PH×ÌNG PHP NEWTON
V½ dö 2.5. Gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤i sè bªc cao:
x7 + 10x5 + 15x+ 5 = 0 (2.21) Tuy ph÷ìng tr¼nh (2.21) ch¿ l mët ph÷ìng tr¼nh a thùc, tuy nhi¶n bªc cõa nâ kh¡ cao n¶n khâ câ thº gi£i ÷ñc b¬ng c¡c k¾ thuªt cõa ¤i sè (°t ©n phö, nhâm h¤ng tû,...) º ÷a v· ph÷ìng tr¼nh bªc th§p hìn.
°t f(x) =x7 + 10x5 + 15x+ 5.
Do f0(x) = 7x6 + 50x4+ 15 > 0,∀x n¶n h m sè çng bi¸n tr¶n to n tröc sè. Ta d¹ d ng t½nh ÷ñc f(−1) = −21 < 0, f(0) = 5 > 0. Do â ph÷ìng tr¼nh (2.21) câ duy nh§t nghi»m trong kho£ng (−1,0). Ti¸p theo ta dòng ph÷ìng ph¡p Newton º t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh (2.21).
Vîi kho£ng ph¥n li nghi»m l (−1,0) ta câ f00(x) = 42x5 + 200x3 <
0, f(−1) = −21 < 0. Do â chån x0 = a = −1, s = 1 v t½nh theo cæng thùc l°p (2.14).
Sû döng ph¦n m·m Mathematica 5.2 vîi x0 = −1, s = 1 v t½nh ÷ñc
Vªy ta câ nghi»m: x= x4 ±∆ = −0,330676±10−5. V½ dö 2.6. Gi£i ph÷ìng tr¼nh si¶u vi»t:
ex−cos(2x)−5 = 0 (2.22) °t y = f(x) = ex −cos(2x) −5. Ta câ thº d¹ d ng t½nh ÷ñc f(1) =
−3,2811 < 0 v f(2) = 1,39149> 0. Do â, ph÷ìng tr¼nh (2.22) câ ½t nh§t mët nghi»m trong kho£ng (1,2). Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.22) câ thº coi nh÷ l giao cõa 2 ç thà h m sè y = ex −5 v y = cos(x). Ta câ th¸ nhí ph¦n m·m Mathematica v³ ç thà trong kho£ng(0, π) tr¶n còng mët h» tröc tåa ë nh÷ h¼nh (2.4).
Nh¼n ç thà (2.4) ta th§y hai ç thà ct nhau t¤i mët iºm câ ho nh ë trong kho£ng (1,2). V ta câ f(1).f(2) < 0 n¶n ph÷ìng tr¼nh (2.22) câ duy nh§t nghi»m trong (1,2).
Vîi kho£ng ph¥n li nghi»m l (1,2), ta câ f00(x) = ex + 4.cos(2x) >
0, f(1) = −3,2811 < 0. Do â, theo ph÷ìng ph¡p Newton chån x0 = b = 2, s = −1 v t½nh theo cæng thùc l°p (2.14).
H¼nh 2.4: ç thà giao iºm cõa 2 h m sèy=ex−5v y=Cos(x)
Sû döng ph¦n m·m Mathematica 5.2 vîi x0 = 2, s = −1 v t½nh ÷ñc
x3 = 1,40055 vîi ∆ = 10−5.
Ch÷ìng 3 ÙNG DÖNG PHN MM MATHEMATICA TM NGHIM GN ÓNG CÕA PH×ÌNG TRNH BNG PH×ÌNG PHP NEWTON 3.1 MËT VI NT V PHN MM MATHEMATICA 3.1.1 Giîi thi»u
Trong c¡c v½ dö trong c¡c ch÷ìng vøa rçi, chóng ta câ · cªp ¸n ph¦n m·m Mathematica. Vªy Mathematica l c¡i g¼ v nâ câ cæng döng ra sao trong · t i nghi¶n cùu n y.
