BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU

4) Điều kiện bức: tồn tại một tập compắc K và y0 D sao cho

3.1. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU

Cho ,X Y là các không gian vectơ, Z là không gian vectơ tôpô, K  X,

D Y là các tập con khác rỗng và P Z là một nón nhọn lồi, đóng, xác định một thứ tự từng phần trên Z .

Cho hàm đa trị :F K D 2Z. Xét bài toán cân bằng vectơ đa trị: Tìm y D sao cho F x y( , )P với mọi x K . (3.1) Trước khi thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán trên chúng ta cần khái niệm tựa lồi chính thường đối với ánh xạ đa trị và khái niệm ánh xạ T KKM .

Cho K  X là một tập lồi và ánh xạ đa trị G K:  2Z. Khi ấy G được gọi là tựa lồi chính thường nếu với mỗi x y, K u, G x v( ), G y( )

và t[0,1] tồn tại z G tx (  (1 t y) ) sao cho z u hay z v.

Nhận xét 3.1

Khái niệm tựa lồi trên là một mở rộng đa trị đối với khái niệm tựa lồi chính thường của hàm đơn trị:

Một ánh xạ đơn trị :g K Z gọi là tựa lồi chính thường nếu với mỗi ,

x y K và t[0,1] luôn có

(f tx (1 t y) ) f x( ) hay (f tx (1 t y) )  f y( ).

Dễ thấy trong trường hợp Z  R P, [0;+ ) thì khái niệm tựa lồi chính thường và khái niệm tựa lồi là tương đương.

Bổ đề 3.1

Cho G K:  2Z là ánh xạ đa trị. Khi ấy G là tựa lồi chính thường nếu và chỉ nếu với mỗi tập hữu hạn x x1, 2,...,xn K z, i G x( ),i ti 0 ,

11, 2,..., , 1 1, 2,..., , 1 n i i i n t     , luôn tồn tại 1 ( ) n i i i z G t x    và một i

1, 2,...,n sao cho z  zi.

Chứng minh

Ta tiến hành chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp (chiều ngược lại là hiển nhiên).

Với n  2 kết luận là đúng hiển nhiên theo định nghĩa. Giả sử rằng kết luận đúng với n  m, ta phải chứng minh kết luận đúng với n m1.

Nếu 1 1 1 1 ,..., , 0, 1, ( ), m m i i i i i x x K t t z G x         i  1,...,m 1, ta viết 1 1 1 1 m m m m m m m m t t y x x t t t t         và 1 1 m i i i x  t x    .

Khi ấy x t x 1 1  ... tm1xm1 (tm tm1)y. Theo định nghĩa thì tồn tại z G y ( ) sao cho:

z  zm hoặc z  zm1. (3.2) Theo giả thiết quy nạp thì tồn tại zG x( ) sao cho z  zi với một i

nào đó, hay z  z . Nếu z  z , do (3.2) ta có z  zm hoặc z  zm1. Bổ đề được chứng minh. 

Cho K X là một tập lồi khác rỗng và các ánh xạ đa trị G,T K: 2Y. Khi ấy, G được gọi là ánh xạ T-KKM nếu với mỗi tập con hữu hạn

x , ,...,1 x2 xn K luôn có  1 2  1 ( , ,..., n ) n ( )i i T co x x x G x   . Bổ đề 3.2 (Shioji [15], 1991)

Cho X Y, là hai không gian vectơ tôpô, K  X là tập lồi compắc và các ánh xạ đa trị G T K, : 2Y thỏa mãn:

1) T là nửa liên tục trên và G là T KKM ;

2) Với mỗi x K T x ; ( ) là khác rỗng, lồi, compắc và G x( ) là tập đóng. Khi ấy: ( ) x K G x     .

Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (3.1) được thiết lập trong định lí sau.

Định lí 3.1 (Fu [10], 2000)

Cho X Y Z, , là các không gian vectơ tôpô, K  X là một tập lồi compắc, khác rỗng, D Y là một tập lồi, đóng, khác rỗng và P  Z

là một nón nhọn lồi đóng, xác định một thứ tự từng phần trên Z . Cho

: 2D

T K  là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với T x( ) là một tập lồi, compắc, khác rỗng với mọi x K và F K D:  2Z là một ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Với mỗi x K và y T x ( ) có F x y( , )P;

2) Với mỗi x K , tập y D F x y : ( , ) P là đóng; 3) Với mỗi y D , ánh xạ F(., )y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y D sao cho

F x y( , )  P, với mọi xK.

Chứng minh

Ta xét ánh xạ :G K 2D xác định bởi :

G x( ) y D F x y : ( , ) P  x K .

T  KKM . Giả sử trái lại rằng tồn tại x x1, 2,...,xn K và x   1, ,...,2 n co x x x thỏa mãn 1 ( ) ( ) n i i T x G x 

  . Khi ấy sẽ tồn tại y T x ( ) sao cho 1 ( ) n i i y G x 

 , nghĩa là ( , )F x yi  P, với mọi i 1, 2,...,n. Vậy với mỗi i tồn tại zi F x y( , )i sao cho

zi  P i, 1,...,n. (3.3) Do F(., )y là tựa lồi chính thường nên theo Bổ đề 3.1 tồn tại

( , )

z F x y P và một i1,...,n sao cho 0  z  zi. (3.4) Kết hợp (3.3) và (3.4) ta nhận được mâu thuẫn, nghĩa là G là T-KKM,

theo Bổ đề 3.2 ta có ( )

x K

G x



 

 , tức là tồn tại y D sao cho ( , )

F x y P, với mọi x K .

Định lí được chứng minh.  Từ Định lí 3.1 ta có hệ quả sau là dạng đa trị của Bất đẳng thức Ky Fan.

Hệ quả 3.1

Cho X Z K P, , , thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1 và ánh xạ đa trị F:

2Z

K K  sao cho :

1) Với mỗi x K , có F x x( , )P;

2) Với mỗi x K , tập y K F x y : ( , ) P là đóng; 3) Với mỗi y K , ánh xạ F(., )y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y K sao cho F x y( , )P, với mọi x K .

Trong Định lí 3.1, lấy X Y D K T,  ,  I (ánh xạ đồng nhất) ta có ngay điều cần chứng minh. 

Hơn nữa, nếu F là ánh xạ đơn trị thì từ Hệ quả 3.1 ta có dạng vectơ sau của Bất đẳng thức Ky Fan.

Hệ quả 3.2

Cho X Z K P, , , thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1, và ánh xạ đơn trị

:

f K K Z sao cho:

1) Với mọi x K , có f x x( , )  0;

2) Với mỗi x K , tập y K f x y : ( , )  0 là đóng; 3) Với mỗi y K , ánh xạ f(., )y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y K sao cho f x y( , )  0, với mọi x K .

Nhận xét 3.2

Trong trường hợp Z  R P,  ( ,0], f  g g K K, :  R sao cho:

1) Với mọi x K , có g x x( , ) 0 ;

2) Với mỗi x K , hàm g x( ,.) là nửa liên tục dưới; 3) Với mỗi y K , hàm g(., )y là tựa lõm;

theo Hệ quả 3.2 ta có y K với ( , ) 0g x y  với mọi x K , nghĩa là có Bất đẳng thức Ky Fan (vô hướng).