Bài toán tổng hợp hệ điều khiển bền vững có thể phát biểu nhƣ sau: Xác định cấu trúc và các thông số của khối điểu khiển sao cho hệ thống ổn định với dự trữ cho trƣớc đối với mỗi tập hợp các đối tƣợng thay đổi bất định trong một khoảng hữu hạn nào đó, còn chất lƣợng hệ thống đạt tối ƣu theo một định nghĩa nhất định.
Cách tiếp cận giải bài toán tổng hợp hệ bền vững là tổng quát hoá hoặc cải tiến những phƣơng pháp tổng hợp hệ thông thƣờng (với đối tƣợng đƣợc biết một cách chính xác) đã biết trƣớc đây. Trên cơ sở đó, mở rộng ứng dụng cho hệ thống với các đối tƣợng bất định khoảng. Việc áp dụng và mở rộng các phƣơng pháp này dẫn đến những hiệu quả khác nhau.
Trong những năm 50 ngƣời ta tập trung phát triển mạnh các phƣơng pháp tổng hợp hệ điều khiển tối ƣu trên cơ sở mô hình trong không gian trạng thái. Ví dụ phƣơng pháp tổng hợp bộ điều khiển rơle trên cơ sở nguyên lý cực đại của Pontriaghin và phƣơng pháp qui hoạch động của Beclman; phƣơng pháp tổng hợp
H Q~ 1 1 r Q 2 1 1 r Q 1 2 1 2 1 1 H Q ) r ( P P ~ H P ~ H P ~ 2 1 2 1 1 r Q P min 2 1 2 1 1 r Q P min ) , m ( Q ) , m ( r ) , m ( P max 1 12 12
45
bộ điều chỉnh trạng thái theo Kalman và Letov dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình matrận Ricatti. Mặc dù các phƣơng pháp lý thuyết điều khiển tối ƣu có tính chặt chẽ và chính xác toán học, song có ứng dụng hạn chế trong thực tế thiết kế hệ thống vì nhiều nguyên nhân. Ví dụ dự trữ ổn định của hệ phụ thuộc vào việc xác định lại hệ số trọng của hàm chỉ tiêu tối ƣu. Điều đó làm cho lời giải bài toán trở nên chỉ là lời giải tối ƣu cục bộ. Vì thế, dẫn đến việc cần phải lặp lại nhiều lần trong quá trình tính toán vốn đã rất phức tạp.
Các phƣơng pháp tổng hợp hệ thống theo mô hình trong miền thời gian đƣợc xây dựng chủ yếu cho đối tƣợng không có trể vận tải. Theo phƣơng pháp đó sẻ vấp phải những khó khăn về tính toán rất nghiêm trọng lên quan đến bậc cao, đặc biệt trong các hệ nhiều vòng.
Song song với các phƣơng pháp tổng hợp hệ tự động trong miền thời gian, các phƣơng pháp tổng hợp trong miền tần số tiếp tục phát triển. Cho đến nay phƣơng pháp tần số vấn la cách tiếp cận chủ yếu để giải quyết các vấn đề thiết kế các hệ thống duy trì và tự động bám. Những ƣu điểm của miền tần số nhƣ sau:
Ý nghĩa vật lý của các chỉ số chất lƣợng điều khiển rõ ràng, tính đơn giản của quá trình phân tích cũng nhƣ tổng hợp hệ thống. Phƣơng pháp tần số cho phép mở rộng áp dụng cho các đối tƣợng có trể vận tải. Ngoài ra, tính ƣu việt rõ rệt của phƣơng pháp tần số thể hiện ở chổ là dễ dàng mô hình hoá đối tƣợng bất định trong miền tần số và mô hình dễ áp dụng trong các bài toán phân tích và tổng hợp.
Có thể chia phƣơng pháp tần số thành ba nhóm chính; 1-Phƣơng pháp giải tích.
2-Phƣơng pháp đặc tính chuẩn.