Th¸ h» ngæn ngú gi£i t½ch ¦u ti¶n â l macsyma, Reduce... ra íi tø nhúng n«m 60 cõa th¸ k XX. C¡c ngæn ngú n y chõ y¸u dòng cho c¡c b i to¡n vªt lþ n«ng l÷ñng cao. Nh÷ñc iºm cõa chóng l chõ y¸u ÷ñc ành h÷îng ch¤y tr¶n c¡c m¡y t½nh lîn.
Th¸ h» ti¸p theo l ngæn ngú Maple, Mathlab, Mathematica... C¡c ngæn ngú n y câ ÷u iºm l ch¤y nhanh hìn v ch§p nhªn bë nhî nhä hìn, ch¤y ho n h£o tr¶n m¡y t½nh c¡ nh¥n. Trong c¡c ngæn ngú t½nh to¡n lo¤i n y, nêi bªc l¶n ngæn ngú Mathematica vîi ÷u iºm v÷ñt trëi v· giao di»n th¥n thi»n,
v· kh£ n«ng ç thà si¶u vi»t v xû lþ dú li»u khæng thua k²m c¡c ngæn ngú t½nh to¡n kh¡c.
Mathematica l¦n ¦u ti¶n ÷ñc h¢ng Wolfram Research ph¡t h nh v o n«m 1988 l mët h» thèng nh¬m thüc hi»n c¡c t½nh to¡n To¡n håc tr¶n m¡y t½nh i»n tû. Nâ l mët tê hñp c¡c t½nh to¡n b¬ng kþ hi»u, t½nh to¡n b¬ng sè, v³ ç thà v l ngæn ngú lªp tr¼nh tinh vi. L¦n ¦u ti¶n khi version 1 cõa Mathematica ÷ñc ph¡t h nh, möc ½ch ch½nh cõa ph¦n m·m n y l ÷a v o sû döng cho c¡c ng nh khoa håc Vªt lþ, Cæng ngh» v To¡n håc. Còng vîi thíi gian Mathematica trð th nh ph¦n m·m quan trång trong nhi·u l¾nh vüc khoa håc kh¡c. Ph¦n m·m ÷ñc vi¸t b¬ng Mathematica v C.
Mathematica l ngæn ngú t½ch hñp ¦y õ nh§t c¡c t½nh to¡n kÿ thuªt. L d¤ng ngæn ngú düa tr¶n nguy¶n lþ xû lþ c¡c dú li»u t÷ñng tr÷ng.
Nhí kh£ n«ng mæ h¼nh hâa v mæ phäng c¡c h» lîn, kº c£ c¡c h» ëng m Mathematica khæng ch¿ ÷ñc ¡p döng trong c¡c l¾nh vüc vªt lþ, kÿ thuªt v to¡n m cán ÷ñc mð rëng ùng döng trong c¡c l¾nh vüc nh÷ sinh håc, c¡c khoa håc x¢ hëi, kº c£ trong l¾nh vüc t i ch½nh phùc t¤p.
Phi¶n b£n 10.1 l phi¶n b£n mîi nh§t hi»n nay, ph¡t h nh n«m 2015.
3.1.2 Giao di»n t÷ìng t¡c cõa Mathematica
Mathematica ÷a ra mët giao di»n r§t th¥n thi»n vîi ng÷íi sû döng ÷ñc °t t¶n l b£n ghi (notebook - th÷íng ÷ñc gåi tc l nb). C¡c b£n ghi l d¤ng cõa sê biºu di¹n mët l÷ñc sû döng Mathematica bao gçm ¦y õ c¡c ghi ch²p c£ v· ch÷ìng tr¼nh nguçn, c£ v· k¸t qu£ thüc hi»n tr¶n còng mët b£n ghi v ÷ñc ghi l¤i d÷îi d¤ng file ri¶ng cõa Mathematica câ uæi l *.nb. C¡c b£n ghi ÷ñc tê chùc th nh c¡c æ (cells) mët c¡ch trªt tü v thù bªc, ta câ thº nhâm mët nhâm æ l¤i sao cho ch¿ th§y æ ¦u cõa nhâm æ â (vîi sè nhâm lçng tòy þ).
