạnh”, vv. Tất cả các cụm từ này có thể được biểu diễn bởi các tập mờ 𝐴𝑖.
Ví dụ 1.3: Quan sát chung về lực học của một sinh viên có được biểu diễn bởi các hạng từ ngôn ngữ như “tốt”, “rất tốt”, “kém”, “rất kém”, vv.
Xét hai ví dụ trên và Định nghĩa 1.2 có thể thấy:
(1)𝐹(𝑡) có thể hiểu là một biến ngôn ngữ 𝐴̃, 𝑓𝑖(𝑡) (i = 1, 2....) là các giá trị ngôn ngữ của 𝐹(𝑡) và được biểu diễn bởi các tập mờ 𝐴𝑖 (𝐴𝑖 ∈ 𝐴̃). Tại các thời điểm khác nhau thì 𝐹(𝑡) có thể có các giá trị khác nhau.
(2)𝐹(𝑡) là một hàm thời gian.
Hai ví dụ cho thấy mô hình chuỗi thời gian truyền thống không có khả năng biểu diễn được khi các giá trị của chuỗi thời gian là những giá trị ngôn ngữ.
Định nghĩa 1.3: Quan hệ mờ (QHM)
Tại các thời điểm t và t-1, giả sử 𝐹(𝑡) được suy ra bởi 𝐹(𝑡 − 1), thì quan hệ 𝑅(𝑡 − 1, 𝑡) giữa F(t) và 𝐹(𝑡 − 1) được gọi là quan hệ logic mờ (hay gọi tắt là quan hệ mờ), và được xác định là 𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡 − 1) ∗ 𝑅(𝑡 − 1, 𝑡). Trong đó, Toán tử * có thể là phép hợp thành max-min trong [8] hoặc min-max [9] hay phép tính số học đơn giản trong [10]. Kiểu QHM này có thể được biểu diễn dưới dạng: 𝐹(𝑡 − 1) → 𝐹(𝑡). Nếu đặt 𝐹(𝑡 − 1) = 𝐴𝑖 và 𝐹(𝑡) = 𝐴𝑗 thì mối quan hệ giữa chúng có thể biểu diễn bởi QHM là 𝐴𝑖 → 𝐴𝑗. Trong đó𝐴𝑖, 𝐴𝑗 là các tập mờ biểu diễn vế trái (trạng thái hiện tại) và vế phải (trạng thái tương lai) tương ứng của quan hệ mờ. Chuỗi thời gian mờ với quan hệ như vậy được gọi là FTS bậc nhất.
Định nghĩa 1.4: Bậc của quan hệ mờ
Số lượng các giá trị trong quá khứ được sử dụng để xác định các giá trị trong tương lai, được gọi là bậc của quan hệ mờ. Về mặt toán học, nếu m giá trị trong quá khứ 𝐹(𝑡 − 𝑚), … , 𝐹(𝑡 − 2), 𝐹(𝑡 − 1) của chuỗi thời gian ảnh hưởng đến 𝐹(𝑡), được gọi là mô hình chuỗi thời gian bậc m.
Định nghĩa 1.5: Nhân tố của chuỗi thời gian
Nếu một chuỗi thời gian bị ảnh hưởng bởi số chuỗi thời gian khác thì chuỗi thời gian đó gọi là nhân tố chính, các chuỗi thời gian còn lại là các nhân tố phụ hay gọi là nhân tố thứ hai. Nếu chuỗi thời gian 𝐹1(𝑡) bị ảnh hưởng bởi n-1 chuỗi thời gian khác 𝐹2(𝑡), 𝐹3(𝑡), …, 𝐹𝑛(𝑡), khi đó 𝐹1(𝑡) được gọi là chuỗi thời gian n nhân tố.