3-Phƣơng pháp tính toán hiệu chỉnh tối ƣu các bộ điều chỉnh chuẩn công nghiệp.
Không mất tính tổng quát, chúng ta xét hệ thống có sơ đồ cấu trúc trên hình 2.7. Đƣờng đậm là sơ đồ chính, đƣờng gạch là phần bổ sung nếu có. Nhiệm vụ của hệ thống điều khiển là đại lƣợng đầu ra y của nó phải đạt giá trị z cho trƣớc dƣới tác động của các kích thích từ phía đối tƣợng O(s). Nhiệm vụ này trƣớc hết đƣợc thực hiện bởi bộ điều chỉnh R(s). Bộ khử K(s), nói chung, đƣa vào khi cần cải thiện độ
46
chính xác điều chỉnh của hệ thống dƣới ảnh hƣởng của nhiểu kích thích từ bên ngoài, khi nhiễu này có thể đo đƣợc một cách tức thời.
Giả sử cấu trúc (tức dạng hàm truyền hay phƣơng trình vi phân mô tả) của bộ điều chỉnh và bộ khử trong hệ đã cho trƣớc, nhƣng chƣa biết các tham số của chúng. Hiệu chỉnh tối ƣu một hệ tự động tức là giải bài toán tổng hợp nhƣ sau: xác định các tham số của hệ thống điều khiển sao cho các chỉ tiêu chất lượng điều chỉnh đạt giá trị tối ưu, với điều kiện đảm bảo độ dự trữ ổn định của hệ thống không nhỏ hơn một giá trị cho trước.
Nhƣ vậy, bài toán tối ƣu hoá hiệu chỉnh hệ thống bao gồm các yếu tố sau: 1- Tiêu chuẩn tối ƣu, tức tiêu chuẩn chất lƣợng của qúa trình điều khiển, 2- Điều kiện đảm bảo dự trữ ổn định cần thiết của hệ thống,
3- Các quan hệ ràng buộc theo điều kiện vật lí - kỹ thuật.
Hình thức toán học của bài toán hiệu chỉnh tối ƣu hệ thống là một bài toán qui hoạch phi tuyến có dạng nhƣ sau:
C
C) min
(
I
g(C) 0
cimin ci cimax , i=1,2,...,k
Trong đó, I(C) – chỉ tiêu tổng quát về chất lƣợng điều chỉnh của hệ thống; g(C) – hàm số đặc trƣng cho độ dự trữ ổn định của hệ thống; cimin, cimax – giới hạn
z z - - - - y y R(s) R(s) O(s) O(s) L(s) L(s) K (s) K (s)
Hình 2.7. Hệ điều khiển tự động với bộ khử nhiễu. Hình 2.7. Hệ điều khiển tự động với bộ khử nhiễu.
47
vật lý - kĩ thuật của các tham số hiệu chỉnh; C ={c1,c2,...,ck} – véc tơ tham số hiệu chỉnh k-chiều.
Vấn đề quan trọng và phức tạp nhất trong bài toán tối ƣu hoá tham số của hệ thống là điều kiện ràng buộc theo yêu cầu về độ dự trữ ổn định hệ thống. Trong phần này vấn đề dự trữ ổn định hệ thống đƣợc xét trong không gian tham số trên cơ sở tiêu chuẩn ổn định của Nyquist.
Về nguyên tắc, để thiết lập điều kiện dự trữ ổn định hệ thống điều khiển, có thể áp dụng một trong các khái niệm dự trữ ổn định, nhƣ dự trữ “pha và biên độ” của hệ hở, dự trữ theo “chỉ số biên độ” của hệ kín, hay theo “chỉ số dao động” của quá trình quá độ của hệ kín, v.v... Song, do sự hạn chế về ý nghĩa vật lý hoặc do vấn đề tính toán khó khăn nên việc sử dụng trực tiếp bất kì một trong những khái niệm dự trữ ổn định nói trên không dẫn đến kết quả mong muốn.
