Tập giá trị của bất kỳ lát cắt nào của một ánh xạ đa trị cũng là tập con của miền giá trị của ánh xạ đa trị đó. Giả sử (Ω,A, à) là một không gian có độ đo và F : Ω ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị. Như chúng ta đã biết, tích phân Aumann của F trênΩ là tập các tích phân trên Ω của các lát cắt khả tích củaF.Do đó, việc nghiên cứu miền giá trị của một ánh xạ đa trị có thể cho chúng ta những thông tin hữu ích về tích phân của ánh xạ đa trị đó. Chẳng hạn, nếu à là một độ đo hữu hạn và miền giá trị của F bị chặn thì mọi lát cắt đo được của F đều là lát cắt khả tích.
Trong chương này chúng ta nghiên cứu miền giá trị của ánh xạ dưới vi phân của hàmf :X →R∪ {+∞} chính thường nửa liên tục dưới và thoả mãn một điều kiện bức, ở đây X là một không gian Banach. Mục 4.1 được dành cho trường hợp f là hàm nửa liên tục dưới theo tôpô yếu. Định lý 4.1.1 đặc trưng tính phản xạ của X qua tính tràn của ánh xạ dưới vi phân Fréchet của f. Kết quả này bổ sung một kết quả tương tự của Borwein, Fitzpatrick và Vanderwerff [11], ở đó các tác giả đã đặc trưng tính chất phản xạ của không gian X qua tính tràn của ánh xạ dưới vi phân của các hàm lồi liên tục ở trên X thoả mãn điều
kiện bức. Mục 4.2 được dành cho trường hợp X là một không gian Asplund và f là hàm nửa liên tục dưới theo tôpô sinh bởi chuẩn. Nguyên lý biến phân Ekeland và quy tắc tổng mờ (the fuzzy sum rule) cho dưới vi phân Fréchet trong các không gian Asplund là những công cụ chính trong việc nghiên cứu của chúng ta. Định lý 4.2.1 khẳng định rằng miền giá trị của ánh xạ dưới vi phân Fréchet ∂fb (ã) là trù mật trong X∗. Kết quả này mở rộng một phần kết quả tương ứng của Borwein và Preiss [12], ở đó các tác giả đã xét cho trường hợp không gian Banach X có một chuẩn trơn tương đương. Mục 4.3 trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm dừng và sự tồn tại nghiệm của bài toán nhiễu của một bài toán tối ưu phi tuyến trong không gian vô hạn chiều dưới tác động của nhiễu tuyến tính. Ngoài những kết quả ở mục 4.3 là mới bổ sung, các kết quả còn lại của chương này đã được công bố trên Nonlinear Analysis Forum [18].
4.1 Trường hợp không gian Banach phản xạ
Định lý sau đây đưa ra hai tính chất đặc trưng cho các không gian Banach phản xạ.
Định lý 4.1.1. Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) X là không gian phản xạ.
(ii) Với bất kỳ hàm chính thường nửa liên tục dưới yếu f : X → R ∪ {+∞} thoả mãn điều kiện bức
lim kxk→∞
f(x)
ta có [
x∈X
b
∂f(x) =X∗.
(iii) Với bất kỳ tập đóng yếu và bị chặn Ω ⊂ X, ta có S
x∈Ω
b
N(x; Ω) = X∗.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử X là một không gian Banach phản xạ và
f : X → R∪ {+∞} là một hàm chính thường nửa liên tục dưới yếu thoả mãn điều kiện (4.1). Lấy bất kỳ x∗ ∈ X∗. Đặt g(x) =f(x)− hx∗, xi (x ∈ X). Vì
f là hàm chính thường nửa liên tục dưới yếu, nên g cũng là hàm chính thường nửa liên tục dưới yếu. Do đó tồn tại α ∈R sao cho
Xx∗,α :={x ∈ X | g(x) 6 α}
là một tập con đóng yếu và khác rỗng của X. Từ (4.1) và bất đẳng thức
f(x) kxk − kx ∗k 6 g(x) kxk với mọix ∈ X\{0} ta suy ra lim kxk→∞ g(x)
kxk = +∞. Điều này kéo theo Xx∗,α là một tập con khác rỗng, đóng yếu và bị chặn của X. Vì X là một không gian Banach phản xạ, Xx∗,α là compact yếu theo Định lý Banach-Alaoglu. Do đó, theo Định lý Weierstrass, g đạt giá trị nhỏ nhất trênXx∗,α tại một điểm x¯ ∈ Xx∗,α.Từ định nghĩa của Xx∗,α suy ra x¯ cũng là một điểm cực tiểu toàn cục của g trênX; do đó 0 ∈ ∂gb (¯x). Theo Định lý 1.1.3, ∂gb (¯x) =∂fb (¯x)−x∗. Do đó x∗ ∈ ∂fb (¯x).
