Phương trình chuyển động của điện tích trong trường điện từ

B. N ỘI DUNG

3.4 Phương trình chuyển động của điện tích trong trường điện từ

Muốn tìm phương trình chuyển động của điện tích trong trường điện từ ta viết lại phương trình (III.18) dưới dạng:

*

* R” R(() - R”

R() = 0 (III.28) Lấy đạo hàm L theo v() ta được xung lượng tổng quát của hạt

™() = R” R(() =

P&(()

+ eA(() = p() + eA(() (III.29) Biết hàm Lagrange ta có thể tìm được hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ

theo công thức:

ℋ(() = R”

R(() v() – L = P&

+ eA(()

và ta cũng tính được lực suy rộng tác dụng lên điện tích :

R”

R() = e∇(v()A(() ) + iec(∇AJ) (III.30)

ởđây coi v(() = const nên áp dụng toán tử HamiLton trong phép tính vector ta có: ∇(v()A(() ) = (v()∇)A(() + ›v() rot A(()œ

thay vào (III.30) ta được: R”

R() = e(v()∇)A(() + e›v() rot A(()œ + iec(∇AJ) (III.31) Vì A(() là hàm tọa độ và thời gian nên

*K(() * = RK(() R + RK(() R R() R + RK(() R, R, R + RK(() R- R- R

SVTH: Nguyễn Thị Mi Sa Trang 38 → *K(() * = RK(() R + ( R R R R + R, R R R, + R- R R R- ) A(() → *K(() * = RK(()R + (v()∇)A(() Từđó rút ra: * * R” R(() = *V(() * + e *K(() * = *V(()

* + e  ∂A∂t((() + (v()∇)A(() ž (III.32) Thế (III.31), (III.32) vào (III.28) ta được:

*V(()

* + e  ∂A∂t((() + (v()∇)A(() ž = e (v()∇)A(() + e›v() rot A(()œ + iec(∇AJ)

→ *V(()

* + e RK(()

R = e›v() rot A(()œ + iec(∇AJ)

→ *V(()

* = e Ÿ ic∇AJ − ∂A∂t((()   + e›v() rot A(()œ thay A4 = F

φ vào ta rút ra phương trình chuyển động của điện tích: *V(()

* = - e Ÿ gradφ + ∂A∂t((()   + e›v() rot A(()œ (III.33) Vì vế trái của (III.33) là đạo hàm xung lượng theo thời gian nên vế phải được coi

như là lực điện từ tác dụng lên điện tích.

Thực nghiệm cho thấy lực điện từ tác dụng lên điện tích e được xác định bằng biểu thức:

F() = e[ E(() + v()∧B(() ] (III.34) So sánh vế phải của (III.33) với (III.34) ta có thể rút ra:

SVTH: Nguyễn Thị Mi Sa Trang 39 E(() = − gradφ − ∂A∂t((() (III.35) B(() = rot A(() (III.36) Trong đó: A(() gọi là thế vector và φ gọi là thế vô hướng của trường điện từ.