Định nghĩa 1.6: Quan hệ mờ bậc cao m một nhân tố [48]
𝐹(𝑡) là một chuỗi thời gian mờ. Nếu 𝐹(𝑡) được suy ra đồng thời bởi 𝐹(𝑡 − 1), 𝐹(𝑡 − 2),…, 𝐹(𝑡 − 𝑚), thì quan hệ giữa chúng được biểu diễn bởi 𝐹(𝑡 − 1), 𝐹(𝑡 − 2), …, 𝐹(𝑡 − 𝑚) → 𝐹(𝑡) và được gọi là QHM bậc m một nhân tố. Mô hình chuỗi thời gian được xây dựng từ quan hệ mờ như vậy được gọi là mô hình chuỗi thời gian mờ bậc m một nhân tố.
Định nghĩa 1.7: Quan hệ mờ bậc cao m hai nhân nhân tố [54]
Giả sử một chuỗi thời gian gồm hai nhân tố 𝐹𝐴(𝑡) và 𝐹𝐵(𝑡). Nếu 𝐹𝐴(𝑡) được suy ra đồng thời bởi (𝐹𝐴(𝑡 − 1), 𝐹𝐵(𝑡 − 1)), (𝐹𝐴(𝑡 − 2), 𝐹𝐵(𝑡 − 2)),…, (𝐹𝐴(𝑡 − 𝑚), 𝐹𝐵(𝑡 − 𝑚)) thì quan hệ giữa chúng được biểu diễn theo cách sau: (𝐹𝐴(𝑡 − 𝑚), 𝐹𝐵(𝑡 − 𝑚)),…, (𝐹𝐴(𝑡 − 2), 𝐹𝐵(𝑡 − 2)), (𝐹𝐴(𝑡 − 1), 𝐹𝐵(𝑡 − 1)) →
𝐹𝐴(𝑡), quan hệ như vậy được gọi là quan hệ bậc m hai nhân nhân tố. Trong đó, 𝐹𝐴(𝑡) được gọi là nhân tố chính hay nhân tố dự báo và 𝐹𝐵(𝑡) gọi là nhân tố thứ hai của chuỗi thời gian mờ, vế trái (𝐹𝐴(𝑡 − 𝑚), 𝐹𝐵(𝑡 − 𝑚)),…, (𝐹𝐴(𝑡 − 2), 𝐹𝐵(𝑡 − 2)),
(𝐹𝐴(𝑡 − 1), 𝐹𝐵(𝑡 − 1)) gọi là trạng thái hiện tại của quan hệ mờ, vế phải 𝐹𝐴(𝑡) gọi là trạng thái tương lai.
Định nghĩa 1.8: Nhóm quan hệ mờ (NQHM) bậc 1 một nhân tố [10]
Giả sử có các quan hệ mờ bậc 1 có cùng các tập mờ bên vế trái như sau : 𝐴𝑖 → 𝐴𝑘1; 𝐴𝑖 → 𝐴𝑘2; … . ; 𝐴𝑖 → 𝐴𝑘𝑚.
Theo Chen [10] các quan hệ mờ này được gộp thành một NQHM như sau : 𝐴𝑖 → 𝐴𝑘1, 𝐴𝑘2, … , 𝐴𝑘𝑚. Các quan hệ mờ giống nhau (lặp lại) chỉ được tính duy nhất một lần khi tham gia vào NQHM.
Ví dụ 1.4: Giả sử chuỗi thời gian mờ 𝐹(𝑡) chứa các giá trị 𝑓𝑖(𝑡) = [ 𝐴3, 𝐴3, 𝐴1, 𝐴1, 𝐴2, 𝐴1, 𝐴3]. Theo Chen [10] các quan hệ mờ được xác định là: 𝐴3 →
𝐴3, 𝐴3 → 𝐴1, 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴1 → 𝐴2, 𝐴2 → 𝐴1, 𝐴1 → 𝐴3 và chúng được gộp thành các NQHM như sau : 𝐴3 → 𝐴3, 𝐴1; 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3và 𝐴2 → 𝐴1.