Thực vậy, các khái niệm dự trữ ổn định theo “chỉ số biên độ” hệ kín và theo “pha và biên độ” hệ hở mất ý nghĩa vật lý, khi tham số hệ thống vƣợt ra ngoài vùng ổn định của nó. Bên cạnh đó, hàm mục tiêu tối ƣu hoá xây dựng trên cơ sở những khái niệm này sinh ra tập hợp các điểm đứt loại II dọc theo biên ổn định và là hàm đa cực trị. Đồng thời, lời giải của bài toán hiệu chỉnh ban đầu chỉ là một trong những điểm tối ƣu địa phƣơng chứ không phải tối ƣu toàn cục của hàm mục tiêu. Điều đó làm cho quá trình tối ƣu hoá trở nên rất phức tạp mà trong nhiều trƣờng hợp không đƣa đến kết quả mong muốn. Khi áp dụng các khái niệm này, còn gặp phải khó khăn trong việc chọn đúng các giá trị ngƣỡng dự trữ đặc trƣng, vì chúng phụ thuộc vào hệ cụ thể. Hơn nữa, thuật toán đánh giá độ dự trữ ổn định của hệ thống theo những khái niệm này khá phức tạp.
Nếu dùng “chỉ số dao động”, thì không có những nhƣợc điểm kể trên. Nhƣng, khái niệm chỉ số dao động theo nghĩa cổ điển, về lý thuyết không tồn tại đối với hệ có trễ vận tải. Khi đó, gặp khó khăn về mặt tính toán vì xảy ra hiện tƣợng biên độ của đặc tính tần số mở rộng của hệ hở tăng tới vô tận khi tần số tăng. Do đó, không cho phép áp dụng tiêu chuẩn Nyquist để đánh giá dự trữ ổn định của hệ thống.
48
Để khắc phục nhƣợc điểm tăng vô hạn của đặc tính tần số mở rộng của hệ hở, có thể dựa trên những khái niệm hoàn thiện hơn về dự trữ ổn định đó là khái niệm “chỉ số ổn định” và “chỉ số dao động mềm”. Các khái niệm này bảo toàn ý nghĩa vật lý của mình và xác định đơn trị, liên tục trong toàn bộ không gian tham số (trong vùng ổn định cũng nhƣ vùng không định) đối với hệ một chiều hay nhiều chiều với các đối tƣợng có trễ vận tải.
Bài toán tối ƣu hoá hiệu chỉnh đƣợc giải quyết bằng cách thiết lập hàm mục tiêu vô điều kiện tƣơng đƣơng sau đó cực tiểu hoá nó bằng một thuật toán tối ƣu hoá lặp. Để thực h13iện đƣợc điều đó, phải biểu diễn các hàm I(C) và g(C) dƣới
dạng nhƣ thể nào để tính đƣợc giá trị hàm mục tiêu tại bất kì điểm nào trong không gian tham số: C ={ c1,c2,...,ck}.
Chỉ tiêu tối ưu
Chỉ tiêu tối ƣu đƣợc xác định trên cơ sở nhiệm vụ của hệ thống theo yêu cầu kĩ thuật thiết kế và vận hành đã định. Chỉ tiêu tối ƣu có thể là hàm bất kỳ đặc trƣng cho độ chính xác điều chỉnh hoặc độ tin cậy. Dạng thức và ý nghĩa vật lý của chỉ tiêu tối ƣu phụ thuộc vào bài toán cụ thể, ví dụ là tiêu chuẩn chất lƣợng của hệ thống. Tiêu chuẩn chất lƣợng có thể là một hàm phụ thuộc vào trạng thái và quá trình điều khiển và các biến điều khiển. Đối với bài toán tổng hợp, thƣờng sử dụng chỉ tiêu chất lƣợng dạng tích phân. Ví dụ để tổng hợp hệ thống theo độ chính xác điều khiển, thông thƣờng ngƣời ta sử dụng chỉ số tích phân của quá trình quá độ hoặc sai số bình phƣơng trung bình của đại lƣợng đầu ra ngẫu nhiên
C C C) 1 ( , ) min ( 0 d G π I y
Trong đó, Gy(C, ) gọi là hàm trọng lƣợng, đặc trƣng cho sai số điều chỉnh của đại lƣợng ra. Trong một số trƣờng hợp riêng, khi hệ thống có bậc không cao và không có trễ vận tải, tích phân trên có thể tính đƣợc nhờ các công thức giải tích sẵn có, đƣợc rút ra dƣới dạng hàm tƣờng minh theo các tham số của hệ thống. Còn nói chung, tích phân trên phải tính bằng công thức tích phân số trong khoảng 0 max, trong đó max là giới hạn trên đƣợc chọn trƣớc và không đổi trong quá trình tối ƣu hoá.