(ii) ⇒ (iii). Giả sử mệnh đề (ii) đúng và Ω là một tập con đóng yếu khác rỗng của X. Đặt f(x) = δ(x; Ω), ở đây δ(x; Ω) = 0 nếu x ∈ Ω và
δ(x; Ω) = +∞ nếu x ∈ X\Ω. Vì Ω là một tập con khác rỗng đóng yếu và bị chặn của X, f là một hàm chính thường nửa liên tục dưới yếu thoả mãn (4.1). Do (ii), ta có [ x∈X b ∂f(x) = X∗. Mặt khác, ∂fb (x) = Nb(x; Ω) với mọi x ∈ X, và Nb(x; Ω) =∅ nếu x∈ X\Ω. Do đó S x∈Ω b N(x; Ω) = X∗.
(iii) ⇒ (i). Giả sử mệnh đề (iii) đúng. Nếu X là một không gian Banach không phản xạ, thì tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho hx∗, xi 6= kx∗k với mọi x ∈ BX (xem [27, tr. 12]). Khi đó Ω := BX là một tập con khác rỗng đóng yếu và bị chặn của X, nhưng x∗ 6∈ S
x∈Ω
b
N(x; Ω). Đây là điều mâu thuẫn. Vậy X là một không gian phản xạ. 2
Nhận xét 4.1.1. Xét tính chất sau đây:
(ii)0 Với mọi hàm lồi liên tụcf : X → R thoả mãn (4.1), ta có
[
x∈X
∂f(x) = X∗,
với ∂f(x) = x∗ ∈ X∗ | f(u)−f(x) > hx∗, u−xi ∀u ∈X là dưới vi phân của f tại x theo nghĩa Fenchel trong giải tích lồi (xem Chương 1).
Ta thấy rằng (ii) ⇒ (ii)0. Khẳng định (ii)0 ⇒ (i), một khẳng định mạnh hơn (ii)⇒ (i), là kết quả đã biết (xem [11]).
4.2 Trường hợp không gian Asplund
Chúng ta biết rằng nếu hàm f là nửa liên tục dưới yếu thì nó là nửa liên tục dưới và điều ngược lại là không đúng. Không gian Banach phản xạ là một không gian Asplund. Trong Định lý 4.1.1, nếu X là một không gian Asplund và nếu tính nửa liên tục dưới yếu của f được thay bởi tính nửa liên tục dưới, thì chúng ta chỉ có thể kết luận rằng [
x∈X
b
∂f(x) là trù mật trong X∗.
Định lý 4.2.1. Cho X là một không gian Asplund và f : X → R ∪ {+∞} là một hàm chính thường nửa liên tục dưới. Nếu f bị chặn dưới trên các tập bị chặn và điều kiện (4.1) đúng, thì tập hợp [
x∈X
b
nghĩa là với mỗi x∗ ∈ X∗ và ε > 0 tồn tại x¯ ∈ X và x¯∗ ∈ ∂fb (¯x) sao cho kx¯∗−x∗k 6 ε.
Chứng minh. Lấy bất kỳ x∗ ∈ X∗ và ε > 0. Đặt g(x) = f(x)− hx∗, xi với mọi x ∈ X. Ta có g là một hàm chính thường nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên các tập con bị chặn của X, và thoả mãn điều kiện lim
kxk→∞g(x) = +∞. Do đó tồn tại α ∈ R sao cho
Xg,α :={x∈ X|g(x)6 α} 6= ∅.
Vì g là hàm nửa liên tục dưới và X là không gian Banach, Xg,α là không gian mêtric đầy đủ. Hơn thế, Xg,α là tập bị chặn (vì lim
kxk→∞g(x) = +∞). Do đó
g bị chặn dưới ở trên Xg,α. Theo nguyên lý biến phân Ekeland (xem [3] hoặc [29]), tồn tại y ∈ Xg,α sao cho
g(x) + ε
2kx−yk > g(y) ∀x ∈Xg,α.
