Tại thời điểm t của chuỗi thời gian có thể xác định được mối quan hệ mờ 𝐹(𝑡 − 1)→ 𝐹(𝑡). Đặt 𝐹(𝑡) = 𝐴𝑖 và 𝐹(𝑡 − 1) = 𝐴𝑗 thì mối quan hệ trên được viết thành
𝐴𝑗 → 𝐴𝑖. Để ghi nhớ thời điểm xuất hiện t của mối quan hệ mờ thì có thể viết 𝐴𝑗(𝑡 − 1) → 𝐴𝑖(𝑡); trong đó 𝐴𝑖(𝑡) chỉ ra phần tử (tập mờ) 𝐴𝑖 xuất hiện tại thời điểm t.
Giả sử cũng tại thời điểm t, tồn tại các quan hệ mờ có cùng vế trái như sau: 𝐴𝑗(𝑡 − 1) → 𝐴𝑖1(𝑡1); … ; 𝐴𝑗(𝑡 − 1) → 𝐴𝑖𝑝(𝑡𝑝) thì theo Định nghĩa 1.3 về nhóm quan hệ mờ ở Chương 1 có thể gộp các thành phần bên vế phải lại thành nhóm quan hệ mờ tại thời điểm t.
𝐴𝑗(𝑡 − 1) → 𝐴𝑖(𝑡), 𝐴𝑖1(𝑡1), 𝐴𝑖2(𝑡2), 𝐴𝑖𝑝(𝑡𝑝)
Các ký hiệu (t1, ...tp, t) trong ngoặc là chỉ thời điểm xuất hiện của các tập mờ 𝐴𝑖𝑘 trong các mối quan hệ mờ (𝑘 = 1, … , 𝑝). Theo phương pháp nhóm quan hệ mờ [13] có tham gia của thành phần 𝐴𝑖𝑘(tk) nào đó mà thời điểm xuất hiện tk của 𝐴𝑖𝑘 xảy ra sau thời điểm có nhóm quan hệ mờ trên, tức là 𝑡 < 𝑡𝑘 thì sự tham gia của thành phần 𝐴𝑖𝑘(tk) cho dự báo tại thời điểm t là không hợp lý. Do đó cần xây dựng NQHM mà các thành phần bên vế phải của các quan hệ mờ chỉ xuất hiện trước hoặc tại thời điểm
t mà thôi. Nhóm quan hệ mờ như vậy, được gọi là NQHM-PTTG.
Định nghĩa 2.1: Nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian bậc 1
Quan hệ mờ giữa hai quan sát liên tiếp 𝐹(𝑡 − 1) và 𝐹(𝑡) được biểu diễn bởi 𝐹(𝑡 − 1) → 𝐹(𝑡) . Nếu, đặt 𝐹(𝑡) = 𝐴𝑖(𝑡) và 𝐹(𝑡 − 1) = 𝐴𝑗(𝑡 − 1), thì quan hệ tại thời điểm t được biểu diễn thành 𝐴𝑗(𝑡 − 1) → 𝐴𝑖(𝑡).
Nếu cũng tại thời điểm t, ta chỉ xét các quan hệ 𝐴𝑗(𝑡1 − 1) → 𝐴𝑖1(𝑡1); … ; 𝐴𝑗(𝑡𝑝 − 1) → 𝐴𝑖𝑝(𝑡𝑝) xảy ra trước đó (𝑡1, 𝑡2, . . , 𝑡𝑝 ≤t) để tạo một nhóm quan hệ mờ là 𝐴𝑗(𝑡 − 1) → 𝐴𝑖1(𝑡1), 𝐴𝑖2(𝑡2), 𝐴𝑖𝑝(𝑡𝑝), 𝐴𝑖(𝑡) và được gọi là nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian bậc 1.
Ví dụ sau đây cho thấy sự khác biệt giữa nhóm quan hệ mờ đề xuất và các nhóm quan hệ trước đây của Chen [10] và Yu [13].
Ví dụ 2.1: Giả sử tồn tại một tập dữ liệu chuỗi thời gian đã được mờ hóa như biểu diễn trong Hình 2.1 là [𝐹(1990), 𝐹(1991), …,𝐹(1995), 𝐹(1996)] = [ 𝐴2, 𝐴3, 𝐴1, 𝐴1, 𝐴3, 𝐴1, 𝐴3]. Khi đó, theo Định nghĩa 2.1. Tại các thời điểm khác nhau, có thể thiết lập được các nhóm quan hệ mờ khác nhau như trong cột 4 của Bảng 2.1.
