Vành đa thức

2.1. CƠ SỞ TOÁN HỌC

2.1.4. Vành đa thức

Định nghĩa 2.1: Vành đa thức (ký hiệu là 𝑅[𝑥]) là một vành được tạo bởi tập tất cả các đa thức của biến 𝑥 có các hệ số trong 𝑅. Hai phép toán là phép cộng và phép nhân đa thức tính theo modulo (𝑥𝑛+ 1).

Một đa thức 𝑎(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] trong vành có dạng sau:

𝑎(𝑥) = 𝑎0𝑥0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 = ∑𝑛−1𝑎𝑖𝑥𝑖

𝑖=0 , (𝑎𝑖 ∈ 𝑅) (2.3) Trong trường hợp các hệ số 𝑎𝑖nằm trong trường nhị phân 𝐺𝐹(2) (𝑎𝑖 ∈ {0,1}) thì vành đa thức được ký hiệu 𝑍2[𝑥]/(𝑥𝑛+ 1).

Xét vành đa thức 𝑍2[𝑥]/(𝑥𝑛+ 1), khi đó phép cộng và nhân đa thức trên vành được thực hiện như sau:

Xét hai đa thức 𝑎(𝑥) = ∑𝑛−1𝑎𝑖𝑥𝑖

𝑖=0 và 𝑏(𝑥) = ∑𝑛−1𝑏𝑖𝑥𝑖

𝑖=0 , với 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 ∈ {0,1} + Phép cộng hai đa thức:

Đa thức 𝑐(𝑥) là tổng của hai đa thức này và được tính như sau:

𝑐(𝑥) = 𝑎(𝑥) + 𝑏(𝑥) = ∑𝑛−1𝑖=0 𝑐𝑖𝑥𝑖 (2.4) Trong đó: 𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖.

Ở đây phép cộng các hệ số 𝑎𝑖 và 𝑏𝑖 được thực hiện trên trường 𝐺𝐹(2). + Phép nhân hai đa thức:

Gọi 𝑐(𝑥) là tích của hai đa thức này, 𝑐(𝑥) được tính như sau:

𝑐(𝑥) = 𝑎(𝑥)𝑏(𝑥) = (∑𝑛−1𝑖=1 𝑎𝑖𝑥𝑖)(∑𝑛−1𝑖=1 𝑏𝑖𝑥𝑖) 𝑚𝑜𝑑 (𝑥𝑛+ 1) (2.5)

Ví dụ 1.1: Xét 𝑍2[𝑥] /(𝑥5+ 1) với 2 đa thức:

31

Chú ý: (0,2,3) và (0,1,2) là dạng biểu diễn theo số mũ của 𝑎(𝑥) và 𝑏(𝑥), (với (0) ↔ 𝑥0 = 1; (1) ↔ 𝑥1 = 𝑥; (2) ↔ 𝑥2, … Khi đó tích của 2 đa thức này được tính như sau:

𝑎(𝑥)𝑏(𝑥) = (1 + 𝑥2+ 𝑥3)(1 + 𝑥 + 𝑥2) = 1 + 𝑥 + 𝑥2+ 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥3+ 𝑥4+ 𝑥0 = 𝑥

Chú ý: Phép cộng theo mod 2, do đó 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 = 0, ∀𝑖 ; và do số mũ lấy mod theo (𝑥5+ 1) nên 𝑥5 = 𝑥0 = 1.

Thực hiện phép nhân theo biểu diễn số mũ như sau:

Bảng 2.1.Phép nhân đa thức tính theo số mũ

Bước 1 Bước 2

+ 𝑎(𝑥) = 0, 2, 3 + 𝑎(𝑥) = 0, 2, 3

𝑏(𝑥) = 0, 1, 2 𝑏(𝑥) = 0, 1, 2 Làm lần lượt như phép

nhân 2 số thập phân nhưng thay bằng phép cộng 0, 2, 3 Gạch các cặp số giống nhau 0, 2, 3 1, 3, 4 1, 3, 4 2, 4, 0 2, 4, 0 1 Kết quả: 𝑎(𝑥)𝑏(𝑥) = (𝟏) ↔ 𝑥 Một số khái niệm:

- Bậc của đa thức: Xét đa thức 𝑎(𝑥) ∈ 𝑍2[𝑥]/(𝑥𝑛+ 1) có biểu diễn như (2.3), khi đó bậc của 𝑎(𝑥) được định nghĩa là số mũ lớn nhất của 𝑥 trong 𝑎(𝑥):

deg(𝑎(𝑥)) = max 𝑖|𝑎𝑖 ≠ 0 (2.6)

- Cấp của đa thức: Cấp của một đa thức, ký hiệu 𝑜𝑟𝑑 𝑎(𝑥), là số nguyên dương

m nhỏ nhất sao cho:

𝑎𝑚(𝑥) = 𝑒(𝑥)𝑚𝑜𝑑 (𝑥𝑛+ 1) (2.7)

Trong đó e(x) là một lũy đẳng nào đó, thỏa mãn:

𝑒(𝑥) = 𝑒2(𝑥) = 𝑒(𝑥2) (2.8) - Đa thức bất khả quy: Đa thức 𝑎(𝑥)  𝑍2[𝑥]/(𝑥𝑛 + 1) với 𝑑𝑒𝑔 𝑎(𝑥)  1 được gọi là đa thức bất khả quy nếu nó không thể phân tích được thành tích của các đa thức khác đều có bậc dương. Ví dụ:

32

1 + 𝑥 + 𝑥2 là đa thức bất khả quy bậc 2; 1 + 𝑥 + 𝑥3 là đa thức bất khả quy bậc 3; 1 + 𝑥 + 𝑥4 là đa thức bất khả quy bậc 4.