Từ định nghĩa của tập Xg,α ta suy ra rằng hàm
x 7→ f(x)− hx∗, xi+ ε
2kx−yk đạt giá trị nhỏ nhất trên X tại y. Do đó,
0 ∈ ∂b
f(ã)− hx∗,ãi+ ε
2k ã −yk(y).
kx−yk 6 ε 2, kx0 −yk 6 ε 2 và 0 ∈ ∂fb (x) +∂bε 2k ã −yk − hx∗,ãi(x0) + ε 2BX∗ = ∂fb (¯x) +∂b ε 2k ã −yk(x0)−x∗+ ε 2BX∗ ⊂ ∂fb (x) + ε 2BX∗ −x∗+ ε 2BX∗ = ∂fb (¯x) +εBX∗ −x∗.
Nghĩa là tồn tại x¯∗ ∈ ∂fb (¯x) thoả mãn kx¯∗−x∗k 6 ε. 2
Nhận xét 4.2.1. Khi X là không gian Banach có một chuẩn tương đương khả vi (tại mọi điểm khác 0), kết luận của Định lý 4.2.1 đã được Borwein và Preiss [12, Corollary 2.8] chứng minh. Vì một không gian có chuẩn tương đương khả vi Fréchet là không gian Asplund và tồn tại những không gian Asplund không có chuẩn tương đương khả vi Gâteaux (xem [37]), Định lý 4.2.1 mở rộng một phần kết quả [12, Corollary 2.8].
Do ∂fb (x) ⊂ ∂f(x), từ Định lý 4.2.1 chúng ta có kết quả sau đây. Hệ quả 4.2.1. Dưới các giả thiết của Định lý 4.2.1, tập hợp [
x∈X
∂f(x) là trù mật trong X∗.
Nếu X là một không gian Asplund (thậm chí X là không gian Hilbert) và
f : X → R∪ {+∞} thoả mãn các giả thiết của Định lý 4.2.1, thì có thể xảy ra trường hợp [
x∈X
b
∂f(x) 6= X∗.
ở vị trí thứ n. Xét hàm số f :X →R∪ {+∞} cho bởi công thức f(x) := 1 n + t 2 1 n+ 1 − 1 n nếu x= (1−t)en+ten+1 (t ∈ [0,1) n = 1,2, ...), +∞ nếu x ∈X\h ∞ S n=1 [en, en+1) i ,
ở đây [en, en+1) := (1−t)en+ten+1 | t ∈ [0,1) . Rõ ràng các giả thiết của Định lý 4.2.1 được thoả mãn. Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ rằng0 6∈ S
x∈X
∂f(x).
Lấy bất kỳ x¯ ∈ X. Xét các trường hợp sau đây.
Trường hợp 1. Không tồn tại n ∈ {1,2, ... sao cho x¯ ∈ [en, en+1). Khi đó
b
∂f(¯x) = ∂f(¯x) =∅.
Trường hợp 2. Tồn tại n ∈ {1,2, ...} sao cho x¯ ∈ (en, en+1) := (1− t)en+
ten+1 | t ∈ (0,1) . Đặt g(x) = f(x) nếu x ∈ (en, en+1), và g(x) := +∞ nếu x ∈X\(en, en+1). Ta có g là một hàm lồi và ∂f(¯x) = ∂fb (¯x) =∂gb (¯x) = nx∗ ∈ X∗ | hx∗, x−x¯i 6 g(x)−g(¯x), ∀x∈ Xo = n x∗ ∈ X∗ | hx∗, x−x¯i 6 f(x)−f(¯x), ∀x ∈ (en, en+1) o = n x∗ ∈ X∗ | hx∗, en+1−eni = 1 2 1 n+ 1 − 1 n o .
Trường hợp 3. x¯ = e1. Lý luận tương tự như trong Trường hợp 2, ở đây (en, en+1) được thay bằng [e1, e2), ta có ∂f(¯x) = ∂fb (¯x) = n x∗ ∈X∗ | hx∗, e2−e1i 6 −1 4 o .
Trường hợp 4. Tồn tại n ∈ {2,3, ...} sao cho x¯ =en.Khi đó x∗ ∈∂fb (¯x) ⇔ lim inf x→¯x f(x)−f(¯x)− hx∗, x−x¯i kx−x¯k > 0 ⇔ lim inf t↓0 f (1−t)en +ten+1−f(en)−thx∗, en+1−eni tken+1 −enk > 0 ⇔ 1 2 1 n+ 1 − 1 n > hx∗, en+1−eni. Do đó, b ∂f(¯x) = n x∗ ∈ X∗ | hx∗, en+1−eni 6 1 2 1 n+ 1 − 1 n o .
