Trong chương này, chúng ta sẽ thiết lập một số công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của các phiếm hàm tích phân. Mục 3.1 được dành để nghiên cứu dưới vi phân Mordukhovich ∂F(¯x)của tích phân bất định
F(x) =
Z x a
f(t)dt,
ở đây f là một hàm bị chặn cốt yếu. Mục 3.2 đưa ra công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân có dạng
F(u) =
Z
Ω
f(ω, u(ω))dà(ω) (u ∈ L1(Ω;E)),
với (Ω,A, à) là một không gian có độ đo không nguyên tử σ−hữu hạn đầy đủ, E là một không gian Banach khả ly và f : ΩìE → R¯ là A ⊗ B(E)−đo được. Các kết quả đó dẫn đến một tiêu chuẩn tồn tại nghiệm địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc, với hàm mục tiêu là phiếm hàm tích phân. Ngoài các hệ quả 3.1.2, 3.1.3, và 3.2.2 là những kết quả được trình bày lần đầu tiên ở đây, các kết quả còn lại của chương này đã được công bố trên Journal of Mathematical Analysis and Applications trong các bài báo [17] và [19].
3.1 Dưới vi phân của tích phân bất định
Chúng ta sẽ đưa ra công thức tính dưới vi phân Mordukhovich của tích phân bất định
F(x) =
Z x a
f(t)dt, (3.1)
ở đó f là một hàm bị chặn cốt yếu trên đoạn [a, b] ⊂ R. Một số ví dụ minh hoạ sẽ được đưa ra. Các ví dụ này cũng cho thấy sự tiện lợi khi sử dụng công thức của chúng ta để tính ∂F(x). Kết quả tính toán chứng tỏ rằng nói chung tập ∂F(x) có thể lồi hoặc không lồi. Một điều kiện kiện đủ đảm bảo dưới vi phân Mordukhovich ∂F(x) là tập lồi sẽ được chỉ ra.
Kết quả quan trọng sau đây thuộc về J. M. Borwein và S. P. Fitzpatrick. Định lý 3.1.1 (xem [10]). Giả sử g là một hàm Lipschitz địa phương trên (a, b) ⊂ R, x ∈(a, b), và ∂Clg(y) = α(y), β(y) với mọi y ∈ (a, b).Khi đó,
∂g(x) = h lim inf y→x α(y),lim sup y→x+ β(y)i [ hlim inf y→x− α(y),lim sup y→x β(y) i ,
ở đây y → x+ và y → x− tương ứng có nghĩa là y → x với y > x và y → x
với y < x.
Hàm đo được f từ [a, b] ⊂ R vào R¯ được gọi là bị chặn cốt yếu trên [a, b] nếu tồn tạiM > 0 sao cho|f(x)| 6 M hầu khắp nơi trên [a, b](xem [57]). Ký hiệu L∞[a, b] là tập gồm tất cả các hàm bị chặn cốt yếu trên [a, b].Đặt
f+(x) = inf
n
M | ∃ ε > 0 sao cho f(x0) 6 M h.k.n. trên [x−ε, x+ε]
o
, f++(x) = infnM | ∃ ε > 0 sao cho f(x0) 6 M h.k.n. trên [x, x+ε]o, f−(x) = sup
n
M | ∃ ε > 0 sao cho f(x0) > M h.k.n. trên [x−ε, x +ε]
o
, f−−(x) = sup
n
M | ∃ ε > 0 sao cho f(x0) > M h.k.n. trên [x−ε, x]
o
Dễ thấy rằng
f−(x)6 f−−(x) 6 f+(x) và f−(x) 6 f++(x) 6 f+(x).
Do đó hf−(x), f++(x)iSh
f−−(x), f+(x)i ⊂ hf−(x), f+(x)i.
Kết quả chính của mục này được phát biểu như sau.
