PH×ÌNG TRNH BNG PH×ÌNG PHP NEWTON
Vi»c lªp tr¼nh vi t½nh º thüc hi»n mët thuªt sè s³ l m cho k½ch th÷îc v· thuªt to¡n cõa ng÷íi lªp th¶m ph¦n xu§t sc hìn. Tuy nhi¶n, º gi£i mët ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton thæng qua lªp tr¼nh m¡y t½nh v¨n cán xa l¤ vîi nhi·u sinh vi¶n. V¼ th¸ trong · t i n y, tæi nghi¶n cùu ùng döng ph¦n m·m Mathematica º t¼m nghi»m ch½nh x¡c v nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ç thà thæng qua c¡c gâi l»nh ¢ ÷ñc lªp tr¼nh.
Quay trð l¤i v½ dö 2.2: º t¼m nghi»m g¦n óng óng cõa ph÷ìng tr¼nh:
x3 + 3x−5 = 0
b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton vîi c¡ch t½nh thõ cæng thæng th÷íng ta l m nh÷ sau:
Sau khi bi¸t ÷ñc kho£ng ph¥n li nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l (1, 2). Trong kho£ng (1, 2) ta câ f00(x) = 6x > 0, f(1) = −1 < 0. Do â vîi ph÷ìng ph¡p Newton chån x0 = b = 2, s = −1 v t½nh to¡n theo cæng thùc l°p (2.14) vîi sai sè cho ph²p l ∆ = 10−6. Ta t½nh ÷ñc: x1 = x0 − f(x0) f0(x0) = 1,4 →f(x1) = 1,944→ f(x1).f(x1 + ∆.s) = 15,89925 > 0 Ta t½nh ti¸p x2 x2 = x1 − f(x1) f0(x1) = 1,18108 → f(x2) = 0,190795 →f(x2).f(x2 + ∆.s) = 0,0364 > 0 ... Cho ¸n khi t½nh ÷ñc: x4 = x3 − x3 f0(x3) = 1,154171557 → f(x4) = 4,32503.10−7 →f(x4).f(x4 + ∆.s) =−2,838878271.10−12 < 0
Vªy ta câ nghi»m: x = 1,15417±10−6.
Nh÷ng vîi ph¦n m·m Mathematica 5.2, ta ch¿ c¦n mð mët file mîi v lªp tr¼nh c¡c c¥u l»nh nh÷ sau:
- ¦u ti¶n l khai b¡o ph÷ìng tr¼nh theo có ph¡p f[x] = x3 + 3x−5. - Ti¸p theo l khai b¡o kho£ng ph¥n li nghi»m a, b = 1,2 v sai sè cho ph²p ∆ = 10−6.
- Sau â ta x¡c ành gi¡ trà x0 v s b¬ng c¡ch t½nh gi¡ trà cõa f(a).f00(a). N¸u f(a).f00(a) > 0 th¼ x = a, s = 1 v ng÷ñc l¤i th¼ x = b, s = −1.
- Cuèi còng ta dòng l»nh "For" y¶u c¦u m¡y t½nh thüc hi»n váng l°p t½nhx
theo cæng thùc l°p (2.14) vîi i·u ki»n l°p: N¸uf(x).f(x+ ∆.s) > 0 th¼ t½nh
∆x = −ff0((xx)) v xu§t k¸t qu£ cõa xn+1 = xn+ ∆x b¬ng l»nh ”P rint[x//N]”. V nh§n tê hñp ph½m ”Shif t+Enter” ta s³ ÷ñc k¸t qu£ nh÷ trong h¼nh 3.1
H¼nh 3.1: V½ dö 2.2 vîi ph¦n m·m Mathematica
V½ dö 3.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh:
f(x) =x+ ln(x+ 2)−2 = 0 (3.1) Nhí sü hé trñ cõa ph¦n Mathematica, ta câ thº d¹ d ng v³ ÷ñc ç thà cõa h m sè y = f(x) =x+ ln(x+ 2)−2 nh÷ h¼nh 3.2 ho°c v³ ç thà cõa 2 h m sè t¡ch ra l y = x−2 v ln(x+ 2) trong kho£ng (0,2) tr¶n còng mët h» tröc tåa ë nh÷ h¼nh 3.3 º t¼m giao iºm cõa 2 h m sè. Tø â ta thu hµp d¦n kho£ng ph¥n li nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
H¼nh 3.2: ç thà h m sèf(x) =x+ ln(x+ 2)−2vîi ph¦n m·m Mathematica
H¼nh 3.3: ç thà giao iºm cõa 2 h m sèy= 2−xv ln(x+ 2)
V vîi nhúng c¥u l»nh nh÷ tr¶n ta câ thº t¼m c¡c nghi»m x§p x¿ cõa v½ dö 3.1 mët c¡ch d¹ d ng nh÷ h¼nh 3.4.
H¼nh 3.4: V½ dö 3.1 vîi ph¦n m·m Mathematica
Trong v½ dö 2.5 th¼ ta th§y ph÷ìng tr¼nh kh¡ phùc t¤p v t½nh to¡n khâ kh«n v khâ tr¡nh khäi sai sât trong qu¡ tr¼nh t½nh to¡n. Do â, nhí sü hé trñ cõa ph¦n m·m Mathematica m ta câ thº tin t÷ðng v o c¡c gi¡ trà t½nh to¡n hìn.
H¼nh 3.5: V½ dö 2.5 vîi ph¦n m·m Mathematica
B¥y gií, ta x²t ti¸p nhúng b i to¡n phùc t¤p hìn m r§t khâ º câ thº t½nh to¡n thõ cæng.