Bảng 2.1: Sự khác nhau giữa nhóm quan hệ mờ đề xuất và nhóm quan hệ trong mô hình [10, 13]
Thời gian Tập mờ Chen [10] Yu [13] NQHM - PTTG 𝑡1=1990 𝐴2 𝑡2 =1991 𝐴3 𝐴2 → 𝐴3 𝐴2 → 𝐴3 𝐴2 → 𝐴3 𝑡3=1992 𝐴1 𝐴3 → 𝐴1 𝐴3 → 𝐴1, 𝐴1 𝐴3 → 𝐴1 𝑡4=1993 𝐴1 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴3, 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1 𝑡5=1994 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴3, 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1,𝐴3 𝑡6=1995 𝐴1 𝐴3 → 𝐴1 𝐴3 → 𝐴1, 𝐴1 𝐴3 → 𝐴1, 𝐴1 𝑡7=1996 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1, 𝐴3, 𝐴3 𝐴1 → 𝐴1,𝐴3, 𝐴3
Định nghĩa 2.2:Nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian bậc cao một nhân tố
Dựa trên cách lập luận đối với nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian bậc 1. Mở rộng nhóm quan hệ mờ bậc 1 thành NQHM-PTTG bậc cao như sau: Giả sử tồn tại các quan hệ mờ bậc m có cùng vế trái như sau:
𝐴𝑖1(𝑡1 − 𝑚), 𝐴𝑖2(𝑡1 − 𝑚 + 1), …, 𝐴𝑖𝑚(𝑡1 − 1) → 𝐴𝑘1(𝑡1) ……….. 𝐴𝑖1(𝑡𝑝 − 𝑚), 𝐴𝑖2(𝑡𝑝 − 𝑚 + 1), …, 𝐴𝑖𝑚(𝑡𝑝 − 1) → 𝐴𝑘𝑝(𝑡𝑝)
Trong đó 𝐴𝑖1(𝑡1) , 𝐴𝑖2(𝑡2), …, 𝐴𝑖𝑚(𝑡𝑝) biểu diễn các tập mờ 𝐴𝑖1, 𝐴𝑖2 …, 𝐴𝑖𝑚, nhưng xuất hiện trong quan hệ mờ tại các thời điểm 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑝 tương ứng, với (t1< t2<…<tp).
Có thể bỏ qua biến thời gian trong các quan hệ trên, thì các quan hệ này tại thời điểm
tp có thể được gộp thành một nhóm quan hệ được biểu diễn như sau: 𝐴𝑖1, 𝐴𝑖2, …,
𝐴𝑖𝑚 → 𝐴𝑘1,…, 𝐴𝑘𝑝.
Định nghĩa 2.3: Nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian bậc cao hai nhân tố
Dựa trên khái niệm nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian một nhân tố và khái niệm về chuỗi mờ bậc cao hai nhân tố. Định nghĩa nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian bậc cao hai nhân tố được đưa ra như sau :
Quan hệ mờ giữa m quan sát liên tiếp của chuỗi thời gian hai nhân tố (𝐹𝐴(𝑡 − 1), 𝐹𝐵(𝑡 − 1)), (𝐹𝐴(𝑡 − 2), 𝐹𝐵(𝑡 − 2)),…, (𝐹𝐴(𝑡 − 𝑚), 𝐹𝐵(𝑡 − 𝑚)) và 𝐹𝐴(𝑡) được biểu diễn bởi (𝐹𝐴(𝑡 − 𝑚), 𝐹𝐵(𝑡 − 𝑚)),…, (𝐹𝐴(𝑡 − 2), 𝐹𝐵(𝑡 − 2)), (𝐹𝐴(𝑡 − 1), 𝐹𝐵(𝑡 − 1)) ⇾ 𝐹𝐴(𝑡). Nếu, đặt 𝐹𝐴(𝑡) = 𝐴𝑗(𝑡) và 𝐹𝐴(𝑡 − 𝑞) = 𝐴𝑖𝑞(𝑡 − 𝑞);
𝐹𝐵(𝑡 − 𝑞) = 𝐵𝑘𝑞(𝑡 − 𝑞), với 1 ≤ 𝑞 ≤ 𝑚. Thì quan hệ tại thời điểm t này được biểu diễn thành(𝐴𝑖𝑚(𝑡 − 𝑚), 𝐵𝑘𝑚(𝑡 − 𝑚)),…, (𝐴𝑖1(𝑡 − 1), 𝐵𝑘1(𝑡 − 1)) →𝐴𝑗(𝑡).
Nếu cũng tại thời điểm t, tồn tại các quan hệ mờ bậc m hai nhân tố có cùng vế trái sau:
(𝐴𝑖𝑚(𝑡 − 𝑚), 𝐵𝑘𝑚(𝑡 − 𝑚)),…, (𝐴𝑖1(𝑡 − 1), 𝐵𝑘1(𝑡 − 1))→𝐴𝑗1(𝑡1). ……….
(𝐴𝑖𝑚(𝑡 − 𝑚), 𝐵𝑘𝑚(𝑡 − 𝑚)),…, (𝐴𝑖1(𝑡 − 1), 𝐵𝑘1(𝑡 − 1))→ 𝐴𝑗𝑝(𝑡𝑝).
với 𝑡1, 𝑡2, . . , 𝑡𝑝 ≤ t. Nghĩa là các quan hệ tại thời điểm t1, t2, …, tp xảy ra trước quan hệ mờ ở tại thời điểm t, nhưng có cùng các tập mờ bên vế trái. Khi đó các quan hệ tại thời điểm t này được gộp thành một nhóm quan hệ mờ theo dạng sau:
(𝐴𝑖𝑚(𝑡 − 𝑚), 𝐵𝑘𝑚(𝑡 − 𝑚)),…, (𝐴𝑖2(𝑡 − 2), 𝐵𝑘2(𝑡 − 2)), (𝐴𝑖1(𝑡 − 1), 𝐵𝑘1(𝑡 − 1)) → 𝐴𝑗1(𝑡1),… , 𝐴𝑗𝑝(𝑡𝑝) , 𝐴𝑗(𝑡) và được gọi là nhóm quan hệ mờ phụ thuộc thời gian bậc cao m hai nhân tố (m≥ 2).