Vì X là một không gian Hilbert (do đó X là một không gian Asplund) và f là nửa liên tục dưới địa phương tại x¯ ∈domf, theo Định lý 1.1.4 ta có
∂f(¯x) = Lim sup f
x →x¯
b
∂f(x).
Chú ý rằng trong trường hợp này x →f x¯ có nghĩa làx → x¯ với x∈ [en, en+1).
Từ đó suy ra ∂f(¯x) = n x∗ ∈ X∗ | hx∗, en+1−eni 6 1 2 1 n+ 1 − 1 n o . Do đó S x∈X ∂f(x) = S x∈X b ∂f(x) và 0 6∈ S x∈X ∂f(x).
Hệ quả 4.2.2. Giả sử Ω là một tập con khác rỗng, đóng và bị chặn của một không gian Asplund X. Khi đó tập S
x∈Ω
b
N(x; Ω) là trù mật trong X∗.
Chứng minh. Đặt f(x) = δ(x; Ω) với mọi x ∈ X. Vì Ω là một tập con khác rỗng, đóng và bị chặn của X nên f thoả mãn các giả thiết của Định lý 4.2.1. Do đó, tập [
x∈X
b
∂f(x) trù mật trong X∗. Mặt khác, ∂fb (x) = Nb(x; Ω) với mọi
x ∈X và Nb(x; Ω) =∅ nếu x ∈ X\Ω. Từ đó ta suy ra rằng tập S
x∈Ω
b
N(x; Ω)là trù mật trong X∗. 2
Khác với trường hợp Ω là đóng yếu trong không gian Banach phản xạ, nếu Ω chỉ đóng theo tôpô sinh bởi chuẩn trong không gian Hilbert X, thì có thể xảy ra khả năng S
x∈Ω
b
N(x; Ω) 6= X∗.
Ví dụ 4.2.2. Lấy X = `2 và en := (0, ...,0,1,0, ...) là véctơ đơn vị thứ n. Đặt Ω =
∞
S
n=1
[en, en+1],ở đây [en, en+1] :=en+t(en+1−en)| t ∈ [0,1] .Dễ thấy Ω là một tập con khác rỗng bị chặn của X. Ta có Ω là một tập con đóng của
X. Thật vậy, giả sử Ω không phải là một tập đóng. Khi đó, tồn tại x¯ ∈ Ω\Ω.
Vì các tập [en, en+1] (n = 1,2, ...) là đóng, x¯ ∈ Ω\Ω và Ω = ∞
S
n=1
[en, en+1],
nên tồn tại xnk = (1 −tnk)enk +tnkenk+1, tnk ∈ [0,1] (k = 1,2, ...) sao cho lim nk→∞xnk = ¯x. Do đó lim nk→∞hxnk,x¯i =hx,¯ x¯i = kx¯k2. (4.2) Mặt khác, {en} hội tụ yếu đến 0 và hxnk,x¯i = h(1−tnk)enk +tnkenk+1,x¯i = (1−tnk)henk,x¯i+tnkhenk+1,x¯i. Do đó lim nk→∞hxnk,x¯i = 0. (4.3) Từ (4.2) và (4.3) ta suy ra x¯ = 0. Vì vậy, kxnkk = q (1−tnk)2+t2 nk →0 khi nk → ∞.
Đây là điều mâu thuẫn vì kxnkk > 1/√
2 với mọi k. Vậy Ω là tập đóng. Đặt
x∗0 = −2e1− ∞ X m=1 1 m em+1 −em. Rõ ràng x∗0 ∈ `2 =X = X∗.Chúng ta sẽ chứng minh rằng x∗0 6∈ S x∈Ω N(x; Ω), do đó x∗0 6∈ S x∈Ω b N(x; Ω).Lấy bất kỳ x¯ ∈ Ω.