Định lý 3.1.2. Giả sử f ∈ L∞[a, b], F là hàm cho bởi công thức (3.1), và
x ∈(a, b). Khi đó, ∂F(x) = h f−(x), f++(x)i [ hf−−(x), f+(x) i . (3.2)
Chứng minh. Do f ∈ L∞[a, b], F là một hàm Lipschitz trên [a, b] và
∂ClF(y) =
h
f−(y), f+(y)
i
(3.3) với mọi y ∈(a, b) (xem [23, tr. 34] hoặc [25, tr. 96]). Theo Định lý 3.1.1,
∂F(x) = hlim inf y→x f−(y),lim sup y→x+ f+(y)i Sh lim inf y→x− f−(y),lim sup y→x f+(y)i. (3.4) Từ (3.3), (3.4) và Định lý 1.1.5 ta suy ra f−(x) = lim inf y→x f−(y) và f+(x) = lim sup y→x f+(y). (3.5) Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng
f++(x) = lim sup y→x+
f+(y). (3.6)
Với mỗi δ > 0 tồn tại M ∈ R và ε > 0 sao cho
f(x0) 6 M h.k.n. trên [x, x+ε] và
Do đó,
f(x0) 6 f++(x) +δ h.k.n. trên [x, x+ε]. (3.7) Với mỗi y ∈ (x, x+ε) tồn tại ε0 > 0 sao cho
[y−ε0, y +ε0]⊂ [x, x+ε]. Theo (3.7), f+(y) 6 f++(x) +δ với mọi y ∈(x, x+ε). Do đó, lim sup y→x+ f+(y) 6 f++(x) +δ.
Vì δ > 0 được lấy tuỳ ý nên
lim sup y→x+
f+(y)6 f++(x). (3.8) Giả sử (3.6) không đúng. Theo (3.8), tồn tại δ0 >0 sao cho
lim sup y→x+
f+(y) < f++(x)−δ0.
Do đó tồn tại ε > 0 sao cho
f+(y) < f++(x)−δ0 với mọi y ∈ (x, x+ε). (3.9) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng
f(x0) 6 f++(x)−δ0 h.k.n. trên (x, x+ε). (3.10) Từ (3.9) suy ra rằng với mỗi y ∈(x, x+ε) tồn tạiεy > 0 và My < f++(x)−δ0 sao cho
Vy := (y −εy, y+εy) ⊂ (x, x+ε)
và
Do đó,
f(x0)6 f++(x)−δ0 h.k.n. trênVy. (3.11) Vì {Vy| y ∈(x, x+ε)} là một phủ mở của (x, x+ε) nên tồn tại một phủ con đếm được {Vyj| j = 1,2, ...} của {Vy| y ∈ (x, x+ε)} phủ khoảng (x, x+ε). Vì vậy, (3.10) được suy ra từ (3.11), và do đó
f++(x)6 f++(x)−δ0.
Đây là một điều mâu thuẫn. Ta đã chứng tỏ rằng đẳng thức (3.6) là đúng. Tương tự, ta có
f−−(x) = lim inf
y→x− f−(y). (3.12) Từ (3.4)-(3.6) và (3.12) ta suy ra
∂F(x) = hf−(x), f++(x)i [ hf−−(x), f+(x)i.
Đó là điều phải chứng minh. 2
Để chứng minh (3.6), ngoài cách lập luận của chúng tôi như trên (đã trình bày trong [17]), PGS. TS. Huỳnh Thế Phùng (Đại học Huế) có cách lập luận khác như sau: Đặt g(y) = f(y) nếu y ≥ x, f++(x)−1 nếu y < x. Ta có g+(y) = f+(y) nếu y > x, f++(x) nếu y = x, f++(x)−1 nếu y < x.
Vì vậy, theo (3.5), f++(x) =g+(x) = lim sup y→x
g+(y) = lim sup y→x+
f+(y).
Sau đây là một số ví dụ minh họa việc tính dưới vi phân Mordukhovich
nếu f ∈ L∞[a, b] và F là hàm cho bởi công thức (3.1) thì ∂F(x) là một đoạn số thực, hoặc là hợp của hai đoạn số thực rời nhau. (Như thường lệ, ta qui ước rằng đoạn số thực có thể suy biến thành một điểm.)
Ví dụ 3.1.1. Lấy E là một tập con đo được của[0,1]có tính chất sau: giao của một khoảng mở khác rỗng bất kỳ của [0,1] với E và với[0,1]\E đều có độ đo Lebesgue dương. Những tập như thế là tồn tại (xem [58, tr. 307]). Đặtf(t) = 1 nếu t ∈ E, f(t) = 0 nếu t ∈ [0,1]\E. Xét hàm F(x) = x R 0 f(t)dt (x ∈ [0,1]). Ta có f ∈ L∞[0,1] và f+(x) = f++(x) = 1 và f−(x) = f−−(x) = 0 với mọi
x ∈(0,1). Do đó, theo Định lý 3.1.2, ∂F(x) = [0,1] với mọi x∈ (0,1).