Mathematica cán ÷a ra mët giao di»n phö l c¡c b£ng l»nh (Palettes) v c¡c nót l»nh (Button). Ng÷íi sû döng ch¿ c¦n nh§p chuët v câ thº tòy bi¸n theo þ m¼nh.
3.1.3 C¡c t½nh n«ng cõa Mathematica
Mathematica cho ph²p t½nh mët c¡ch trüc ti¸p gièng nhau nh÷ mët cal- culator vîi ë ch½nh x¡c b§t ký mët biºu thùc phùc t¤p n o b¬ng c¡ch vi¸t biºu thùc c¦n t½nh v b§m tê hñp ph½m "Shift + Enter".
b. Kh£ n«ng t½nh to¡n vîi bi¸n t÷ñng tr÷ng
Mathematica cho ph²p gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh hay t½nh to¡n c¡c biºu thùc m nghi»m hay c¡c k¸t qu£ ÷ñc biºu di¹n b¬ng c¡c bi¸n t÷ñng tr÷ng.
c. Kh£ n«ng ç håa hai chi·u v ba chi·u
Mathematica cho ph²p v³ t§t c£ c¡c d¤ng ç thà câ thº câ cõa mët h m sè vîi c§u tróc l»nh ìn gi£n nh§t nh÷ ç thà hai chi·u, ç thà ba chi·u, ç thà ÷íng vi·n, ç thà mªt ë ...
d. Kh£ n«ng t½nh to¡n cõa Mathematica
Mathematica câ kh£ n«ng ch§p nhªn c¡c dú li»u lîn b§t ký v xû lþ nâ trong thíi gian v i gi¥y.
Mathematica cho ph²p xû lþ c¡c sè li»u câ k½ch th÷îc lîn b§t ký v cán cho ph²p t½nh to¡n ¤i sè vîi ë ch½nh x¡c b§t ký do ng÷íi sû döng °t ra hay câ thº thüc hi»n c¡c t½nh to¡n ¤i sè m con ng÷íi khâ câ thº thüc hi»n b¬ng tay.
çng thíi, Mathematica cho ph²p sû döng c¡c thuªt to¡n cho tr÷îc º ìn gi£n hâa biºu thùc ( d§u "%” l º tham chi¸u vøa ÷a ra ð dáng l»nh tr÷îc).
e. C¡c thuªt to¡n trong Mathematica
Khi ch¤y, Mathematica tü chån c¡c thuªt to¡n th½ch hñp (trong c¡c thuªt to¡n câ s®n) cho méi t½nh to¡n g¦n óng b¬ng sè.
Mathematica l mët cæng cö d¹ d ng xû lþ c¡c ma trªn. Câ thº t¤o ra mët b£ng hai chi·u, biºu di¹n nâ d÷îi d¤ng ma trªn, thüc hi»n c¡c ph²p to¡n vîi nâ.
Mathematica câ thº d¹ d ng gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n b¬ng c£ líi gi£i ¤i sè ch½nh x¡c v c£ líi gi£i g¦n óng cho k¸t qu£ l mët h m nëi suy, çng thíi biºu di¹n ç thà c¡c líi gi£i.
f. Mathematica l mët cuèn b¡ch khoa to n th÷
Mathematica câ chùa s®n h¦u h¸t c¡c h m °c bi»t ð d¤ng thu¦n tóy to¡n ho°c ð c¡c d¤ng ùng döng cõa nâ.
t½ch ph¥n kº c£ t½ch ph¥n °c bi»t.
Mathematica công cho ph²p t½nh to¡n ch½nh x¡c c¡c têng v t½ch væ h¤n. g. C¡c ùng döng h¼nh £nh trong Mathematica
Mathematica câ thº t¤o ra c¡c ç thà tham sè ho°c cho th§y sü vªn ëng cõa qu¡ tr¼nh b¬ng c¡ch cho ch¤y mët d¢y c¡c ç thà t¾nh.
