B. N ỘI DUNG
3.3 Hàm Lagrange của điện tích trong trường điện từ
Để tìm hàm Lagrange trong trường điện từ ta phải tìm các tác dụng điện tích trong trường. Tác dụng S của hạt bao gồm tác dụng S0 của hạt tự do với tác dụng S1 mô tả tương tác của hạt với trường ngoài:
S = S0 + S1 (III.16)
Đầu tiên, ta đi tìm Lagrange của một hạt tự do (là hạt không chịu một lực nào tác dụng lên nó). Xuất phát từ nguyên lý Hamilton, đối với mỗi cơ hệ tồn tại một tích phân S gọi là hàm tác dụng. Hàm này có giá trị cực trịđối với chuyển động thực của hệ, nghĩa là S = 0.
Trong cơ học Newton ta thừa nhận nguyên lý tác dụng cực tiểu thì chuyển động của một hạt là tích phân tác dụng của hạt
S0 = c L (q, q, t)dt
(III.17) có giá trị cực tiểu. Hàm L dưới dấu tích phân gọi là hàm Lagrange của hạt . Điều
kiện cực tiểu của S0 dẫn đến phương trình Lagrange là:
** RgR - RRg = 0 (III.18)
( Bạn đọc xem cách thiết lập phương trình (III.18) trong cơ lý thuyết “ phương trình Lagrange loại 2”)
Bây giờ ta tìm hàm Lagrange của hạt tự do tương đối tính. Chuyển động của hạt tự
do được đặc trưng bởi một vector vận tốc 4 chiều uα và một vector bán kính 4 chiều dxα. Tích của hai vector 4 chiều này là một bất biến. Mặt khác hàm Lagrange
SVTH: Nguyễn Thị Mi Sa Trang 35 phải có dạng sao cho tác dụng S0 là đại lượng bất biến đổi với phép biến đổi Lorentz. Để thỏa mãn những điều kiện trên thì ta có thể giả thiết S0 có dạng:
S0 = α c u HdxH = αc c dt % = αc c 1 − dt
(III.19)
ởđây dt0 là vi phân thời gian riêng của hạt dt0 = *&
= 1 − dt
trong đó tích phân lấy dọc theo đường thế giới trong không gian 4 chiều giữa hai biến cố a và b, tức là giữa hai vị trí đầu và vị trí cuối của hạt tại thời điểm tương
ứng t1 và t2, α là hằng số nào đó đặc trưng cho hạt đang xét.
So sánh vế phải của (III.17) và (III.19) ta nhận được hàm Lagrange của hạt tự do :
L = αc 1 − (III.20) Xác định hằng số α nhờ nguyên lý tướng ứng. Cụ thể là khi v << c thì hàm Lagrange của hạt tự do trong cơ học tương đối tính chuyển thành hàm Lagrange của hạt tự do trong cơ học cổđiển phi tương đối tính L =
mv2 . Khi v << c thì (5) trở thành L = αc( 1 − ) = −m%c + P& Ta rút ra R R(() = R(()R (−m%c + P& ) = R R(() (P& ) = P&(() = m0v() = p() (III.21) với p() là xung lượng tương đối tính của hạt tự do.
Vậy hàm Lagrange bây giờđược viết lại là: L = −m%c 1 − (III.22) Do đó, ta có thể viết tác dụng S0 = −m%cc 1 − dt
SVTH: Nguyễn Thị Mi Sa Trang 36 Tiếp theo ta tìm phần tác dụng S1 của hạt. Để mô tả tương tác giữa trường và hạt thì số hạng thứ hai này phải bao gồm đại lượng đặc trưng cho hạt (điện tích e) và
đại lượng đặc trưng cho trường. Ta nhận thấy đểđặc trưng cho trường người ta hay dùng các vector E((), B ((()nhưng trong trường hợp này để tiện lợi ta nên dùng một vector 4 chiều để đặc trưng cho trường gọi là thế 4 chiều. Tương tự như hàm tác dụng S0 thì hàm tác dụng S1 cũng phải thỏa mãn điều kiện chứa vận tốc 4 chiều của hạt đồng thời phải bất biến tương đối tính. Từđó ta có thể viết S1 dưới dạng sau: S1 = c eu HAHdt0 (III.24) Trong đó (1) (2) là hai điểm trên đường thế giới, e là điện tích bất kỳ hay điện thích nguyên tố e. Ta có AH = (A ((() , A4) , uH = ( (() , F ) , dt0 = *
thay vào (III.24) ta được :
S1 = c ( ev()
A(() + iecA4 )dt (III.25) Ta thay (III.23) , (III.25) vào (III.16) ta được:
S = −m%c c 1 − dt
+ c ( ev()
A(() + iecA4 ) dt (III.26) trong đó: v() = *()
* là tốc độ của điện tích.
Biểu thức dưới dấu tích phân chính là hàm Lagrange của điện tích trong trường
điện từ:
SVTH: Nguyễn Thị Mi Sa Trang 37