Định lý Schur

Giả sử G là một nhóm sao cho G/Z(G) là nhóm hữu hạn, khi đó G’ là nhóm hữu hạn.

Chứ ng minh:

Đặt A = Z(G), giả sử |𝐺/𝐴| = 𝑛.

Cho X = { x1, x2, ..., xn } là mô ̣t transversal của A trong G và cho τ là transfer từ G vào A. Nếu g ∈ G, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) k . l ... m k k n m n m g x g x x g x x g x            Nhưng 1 1 1 k

x g x A và A là tâm của G. Vì vâ ̣y

  1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k x g x x x g x x g Tương tự, 1 1 1 l 1 l,..., 1 m 1 m k k n m n m x g x  g x g x  g

Do đó, với mỗi g ∈ G, τ(g) = gn.

Chú ý rằng ta ̣o ảnh của G dưới τ là mô ̣t nhóm con của A và do đó là aben. Theo ( Chương I, Định lý 1.1.4.7 ), G / K là aben, ở đây K = ker τ.

Nhưng theo ( Chương I, Đi ̣nh lý 1.1.4.8 ) , điều này nghĩa là K ⊇ G’.

Bây giờ khi G / A hữu ha ̣n, thì G’A / A hữu ha ̣n. Do G’A / A ≅ G’ / G’ ∩ A theo ( Chương I, Đi ̣nh lý 1.1.4.9 ) nên G’ / G’ ∩ A cũng hữu ha ̣n.

SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 31

Vì G’ / G’ ∩ A hữu ha ̣n, nên G’ sẽ hữu ha ̣n nếu G’ ∩ A hữu ha ̣n.

Vì τ(g) = gn vớ i mo ̣i g ∈ G, nên mọi phần tử của ha ̣t nhân có cấp hữu ha ̣n. Do đó các phần tử của G’ ∩ A có cấp hữu ha ̣n. Ta sẽ chứng minh G’ ∩ A hữu ha ̣n sinh. Giả sử G’ ∩ A hữu ha ̣n sinh. Suy ra G’ ∩ A hữu ha ̣n. Do đó G’ hữu ha ̣n. Điều này hoàn thành chứng minh đi ̣nh lí Schur nhưng với điều kiê ̣n G’ ∩ A hữu ha ̣n sinh. Nếu g , h ∈ G, thì g = axi và h = bxj , vớ i a , b ∈ A, xi , xj∈ X.

Vì A là tâm của G nên ta có

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

i j i j i j i j i j i j

g h gh  x a x b ax bx    x x x x a ab b    x x x x 

Tứ c là có nhiều nhất n2 hoán tử phân biê ̣t trong G. Do đó G’ hữu ha ̣n sinh vì nó được sinh bởi những hoán tử.

Cuối cùng G’ ∩ A là hữu ha ̣n sinh vì cấp của nó hữu ha ̣n trong mô ̣t nhóm hữu ha ̣n sinh.

Điều này hoàn tất viê ̣c chứng minh Đi ̣nh lý Schur.