49
Thiết lập rằng buộc dự trữ ổn định theo chỉ số ổn định
Ta có chỉ số ổn định của hệ thống phụ thuộc vào véctơ tham số hiệu chỉnh:
) ( U U/M MU(C) /supA ,C , Trong đó: A( ,C) - đặc tính biên độ của hệ kín; M = 1/M - chỉ số biên độ;
U - dấu hiệu mất ổn định của hệ thống, xác định theo quan hệ sau:
, - hÖn»mtrongvïngændÞnh. dÞnh, æn n biª n trª n»m hÖ - dÞnh, æn kh«ng vïng trong n»m thèng hÖ nÕu U 1 , 0 , 1
Đối với trƣờng hợp hệ ổn định, ta có: U= 1 và MU = 1/M. Ta biết rằng, nếu chỉ số biên độ M có giá trị càng lớn thì độ dự trữ ổn định của hệ càng kém; một cách tƣơng ứng, MU cũng càng lớn. Vì thế, tƣơng tự nhƣ cách cho trƣớc giới hạn tối đa MĐ (0<MĐ< ) đối với M của hệ ổn định, ta có thể cho trƣớc giá trị ngƣỡng tối đa MUĐ = 1/MĐ đối với MU(C). Từ đó, có thể thiết lập ràng buộc dự trữ ổn định:
g(C) = MU(C) MUĐ 0.
Ta thấy, muốn xác định đƣợc g(C) phải xác định dấu hiệu mất ổn định U và
giá trị cực đại của đặc tính biên độ A( ,C). Dấu hiệu U có thể xác định trên cơ sở
tiêu chuẩn parabol. Để tiết kiệm thời gian tính toán, có thể xác định đồng thời dấu hiệu U và biên độ A( ,C) trên cùng một lƣới tần số.
Điều kiện dữ trữ ổn định trên cho phép thiết lập hàm phạt đơn điệu tăng theo chiều đi sâu vào miền không ổn định của hệ thống. Do đó, xây dựng đƣợc hàm mục tiêu liên tục trong toàn bộ không gian tham số (kể cả vùng không ổn định) của hệ thống. Ngoài ra, xây dựng hàm mục tiêu theo cách này không tạo ra những điểm cực trị mới nên nó đảm bảo rằng điểm tối ƣu của hàm mục tiêu luôn luôn là lời giải tối ƣu của bài toán hiệu chỉnh ban đầu.