3.1.4 Mët sè h m thæng th÷íng
Trong Mathematica Biºu thùc to¡n
Sqrt[x] √x Log[x] ln(x) Sin[x] sin(x) Cos[x] cos(x) Tan[x] tan(x) Log[a,b] Logab Arcsin[x] Arcsin(x) Exp[x] ex Factoria[x], n! n! Asb[x] |x| Mod[n,m] Sè d÷ cõa n m
FactorInteger[n] Ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè cõa n
Limit[f[x], x→x0] T½nh giîi h¤n Sum[biºu thùc,i, imin, imax ] T½nh têng
D[f(x), x] T½nh ¤o h m Intergrate[f(x), x] T½nh nguy¶n h m Intergrate[f(x), x, a, b] T½nh nguy¶n h m Solve[f(x) == 0, x] Gi£i ph÷ìng tr¼nh Solve[f1== 0, f2== 0, x, y] Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
Simplify[f[x], x] ìn gi£n biºu thùc Plot[fx, x, a, b] V³ ç thà
B£ng 3.1: Mët sè h m thæng döng trong ph¦n m·m Mathematica
3.2 ÙNG DÖNG PHN MM MATHEMATICA VO GIIPH×ÌNG TRNH BNG PH×ÌNG PHP NEWTON PH×ÌNG TRNH BNG PH×ÌNG PHP NEWTON
Vi»c lªp tr¼nh vi t½nh º thüc hi»n mët thuªt sè s³ l m cho k½ch th÷îc v· thuªt to¡n cõa ng÷íi lªp th¶m ph¦n xu§t sc hìn. Tuy nhi¶n, º gi£i mët ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton thæng qua lªp tr¼nh m¡y t½nh v¨n cán xa l¤ vîi nhi·u sinh vi¶n. V¼ th¸ trong · t i n y, tæi nghi¶n cùu ùng döng ph¦n m·m Mathematica º t¼m nghi»m ch½nh x¡c v nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ç thà thæng qua c¡c gâi l»nh ¢ ÷ñc lªp tr¼nh.
Quay trð l¤i v½ dö 2.2: º t¼m nghi»m g¦n óng óng cõa ph÷ìng tr¼nh:
x3 + 3x−5 = 0
b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton vîi c¡ch t½nh thõ cæng thæng th÷íng ta l m nh÷ sau:
Sau khi bi¸t ÷ñc kho£ng ph¥n li nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l (1, 2). Trong kho£ng (1, 2) ta câ f00(x) = 6x > 0, f(1) = −1 < 0. Do â vîi ph÷ìng ph¡p Newton chån x0 = b = 2, s = −1 v t½nh to¡n theo cæng thùc l°p (2.14) vîi sai sè cho ph²p l ∆ = 10−6. Ta t½nh ÷ñc: x1 = x0 − f(x0) f0(x0) = 1,4 →f(x1) = 1,944→ f(x1).f(x1 + ∆.s) = 15,89925 > 0 Ta t½nh ti¸p x2 x2 = x1 − f(x1) f0(x1) = 1,18108 → f(x2) = 0,190795 →f(x2).f(x2 + ∆.s) = 0,0364 > 0 ... Cho ¸n khi t½nh ÷ñc: x4 = x3 − x3 f0(x3) = 1,154171557 → f(x4) = 4,32503.10−7 →f(x4).f(x4 + ∆.s) =−2,838878271.10−12 < 0
Vªy ta câ nghi»m: x = 1,15417±10−6.
Nh÷ng vîi ph¦n m·m Mathematica 5.2, ta ch¿ c¦n mð mët file mîi v lªp tr¼nh c¡c c¥u l»nh nh÷ sau:
- ¦u ti¶n l khai b¡o ph÷ìng tr¼nh theo có ph¡p f[x] = x3 + 3x−5. - Ti¸p theo l khai b¡o kho£ng ph¥n li nghi»m a, b = 1,2 v sai sè cho ph²p ∆ = 10−6.
- Sau â ta x¡c ành gi¡ trà x0 v s b¬ng c¡ch t½nh gi¡ trà cõa f(a).f00(a). N¸u f(a).f00(a) > 0 th¼ x = a, s = 1 v ng÷ñc l¤i th¼ x = b, s = −1.
- Cuèi còng ta dòng l»nh "For" y¶u c¦u m¡y t½nh thüc hi»n váng l°p t½nhx
theo cæng thùc l°p (2.14) vîi i·u ki»n l°p: N¸uf(x).f(x+ ∆.s) > 0 th¼ t½nh
∆x = −ff0((xx)) v xu§t k¸t qu£ cõa xn+1 = xn+ ∆x b¬ng l»nh ”P rint[x//N]”. V nh§n tê hñp ph½m ”Shif t+Enter” ta s³ ÷ñc k¸t qu£ nh÷ trong h¼nh 3.1
H¼nh 3.1: V½ dö 2.2 vîi ph¦n m·m Mathematica
V½ dö 3.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh:
f(x) =x+ ln(x+ 2)−2 = 0 (3.1) Nhí sü hé trñ cõa ph¦n Mathematica, ta câ thº d¹ d ng v³ ÷ñc ç thà cõa h m sè y = f(x) =x+ ln(x+ 2)−2 nh÷ h¼nh 3.2 ho°c v³ ç thà cõa 2 h m sè t¡ch ra l y = x−2 v ln(x+ 2) trong kho£ng (0,2) tr¶n còng mët h» tröc tåa ë nh÷ h¼nh 3.3 º t¼m giao iºm cõa 2 h m sè. Tø â ta thu hµp d¦n kho£ng ph¥n li nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
H¼nh 3.2: ç thà h m sèf(x) =x+ ln(x+ 2)−2vîi ph¦n m·m Mathematica
H¼nh 3.3: ç thà giao iºm cõa 2 h m sèy= 2−xv ln(x+ 2)
V vîi nhúng c¥u l»nh nh÷ tr¶n ta câ thº t¼m c¡c nghi»m x§p x¿ cõa v½ dö 3.1 mët c¡ch d¹ d ng nh÷ h¼nh 3.4.
H¼nh 3.4: V½ dö 3.1 vîi ph¦n m·m Mathematica
Trong v½ dö 2.5 th¼ ta th§y ph÷ìng tr¼nh kh¡ phùc t¤p v t½nh to¡n khâ kh«n v khâ tr¡nh khäi sai sât trong qu¡ tr¼nh t½nh to¡n. Do â, nhí sü hé trñ cõa ph¦n m·m Mathematica m ta câ thº tin t÷ðng v o c¡c gi¡ trà t½nh to¡n hìn.
H¼nh 3.5: V½ dö 2.5 vîi ph¦n m·m Mathematica
B¥y gií, ta x²t ti¸p nhúng b i to¡n phùc t¤p hìn m r§t khâ º câ thº t½nh to¡n thõ cæng.
V½ dö 3.2. Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton:
x.sinx+ ln3x.ex.cosx = 0 (3.2) Sû döng ph¦n m·m Mathematica, ta câ thº d¹ d ng v³ ÷ñc ç thà cõa
h m y = f(x) = x.sinx+ ln3x.ex.cosx trong kho£ng (1,3) nh÷ trong h¼nh 3.6.
H¼nh 3.6: ç thà h m sèf(x) =x.sinx+ ln3x.ex.cosxtrong o¤n [1,3]
Nh¼n v o ç thà, ta th§y ç thà ct tröc ho nh t¤i 1 iºm trong kho£ng
(1,3). Tuy nhi¶n, º ch½nh x¡c hìn ta thu hµp kho£ng ph¥n li nghi»m l
(2; 2,5) v c¦n t½nh gi¡ trà cõa h m sè t¤i c¡c iºm x = 2 v x= 2,5. Ta câ:
f(2) = 2,52904 > 0, f(2,5) = −6,0122. Do â ph÷ìng tr¼nh (3.2) câ mët nghi»m duy nh§t trong (2; 2,5).Tø â thæng qua ph¦n m·m Mathematica º câ thº t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhúng l»nh ìn gi£n nh÷ h¼nh 3.7 vîi sai sè ∆ = 10−5.