Trường hợp 1. Tồn tại n sao cho x¯ ∈ (en, en+1). Khi đó
N(¯x; Ω) =Nb(¯x; Ω) = x∗ ∈ X∗ | hx∗, en+1 −eni = 0 . (4.4) Trường hợp 2. x¯ =e1. Ta có
N(¯x; Ω) =Nb(¯x; Ω) = {x∗ ∈ X∗ | hx∗, e2−e1i 6 0 . (4.5) Trường hợp 3. Tồn tại n ∈
2,3, ... sao cho x¯ = en. Khi đó
b N(¯x; Ω) = x∗ ∈ X∗ | hx∗, en+1 −eni 6 0, hx∗, en−1−eni 6 0 . Theo Định lý 1.1.4, N(¯x; Ω) = Lim sup x →x¯ b N(x; Ω) = x∗ ∈ X∗ | hx∗, en+1 −eni 6 0, hx∗, en−1−eni 6 0 S x∗ ∈ X∗ | hx∗, en+1−eni= 0 S x∗ ∈ X∗ | hx∗, en−en−1i= 0 . (4.6) Dễ dàng thấy rằng hx∗0, e2 − e1i = 1 2 và hx∗0, en+1 − eni = 2 n(n2−1) nếu n ∈ 2,3, ... . Do đó, từ (4.4) - (4.6) ta suy ra rằng x∗0 6∈ N(¯x; Ω).
Sử dụng Hệ quả 4.2.2 chúng ta có thể thu lại được Định lý Bishop-Phelps (xem [27, tr. 3]) cho trường hợp X là không gian Asplund.
Hệ quả 4.2.3. Nếu Ω là một tập con lồi đóng khác rỗng và bị chặn của một không gian Asplund X, thì tập hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục ở trên X và đạt giá trị lớn nhất trên Ωlà trù mật trong X∗.
Chứng minh. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X∗ đạt giá trị lớn nhất trên Ω tại x∈ Ω nếu và chỉ nếu 0 ∈ −x∗+NΩ(x), ở đây
Vì Ω là tập lồi nênNΩ(x) = Nb(x; Ω). Từ đó suy ra tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục ở trênX và đạt giá trị lớn nhất trênΩchính là tập hợp S
x∈Ω
b
N(x; Ω).
Do đó, theo Hệ quả 4.2.2, ta có điều phải chứng minh. 2
Lưu ý rằng Định lý Bishop-Phelps ở trong [27] được phát biểu cho trường hợp tổng quát hơn, với X là một không gian Banach bất kỳ.
4.3 Một vài ứng dụng
Từ kết quả của hai mục trước chúng ta sẽ rút ra một vài định lý về sự tồn tại điểm dừng và sự tồn tại nghiệm trong tối ưu phi tuyến.
Xét bài toán
(P0) min{f(x)|x ∈ X},
ở đóX là không gian Banach vàf : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới. Ta nói x¯ ∈ X là điểm dừng của (P0) nếu 0 ∈ ∂fb (¯x). Theo qui tắc Fermat suy rộng (xem [46, Proposition 1.114]), nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P0) thì nó là một điểm dừng của bài toán đó.
Định lý 4.3.1. Nếu X là không gian phản xạ, f : X → R ∪ {+∞} là hàm chính thường nửa liên tục dưới yếu, và điều kiện bức (4.1) được thoả mãn thì, với mọi c ∈ X∗, bài toán
(Pc) min{f(x) +hc, xi |x ∈X} có tập các điểm dừng khác rỗng.
Chứng minh. Theo định nghĩa, xˆ là điểm dừng của (Pc) khi và chỉ khi 0 ∈∂b(f +hc,ãi)(ˆx).
Theo Định lý 1.1.3, ∂b(f +hc,ãi)(ˆx) = ∂fb (ˆx) +c. Vì vậy, bao hàm thức
−c∈ ∂fb (ˆx) (4.7)
là điều kiện cần và đủ để xˆ là điểm dừng của(Pc). Do các giả thiết của chúng ta, Định lý 4.1.1 suy ra bao hàm thức (4.7) có nghiệm với mọi c ∈ X∗. Điều đó chứng tỏ với mọi c∈ X∗ bài toán (Pc) có tập điểm dừng khác rỗng. 2
Trong trường hợp f là hàm lồi, với mỗi x ∈ X, ∂fb (x) trùng với dưới vi phân của f tại x theo nghĩa giải tích lồi. Do đó, tập điểm dừng của bài toán (P0) trùng với tập nghiệm của nó. Hiển nhiên, nếu f là hàm lồi thì với mọi
c ∈ X∗ hàm số f(x) +hc, xi cũng là hàm lồi. Ta đã biết rằng hàm lồif là nửa