Nhƣợc điểm của chỉ số ổn định MU(C), cũng nhƣ mọi chỉ số biên độ, là việc khó khăn lựa chọn giá trị ngƣỡng MUĐ thích hợp, vì giá trị biên độ cực đại của hệ
50
thống không phản ánh một cách đơn trị độ dao động của quá trình quá độ của hệ thống, đặc biệt đối với hệ phức tạp. Điều phiền phức này có thể giảm bớt đối với bài toán hiệu chỉnh hệ điều khiển bền vững. Dự trữ ổn định của hệ thống bền vững chỉ đòi hỏi đối với biến thiên tồi nhất (hay gọi là “xấu nhất”) của đối tƣợng. Biên độ cực đại “xấu nhất” có thể cho phép tƣơng đối lớn tƣơng ứng với MU gần bằng 1
Thiết lập rằng buộc dự trữ ổn định theo chỉ số “ dao động mềm”
Giả sử hệ hở có độ dữ trữ ổn định theo chỉ số dao động mềm cho trƣớc, tức là nó không có các cực nằm bên phảỉ của đƣờng cong “dao động mềm” cho trƣớc trên mặt phẳng biểu diễn nghiệm. Khi đó, hệ kín sẽ bảo tồn chỉ số dao động mềm không tồi hơn của hệ hở, nếu đặc tính mềm: WH(-mZ +j ) không bao điểm ( 1+j0). Điều
kiện đảm bảo dự trữ ổn định nói trên của hệ kín có thể thiết lập một cách đơn giản nhƣ sau: 0 ) ( max ) ( ) ( i i max C C C Q QV g ,
Với QVi (C) - là tung độ của điểm “cắt vào” thứ i giữa đặc tính mềm của hệ hở
và nửa dƣơng Parabol P =Q2 1 (đối với trƣờng hợp hệ một chiều), hoặc giữa đặc tính định thức mềm và nửa dƣơng parabol P =Q2 (đối với trƣờng hợp hệ nhiều chiều). Trong một số trƣờng hợp, để cải thiện tính trơn của hàm mục tối ƣu hoá, có thể thiết lập hàm g(C) bằng tổng tất cả các tung độ của các điểm “cắt vào” giữa đặc tính mềm với nửa dƣơng Parabol.
Thuật toán và chƣơng trình xác định tung độ của các điểm cắt QVi (C) trên máy
tính tƣơng tự nhƣ thuật toán kiểm tra sự ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Parabol đã trình bầy ở chƣơng trƣớc. Khi đó, thay vai trò đặc tính tần số thông thƣờng của hệ hở bởi đặc tính mềm của nó. Đồng thời bổ xung thêm thao tác chọn tung độ trội nhất của các điểm cắt.
2.2.7. Bài toán tối ưu hóa tham số hệ hai tầng
Giả sử ta có hệ thống 2 tầng nhƣ trên sơ đồ hình 2.8, ở đó hệ thống trở thành hở hoàn toàn nếu ta cắt ở điểm A (điểm của vòng trong cùng). Trong đó những: O1,O2 – các đối tƣợng điều chỉnh; L1,L2 – các kênh nhiễu của các khâu cố định; R1,R2 – các bộ điều chỉnh, F1,F2– các liên hệ ngƣợc; K1,K2 – các bộ khử nhiễu
51
Hình 2.8. Sơ đồ cấu trúc hệ 2 tầng
Giả sử các đối tƣợng của hệ thống cho dƣới dạng mô hình biến thiên kiểu vòng tròn: i i i i i j e s s O s Ov( ) ( ) | ( )| , i = 1, 2 Trong đó: ) ( v s
Oi , Oi(s) – hàm truyền biến thiên và hàm truyền cơ sở của đối tƣợng thứ i | i(s)| – biên độ biến thiên của đối tƣợng
={ 1, n}, ={ 1, n} – véctơ bán kính bất định và véctơ pha bất định.
Chỉ Tiêu tối ưu hóa.
Chỉ tiêu chất lƣợng của hệ 2 tầng có dạng C C { [ ( ) ( ) ] ( ) } min 2 1 ) ( ε j 2 j 2 β j 2 d π I Z ν λ
Trong đó phải tính đến tất cả những sai số thành phần của đầu ra theo kích thích i (i=1,2) tác động trên các vòng. Để làm điều đó, thành phần | (j )|2 trong tích phân trên đƣợc xác định nhƣ là mật độ phổ tổng cộng của các sai số đầu ra theo tất cả các kênh nhiễu. Khi các nhiễu kích thích độc lập lẫn nhau, ta có: