4) Điều kiện bức: tồn tại một tập compắc K và y0 D sao cho
3.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU
Cho ,X Y là hai không gian vectơ tôpô , tập lồi đóng D X , nón lồi đóng C Y với intC và hàm đa trị :F D D 2 ,Y F x y( , ) với mọi ,x y D . Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét ở đây là bài toán sau:
Tìm x D sao cho ( , )F x y intC với mọi y D , (3.5) trong đó F là một hàm đơn điệu.
Để đưa ra kết quả tồn tại nghiệm của Bài toán (3.5) ta cần một số khái niệm.
Hàm :G D D 2Y gọi là đơn điệu nếu
( , )G x y G y x( , ) C x y D, . Hàm :T D2Y gọi là C- lồi trên (C- lồi dưới) nếu T x( ) (1 ) ( )T y T x( (1 ) )y C
( (T x (1 ) )y T x( ) (1 ) ( )T y C, tương ứng). Hàm T được gọi là C- liên tục trên (C- liên tục dưới) tại x0D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại một lân cận U của x0 trong
X sao cho với mọi x U domT ta có T x( )T x( )0 V C
(T x( )0 T x( ) V C, tương ứng).
T được gọi là C- liên tục tại x0 nếu T vừa là C- liên tục trên vừa là
C- liên tục dưới tại x0 . T được gọi là C- liên tục trên (C- liên tục dưới,
C- liên tục) trên D nếu T là C- liên tục trên (C- liên tục dưới, C- liên tục, tương ứng ) tại mọi điểm thuộc D.
a) Nếu G là đơn trị thì khái niệm đơn điệu trên chính là khái niệm đơn điệu ( theo nón C) của hàm vectơ đơn trị (ở chương 2).
b) Nếu T là đơn trị thì khái niệm C- lồi trên và C- lồi dưới là trùng nhau khi ấy T được gọi là C- lồi (hay lồi theo C).
c) Nếu T là đơn trị thì tính C- liên tục trên và C- liên tục dưới là một và khi ấy T được gọi là C- liên tục ( hay liên tục theo C).
Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán (3.5) với F G H , trong đó G là một hàm vectơ đa trị và H là một hàm vectơ đơn trị ta có kết quả sau được phát biểu và chứng minh trong Tan-Minh [17] (2006).
Định lí 3.2
Cho X Y, là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D X là tập con lồi, đóng, khác rỗng, C Y là nón nhọn, lồi, đóng với intC và
: 2 ,Y :
G D D H D D Y là các hàm thỏa mãn các điều kiện sau: 1) 0G x x( , ) với mọi x D ;
2) G là đơn điệu và G x y( , ) là compắc với mọi x y D, ;
3) Với mỗi x y, D cố định, hàm g: 0,1 2Y được xác định bởi
( ) ( (1 ) , )
g t G ty t x y là (C)-liên tục trên tại t 0;
4) Với mỗi x D cố định, hàm G x( ,.) :D2Y là C- liên tục dưới và
C- lồi dưới;
5) H x x( , ) 0 với mọi x D ;
6) Với mỗi y D cố định, hàm H(., ) :y DY là (C)- liên tục trên; 7) Với mỗi x D cố định, hàm H x( ,.) :DY là C- lồi;
8) Tồn tại một tập lồi, compắc, khác rỗng K D sao cho với mỗi
\ D
x K core K có một a core K D thỏa mãn G x a( , )H x a( , ) C. Khi ấy tồn tại x K sao cho
G x y( , )H x y( , ) intC với mọi y D .
Nếu ngoài ra, C thỏa mãn điều kiện () thì tồn tại x K sao cho G x y( , ) H x y( , ) ( \ 0 )C y D.
Định lí 3.2 là một mở rộng đa trị của Định lí 2.6 (Chương 2) và được chứng minh dựa vào ý tưởng và kỹ thuật cơ bản của chứng minh Định lí 2.6. Chứng minh đầy đủ của Định lí 3.2 được trình bày trong [17]. Do khuôn khổ của luận văn, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những ý cơ bản của chứng minh định lí này.
Tương tự như chứng minh Định lí 2.6, Định lí 3.2 được chứng minh qua ba bổ đề dưới đây. Trong các bổ đề này ta luôn giả thiết các điều kiện từ 1) đến 8) của Định lí 3.2 được thỏa mãn.
Bổ đề 3.3
Tồn tại x K sao cho
( ( , )G y x H x y( , )) int C y K.
Chứng minh
Với mỗi y K , đặt
S y( )x K G y x : ( ( , )H x y( , )) int C .
Từ giả thiết 2) và 5) suy ra y S y ( ), nghĩa là ( ) 0S y với mọi y K . Do giả thiết 4) và 6) ta có ( )S y là đóng trong X . Lấy y i Ii : là một tập con hữu hạn bất kì của K (I là tập hữu hạn bất kì của tập các số tự
nhiên). Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.5 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có i : ( )i i I co y i I S y , nghĩa là ánh xạ :S K 2K là ánh xạ KKM. Do K là tập compắc nên theo Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra
( )
y K
S y
, nghĩa là có kết luận của Bổ đề 3.3.
Bổ đề 3.4 Nếu x K thỏa mãn ( ( , )G y x H x y( , )) int C , y K , (3.6a) thì G x y( , )H x y( , ) int ,C y K. (3.6b) Chứng minh
Lấy x K sao cho
( ( , )G y x H x y( , )) int C , y K . Với y K bất kì, cố định, đặt
xt ty (1 t x) , t[0,1]. Do xt K với mọi t[0,1] nên
( ( , )G x xt H x x( , )) intt C .
Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có
(1t H x y) ( , )G x y( , )t intC với t 0. (3.7) Do tính liên tục của hàm G x y( , )t theo t tại t 0 (Giả thiết 3)), từ (3.7) ta được
( , )H x y G x y( , ) intC.
Lưu ý là Bổ đề 3.4 ở trên chỉ khẳng định Điều kiện (3.6a) suy ra Điều kiện (3.6b), trong khi đó ở trường hợp đơn trị, Bổ đề 2.6 chỉ ra sự tương đương giữa hai điều kiện tương ứng (Điều kiện 1) và 2) của bổ đề này). Bằng lập luận tương tự như chứng minh Bổ đề 2.7, ta có kết quả sau.
Bổ đề 3.5
Nếu :D2Y là C- lồi dưới và có các tính chất: 1) Tồn tại x0core KD với ( )x0 C; 2) ( )y intC y K,
thì
( )y intC y D.
Chứng minh Định lí 3.2
Theo Bổ đề 3.3 tồn tại x K sao cho
( ( , )G y x H x y( , )) int C y K. Theo Bổ đề 3.4 thì
( , )G x y H x y( , ) int ,C y K. Đặt
( ) y G x y( , )H x y( , ), y D .
Áp dụng Bổ đề 3.5 đối với hàm : D2Y và sử dụng lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có kết luận của Định lí 3.2.
Trong trường hợp H 0, Định lí 3.2 cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu. Kết quả này được phát biểu thành định lí dưới đây.
Cho các không gian X Y, , tập D, nón C và hàm G như ở Định lí 3.2 sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
1) 0G x x( , ) với mọi x D ;
2) G là đơn điệu và G x y( , ) là compắc với mọi x y D, ;
3) Với x y D, bất kì, cố định, hàm g:[0,1]2Yđược định nghĩa bởi
( ) ( (1 ) , )
g t G ty t x y là (C)- liên tục trên tại t 0;
4) Với mỗi x D cố định, hàm G x( ,.) :D2Y là C- lồi dưới và C- liên tục dưới;
5) Điều kiện bức: Tồn tại tập lồi, compắc, khác rỗng K D sao cho với mỗi x K core K \ D có một a core K D thỏa mãn
G x a( , ) ( C). Khi ấy tồn tại x K sao cho Khi ấy tồn tại x K sao cho
( , ) int ,
G x y C y D.
Nếu ngoài ra, nón C thỏa mãn Điều kiện () thì tồn tại x K sao cho G x y( , ) ( \ 0 ),C y D.
Nhận xét 3.3
1) Nếu G là hàm đơn trị thì từ Định lí 3.2 ta nhận được điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ đơn trị (2.17) với F có dạng (2.18). Trong trường hợp Y R C, R, điều kiện đủ này là kết quả của Blum- Oettli [3] cho bài toán cân bằng vô hướng.
2) Nếu G là đơn trị thì từ Định lí 3.3 ta nhận được một kết quả về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ đơn trị đơn điệu (được xét ở Chương 2) .
Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn điệu bằng cách dùng Nguyên lí ánh xạ KKM, ngoài cách tiếp cận trực tiếp như ở một số kết quả nghiên cứu được trình bày ở chương này và chương trước, chúng tôi muốn lưu ý đến một cách tiếp cận gián tiếp là chuyển bài toán vectơ về bài toán vô hướng. Cách tiếp cận này được Oettli [14] đưa ra năm 1997 với một số kết quả ở bài toán vectơ đơn trị và với một số gợi ý nghiên cứu đối với bài toán vectơ đa trị. Ở đây, chúng tôi không đi sâu vào cách tiếp cận này.
KẾT LUẬN
Luận văn này trình bày một số điểm cơ bản về Nguyên lí ánh xạ KKM ở không gian vectơ tôpô trong liên quan với một số thành tựu quan trọng của giải tích phi tuyến là Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM và Bất đẳng thức Ky Fan (Chương 1).
Luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM ở các trường hợp có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu (Chương 2).
Một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị ở các trường hợp đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu cũng được đề cập trong luận văn (Chương 3).
Các kết quả nghiên cứu trình bày trong luận văn về bài toán cân bằng vectơ được tập hợp từ một số bài báo công bố trong khoảng mười năm gần đây. Các kết quả này được lựa chọn và trình bày theo cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM và dựa vào ý tưởng cũng như kĩ thuật cơ bản ở bài toán cân bằng vô hướng. Luận văn là một bổ xung vào tài liệu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với cách tiếp cận này.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong được các thày, cô giáo và bạn đọc chỉ giáo.