2.4.1 Định lý [4]: Nếu G là một nhóm hữu hạn sinh sao cho G’ là hữu hạn thì G/Z(G) là hữu hạn.
2.4.2 Định lý [5]: Cho G là một nhóm tùy ý sao cho d(G/Z(G)) và G’ là hữu hạn, khi đó |𝐺/𝑍(𝐺)| ≤ |𝐺′|d(G/Z(G)), trong đó d(X) là số phần tử sinh nhỏ nhất của nhóm X.
Chứng minh:
Cho G/Z(G) = < 𝑥1, … , 𝑥𝑡 >, trong đó 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖Z(G), ∀ 𝑖 = 1, 𝑡
Ta định nghĩa f: G/Z(G) → 𝐺′× … × 𝐺′ (t lần)
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 32 Do [ 𝑦𝑧, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ]z [ 𝑧, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ] với y ∈ 𝐺, 𝑧 ∈ 𝑍(𝐺) 𝑣à ∀ 𝑖 = 1, 𝑡 Vì vậy f được xác định đúng đắn. Ta chứng minh f là 1 đơn ánh. Cho f( 𝑦 ) = f( 𝑥 ) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺/𝑍(𝐺). Ta có [ 𝑦, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑥, 𝑥𝑖 ] ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡và theo ( Chương I, Bổ đề 1.2.1.6 ) [ 𝑦𝑥−1, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ]𝑥−1[ 𝑥−1, 𝑥𝑖 ] = [ 𝑦, 𝑥𝑖 ]𝑥−1[ 𝑥𝑖, 𝑥 ]𝑥 −1 = ( [ 𝑦, 𝑥𝑖 ][ 𝑥𝑖, 𝑥 ] )𝑥−1 = ( [ 𝑦, 𝑥𝑖 ][ 𝑥, 𝑥𝑖 ]−1 )𝑥−1 = 1
Do G sinh bởi xi (1≤ 𝑖 ≤ 𝑡) mod Z(G) và 𝑥𝑖 nằm trong tâm của yx-1, ta có yx-1 ∈ 𝑍(𝐺). Vậy 𝑦 = 𝑥 , do đó f là một đơn ánh.
Suy ra: |𝐺/𝑍(𝐺)| ≤ |𝐺′|d(G/Z(G)).
Áp dụng định lý 2.4.2 ta sẽ chứng minh được định lý 2.4.1
2.4.3 Hệ quả: Cho G là một nhóm lũy linh sao cho d(G/Z(G)) và G’ là hữu hạn, khi đó |𝐺/𝑍(𝐺)| chia hết |𝐺′|𝑑 (𝐺/𝑧(𝐺)
Chứng minh:
Do 𝐺/𝑍(𝐺) là hữu hạn theo ( Chương II, Định lý 2.4.2 ) nên ta có
𝐺/𝑍(𝐺) = 𝑃1/𝑍(𝐺) ×…× 𝑃𝑡/𝑍(𝐺), trong đó 𝑃𝑖/𝑍(𝐺)(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡) là một
pi - nhóm con Sylow của 𝐺/𝑍(𝐺).
Định lý 2.4.2 áp dụng với Pi cho ta |𝑃𝑖/𝑍(𝑃𝑖)| ≤ |𝑃′𝑖|𝑑(𝑃𝑖/𝑍(𝑃𝑖)), điều này nghĩa là
|𝑃𝑖/𝑍(𝑃𝑖)| chia hết |𝑃′𝑖|𝑑(𝑃𝑖/𝑍(𝑃𝑖))(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡).
Do Z(Pi) = Z(G) ∩ Pi(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡), do đó ta có d(Pi/Z(Pi)) ≤ d(G/Z(G)).
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 33 |𝐺/𝑍(𝐺)| chia hết ∏𝑡 |𝑃′𝑖|𝑑(𝐺/𝑍(𝐺))
𝑖=1 = |∏𝑡𝑖=1𝑃′𝑖|𝑑(𝐺/𝑍(𝐺)) = |𝐺′|𝑑(𝐺/𝑍(𝐺)).
2.4.4 Định lý [7]: Cho G là một nhóm mà trong đó tập S các giao hoán tử của nó là hữu hạn. Khi đó [G,G] là hữu hạn. Hơn nữa, nếu G/Z(G) được sinh bởi r phần tử thì
/ ( ) r
G Z G S .