V½ dö 3.2. Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton:
x.sinx+ ln3x.ex.cosx = 0 (3.2) Sû döng ph¦n m·m Mathematica, ta câ thº d¹ d ng v³ ÷ñc ç thà cõa
h m y = f(x) = x.sinx+ ln3x.ex.cosx trong kho£ng (1,3) nh÷ trong h¼nh 3.6.
H¼nh 3.6: ç thà h m sèf(x) =x.sinx+ ln3x.ex.cosxtrong o¤n [1,3]
Nh¼n v o ç thà, ta th§y ç thà ct tröc ho nh t¤i 1 iºm trong kho£ng
(1,3). Tuy nhi¶n, º ch½nh x¡c hìn ta thu hµp kho£ng ph¥n li nghi»m l
(2; 2,5) v c¦n t½nh gi¡ trà cõa h m sè t¤i c¡c iºm x = 2 v x= 2,5. Ta câ:
f(2) = 2,52904 > 0, f(2,5) = −6,0122. Do â ph÷ìng tr¼nh (3.2) câ mët nghi»m duy nh§t trong (2; 2,5).Tø â thæng qua ph¦n m·m Mathematica º câ thº t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhúng l»nh ìn gi£n nh÷ h¼nh 3.7 vîi sai sè ∆ = 10−5.
H¼nh 3.7: Gi£i ph÷ìng tr¼nhf(x) =x.sinx+ ln3x.ex.cosx
V½ dö 3.3. T¼m nghi»m ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton:
ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) + √ x
x2 + 2016 −2 = 0 (3.3) º t¼m kho£ng ph¥n li nghi»m, ta nhí Mathematica v³ ç thà h m sè
y = f(x) =ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) + √ x
x2+2016 −2 nh÷ trong h¼nh 3.8.
H¼nh 3.8: ç thà h m sèf(x) =ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) +√ x
x2+2016−2trong o¤n [0,2]
Nh¼n v o ç thà h¼nh (3.9), ta câ thº th§y ph÷ìng tr¼nh (3.3) câ nghi»m trong [0; 0,5]. Ta t½nh ÷ñc f(0) = −4 < 0, f(0,5) = 1,13059 > 0.Vªy ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t trong kho£ng (0; 0,5). Ti¸p theo ta s³ gi£i ph÷ìng tr¼nh n y b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton vîi sü hé trñ cõa ph¦n m·m Mathematica nh÷ h¼nh (3.9). V ta th§y ch¿ sau 2 b÷îc l°p ta ¢ câ nghi»m
H¼nh 3.9: Gi£i ph÷ìng tr¼nhf(x) =ex+ 2 sin(2x)−3 cos(3x) +√ x
x2+2016−2
Vªy ta câ nghi»m: x= x2 ±∆ = 0,41192±10−5.
* Nhªn x²t: Tø nhúng k¸t qu£ nhªn ÷ñc ta th§y ph÷ìng ph¡p Newton hëi tö nhanh v nhí ph¦n m·m Mathematica ta câ thº d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh vîi sai sè cho ph²p mët c¡ch nhanh châng ch¿ trong v i gi¥y.
KT LUN
Luªn v«n ¢ tr¼nh b y ÷ñc mët sè k¸t qu£ sau:
1. Tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc têng qu¡t v· lþ thuy¸t sai sè, c¡ch t¼m kho£ng ph¥n li nghi»m º gi£i ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0.
2. Tr¼nh b y ÷ñc c¡ch x¥y düng cæng thùc l°p, t½nh hëi tö v ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p Newton.
3. Tr¼nh b y sì l÷ñc v· ph¦n m·m Mathematica, çng thíi gi£i th½ch có ph¡p c¡c c¥u l»nh º gi£i mët ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph¦n m·m Mathematica vîi ph÷ìng ph¡p Newton.
4. Luªn v«n cho th§y ÷ñc sü húu ½ch khi ùng döng ph¦n m·m Mathe- matica v o thüc t¸ t½nh to¡n v °c bi»c l dòng º t¼m nghi»m g¦n óng cõa mët ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton.
· t i câ gi¡ trà v· m°t lþ thuy¸t, câ thº sû döng luªn v«n l m t i li»u tham kh£o cho c¡c èi t÷ñng quan t¥m ¸n v»c t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton
T i li»u tham kh£o
[1] Ph¤m Ký Anh. Gi£i t½ch sè. Nh xu§t b£n ¤i håc Quèc gia H Nëi. 1996.
[2] Nguy¹n Minh Ch÷ìng (Chõ bi¶n), Nguy¹n V«n Kh£i, Khu§t V«n Ninh, Nguy¹n V«n Tu§n, Nguy¹n T÷íng. Gi£i t½ch sè.Nh xu§t b£n Gi¡o döc H Nëi. 2001.
[3] Nguy¹n Húu iºn, Nguy¹n Minh Tu§n. LaTeX tra cùu v so¤n th£o. Nh xu§t b£n ¤i håc Quèc gia H Nëi . 2011.
[4] T¤ V«n ¾nh. Ph÷ìng ph¡p t½nh. Nh xu§t b£n Gi¡o döc Vi»t Nam. 2011.
[5] Do¢n Tam Háe. To¡n håc t½nh to¡n. Nh xu§t b£n Gi¡o Döc. 2008. [6] James J.Kelly. Essential Mathematica for Students of Science. 2006. [7] L¶ Trång Vinh. Gi£i t½ch sè. Nh xu§t b£n Khoa håc v Kÿ thuªt. 2000. [8] D÷ìng Thòy Vÿ. Gi¡o tr¼nh Ph÷ìng ph¡p t½nh. Nh xu§t b£n Khoa håc