H¼nh 3.7: Gi£i ph÷ìng tr¼nhf(x) =x.sinx+ ln3x.ex.cosx
V½ dö 3.3. T¼m nghi»m ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton:
ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) + √ x
x2 + 2016 −2 = 0 (3.3) º t¼m kho£ng ph¥n li nghi»m, ta nhí Mathematica v³ ç thà h m sè
y = f(x) =ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) + √ x
x2+2016 −2 nh÷ trong h¼nh 3.8.
H¼nh 3.8: ç thà h m sèf(x) =ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) +√ x
x2+2016−2trong o¤n [0,2]
Nh¼n v o ç thà h¼nh (3.9), ta câ thº th§y ph÷ìng tr¼nh (3.3) câ nghi»m trong [0; 0,5]. Ta t½nh ÷ñc f(0) = −4 < 0, f(0,5) = 1,13059 > 0.Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t trong kho£ng (0; 0,5). Ti¸p theo ta s³ gi£i ph÷ìng tr¼nh n y b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton vîi sü hé trñ cõa ph¦n m·m Mathematica nh÷ h¼nh (3.9). V ta th§y ch¿ sau 2 b÷îc l°p ta ¢ câ nghi»m
H¼nh 3.9: Gi£i ph÷ìng tr¼nhf(x) =ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) +√ x
x2+2016−2
Vªy ta câ nghi»m: x= x2 ±∆ = 0,41192±10−5.
* Nhªn x²t: Tø nhúng k¸t qu£ nhªn ÷ñc ta th§y ph÷ìng ph¡p Newton hëi tö nhanh v nhí ph¦n m·m Mathematica ta câ thº d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh vîi sai sè cho ph²p mët c¡ch nhanh châng ch¿ trong v i gi¥y.
KT LUN
Luªn v«n ¢ tr¼nh b y ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau:
1. Tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc têng qu¡t v· lþ thuy¸t sai sè, c¡ch t¼m kho£ng ph¥n li nghi»m º gi£i ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0.
2. Tr¼nh b y ÷ñc c¡ch x¥y düng cæng thùc l°p, t½nh hëi tö v ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p Newton.
3. Tr¼nh b y sì l÷ñc v· ph¦n m·m Mathematica, çng thíi gi£i th½ch có ph¡p c¡c c¥u l»nh º gi£i mët ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph¦n m·m Mathematica vîi ph÷ìng ph¡p Newton.
4. Luªn v«n cho th§y ÷ñc sü húu ½ch khi ùng döng ph¦n m·m Mathe- matica v o thüc t¸ t½nh to¡n v °c bi»c l dòng º t¼m nghi»m g¦n óng cõa mët ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton.
· t i câ gi¡ trà v· m°t lþ thuy¸t, câ thº sû döng luªn v«n l m t i li»u tham kh£o cho c¡c èi t÷ñng quan t¥m ¸n v»c t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton
T i li»u tham kh£o
[1] Ph¤m Ký Anh. Gi£i t½ch sè. Nh xu§t b£n ¤i håc Quèc gia H Nëi. 1996.
[2] Nguy¹n Minh Ch÷ìng (Chõ bi¶n), Nguy¹n V«n Kh£i, Khu§t V«n Ninh, Nguy¹n V«n Tu§n, Nguy¹n T÷íng. Gi£i t½ch sè.Nh xu§t b£n Gi¡o döc H Nëi. 2001.
[3] Nguy¹n Húu iºn, Nguy¹n Minh Tu§n. LaTeX tra cùu v so¤n th£o. Nh xu§t b£n ¤i håc Quèc gia H Nëi . 2011.
[4] T¤ V«n ¾nh. Ph÷ìng ph¡p t½nh. Nh xu§t b£n Gi¡o döc Vi»t Nam. 2011.
[5] Do¢n Tam Háe. To¡n håc t½nh to¡n. Nh xu§t b£n Gi¡o Döc. 2008. [6] James J.Kelly. Essential Mathematica for Students of Science. 2006. [7] L¶ Trång Vinh. Gi£i t½ch sè. Nh xu§t b£n Khoa håc v Kÿ thuªt. 2000. [8] D÷ìng Thòy Vÿ. Gi¡o tr¼nh Ph÷ìng ph¡p t½nh. Nh xu§t b£n Khoa håc