Chứng minh:
Cho S = { [ xi, yi ] | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑 }
Xét nhóm con hữu hạn sinh H = { x1, y1,…, xd, yd } của G
Ta có S = { [ xi, yi ] | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑 } và xi, yi(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑) đều thuộc vào H. Do đó S còn là tập các hoán tử của H.
Cho H/Z(H) được sinh bởi ảnh của g1, g2,…, gr∈ 𝐻
Ta có thể giả sử r ≤ 2𝑑 nhưng ở đây nó không cần thiết.
Chú ý rằng g ∈ Z(H) nếu và chỉ nếu g giao hoán với g1, g2,…, gr.
Thật vậy:
+ g ∈ Z(H) thì ta có ngay được g giao hoán với g1, g2,…, gr.
+ g giao hoán với g1, g2,…, gr ta phải chứng minh g ∈ Z(H), tức là phải chứng minh gg’ = g’g với mọi g’ ∈ Z(H).
Xét ánh xạ:
𝜑: 𝐻 → 𝐻/𝑍(𝐻)
g ↦ 𝜑(𝑔) = 𝑔𝑍(𝐻)
Ta đã có H/Z(H) được sinh bởi ảnh của g1, g2,…, gr∈ 𝐻
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 34 Ta có: 𝜑(gg’) =𝜑(𝑔) 𝜑(g’) = 𝜑(𝑔) ∏𝑟𝑖=1𝑎i𝜑(𝑔i) = ∏𝑟𝑖=1𝑎i𝜑(𝑔)𝜑(gi) = ∏𝑟𝑖=1𝑎i𝜑(𝑔gi) = ∏𝑟𝑖=1𝑎i𝜑(gig) = ∏𝑟𝑖=1𝑎i𝜑(gi) 𝜑(g) =(∏𝑟𝑖=1𝑎i𝜑(gi) ) 𝜑(g) =𝜑(g’) 𝜑(g) = 𝜑(g’g)
Suy ra gg’=g’g với mọi g’ ∈ H. Do đó g ∈ Z(H).
Tóm lại g ∈ Z (H) nếu và chỉ nếu g giao hoán với g1, g2,…, gr . Nghĩa là Z(H) = ⋂𝑟𝑖=1𝐶H(gi).
Xét lớp liên hợp cl(gi) trong H với mỗi gi ( i ≤ r ).
Với mỗi g ∈ H ,tồn tại s ∈ S sao cho ggig-1 = sgi. Xét tương ứng ∅ : cl(gi) → Sgi
ggig-1↦ sgi
Rõ ràng, do mỗi ggig-1∈ cl(gi) tồn tại s ∈ S sao cho ∅ (ggig-1) = sgi nên ∅ là một ánh xạ.
Vì thế |𝑐𝑙(gi)|≤ |𝑆|
SVTH: Lương Thị Hường – Lớp: 09ST Trang 35
Từ đó, ta có : |𝐻/𝑍(𝐻)| = [ H: ⋂𝑟𝑖=1𝐶H(gi) ] ≤ ∏𝑟𝑖=1[ H: CH(gi)] ≤ |𝑆|r
Ta có H là một nhóm mà H/Z(H) là hữu hạn .
Do đó theo như Định lý Schur thì [ H, H ] là hữu hạn.
Mặt khác [ G, G ] = < S > ≤ [ H, H ] điều này chỉ ra rằng [ G, G ] là hữu hạn.
Lập luận trên chỉ ra rằng |𝐻/𝑍(𝐻)| ≤|𝑆|r , S là tập các hoán tử của H là hữu hạn , và H/Z(H) được sinh ra bởi r phần tử .
Do đó, áp dụng điều này cho G, ta được |𝐺/𝑍(𝐺)| ≤ |𝑆|r trong đó G/Z(G) được sinh ra bởi r phần tử.
2.4.5 Định lý [11]: Cho G là một nhóm bất kỳ sao cho Z2(G)/Z(G) hữu hạn sinh và nhóm [ G, G ] hữu hạn. Khi đó G/Z(G) là hữu hạn.
Chứng minh: Vì [ G, G ] hữu hạn, nên theo ( Chương I, Định lý 1.3.3.5 ), G/Z2(G) hữu hạn. Do Z2(G)/Z(G) hữu hạn sinh, nên G/Z(G) hữu hạn sinh, và Định lý được chứng minh bởi Định lý 2.4.4.