2.1. CƠ SỞ TOÁN HỌC
2.1.3. Vành số Zn
Vành số 𝑍𝑛 là tập các số nguyên dương: 𝑍𝑛 = {0, 1, … , 𝑛 − 1}, các phép cộng và nhân trong 𝑍𝑛 được thực hiện theo modulo n.
* Phần tử nghịch đảo: Cho 𝑎 ∈ 𝑍𝑛
- Phần tử 𝑏 ∈ 𝑍𝑛được gọi là nghịch đảo của 𝑎 đối với phép cộng nếu: (𝑎 + 𝑏) 𝑚𝑜𝑑 𝑛 = 0
- Phần tử 𝑏 ∈ 𝑍𝑛được gọi là nghịch đảo của 𝑎 đối với phép nhân nếu: (𝑎 ∗ 𝑏) 𝑚𝑜𝑑 𝑛 = 1
phần tử nghịch đảo của 𝑎 đối với phép nhân được ký hiệu là 𝑎−1. * Phép chia 𝑎
𝑏𝑚𝑜𝑑 𝑛 = 𝑎. 𝑏−1𝑚𝑜𝑑𝑛 được xác định khi 𝑏 là phần tử khả nghịch. * Cho 𝑎 ∈ 𝑍𝑛, khi đó 𝑎 là phần tử khả nghịch (∃𝑎−1 ∈ 𝑍𝑛) nếu và chỉ nếu:
(𝑎, 𝑛) = 1 (2.2)
Nhóm nhân 𝒁𝒏∗ trên vành 𝒁𝒏
* Nhóm nhân của 𝑍𝑛 là 𝑍𝑛∗ = {𝑎 ∈ 𝑍𝑛|(𝑎, 𝑛) = 1}, trong trường hợp 𝑛 là số nguyên tố thì 𝑍𝑛∗ = {1,2, … 𝑛 − 1}, hay 𝑍𝑛∗ = 𝑍𝑛/{0}. Hay: tập các số 𝑎𝑖 ∈ [1, 𝑛 − 1] nguyên tố cung nhau với 𝑛.
* Cấp của 𝑍𝑛∗ là tổng số phần tử trong 𝑍𝑛∗ (được ký hiệu là |𝑍𝑛∗|). Theo định nghĩa của hàm Phi – Euler ta có |𝑍𝑛∗| = 𝜑(𝑛).
* Cho 𝑎 ∈ 𝑍𝑛∗, cấp của 𝑎 (ký hiệu là 𝑜𝑟𝑑(𝑎)) là số nguyên dương nhỏ nhất 𝑡 sao cho 𝑎𝑡 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑛.
* Nếu 𝑎 ∈ 𝑍𝑛∗ thì 𝑎𝜑(𝑛) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑛
* Cho 𝑎 ∈ 𝑍𝑛∗, nếu 𝑜𝑟𝑑(𝑎) = 𝜑(𝑛) thì 𝑎 là phần tử nguyên thủy của 𝑍𝑛∗.
Một số tính chất của phần tử nguyên thủy:
Nếu 𝑎 là nguyên thủy thì: 𝑍𝑛∗ = {𝑎𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛|𝑖 = 1,2, . . , 𝜑(𝑛)} và đây là một nhóm cyclic.
30
Nếu 𝑎 là một phần nguyên thủy của 𝑍𝑛∗ thì khi đó 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑛 cũng là phần tử nguyên thủy nếu (𝑖, 𝜑(𝑛)) = 1. Từ đó ta có số phần nguyên thủy của 𝑍𝑛∗ là 𝜑(𝜑(𝑛)).