Nhận xét 3.1.1. Vì ∂F(x) = [0,1] với mọi x ∈ (0,1) nên theo Định lý 1.1.5,
∂ClF(x) = [0,1] với mọi x ∈ (0,1). Công thức này đã được thiết lập bởi R. T. Rockafellar (xem [14, tr. 191]).
Ví dụ 3.1.2. Lấy tập E như trong Ví dụ 3.1.1. Giả sử x0 ∈ E ∩(0,1) và
f(t) = 1 nếu t ∈ [x0,1]T E, 0 nếu t ∈ [x0,1]\E, 2 nếu t ∈ [0, x0)T E, 3 nếu t ∈ [0, x0)\E. Đặt F(x) = R0xf(t)dt (x ∈ [0,1]). Ta có f ∈ L∞[0,1] và f+(x0) = 3, f++(x0) = 1, f−(x0) = 0, f−−(x0) = 2. Theo Định lý 3.1.2, ∂F(x0) = 0,1∪ 2,3.
Hệ quả 3.1.1. Ngoài các giả thiết của Định lý 3.1.2, giả sử rằng ∂Fb (x) 6= ∅.
Khi đó ta có ∂F(x) = h f−(x), f+(x) i , và do đó ∂F(x) =∂ClF(x).
Chứng minh. Giả sử ∂Fb (x) 6= ∅. Lấy x∗ ∈ ∂Fb (x). Ta có lim inf u→x+ u R x f(t)dt u−x > x∗ lim sup u→x− u R x f(t)dt u−x 6 x∗. (3.13)
Với δ >0 được lấy tuỳ ý, tồn tại ε > 0 và M ∈ R sao cho
M < f++(x) +δ và f(x0) 6 M h.k.n. trên [x, x+ε]. Từ đó suy ra f(x0) 6 f++(x) +δ h.k.n. trên [x, x+ε]. Do đó, lim inf u→x+ u R x f(t)dt u−x 6 f++(x) +δ.
Vì δ > 0 được lấy tuỳ ý nên
lim inf u→x+ u R x f(t)dt u−x 6 f++(x). (3.14) Tương tự, f−−(x)6 lim sup u→x− u R x f(t)dt u−x . (3.15) Từ (3.13)-(3.15) ta suy ra f−−(x) 6 f++(x). Do đó, theo Định lý 3.1.2, ∂F(x) = h f−(x), f+(x) i
. Ta có điều phải chứng minh. 2
Nhận xét 3.1.2. Từ Hệ quả 3.1.1 ta suy ra rằng nếu dưới vi phân Mordukhovich
∂F(x) là một tập không lồi thì ∂Fb (x) =∅.
Ví dụ 3.1.3. Xét hàm số f : [a, b] → R ở trong Ví dụ 2.1.1. Như chúng ta đã biết, f là một hàm số Lipschitz trên [a, b]và khả vi Fréchet tại mọi điểm thuộc
khoảng (a, b). Đặt F(x) = Raxf0(t)dt (x ∈ [a, b]). Ta có f(x) = f(a) +F(x) với mọi x ∈[a, b]. Do đó, ∂ClF(x) =∂Clf(x), ∂F(x) =∂f(x), và b ∂F(x) = ∂fb (x) ={f0(x)}
với mọi x∈ (a, b). Vì f là một hàm Lipschitz trên [a, b]nên f0(x) ∈ L∞[a, b].
Theo Hệ quả 3.1.1,∂F(x) = ∂ClF(x)với mọi x∈ (a, b). Từ Ví dụ 2.1.1 ta có
∂Clf(x) = [−1,1] nếu x∈ P ∩(a, b), f0(x) nếu x ∈A. Do đó, ∂f(x) = [−1,1] nếu x∈ P ∩(a, b), f0(x) nếu x∈ A.
Hệ quả 3.1.2. Giả sử ϕ : I → R là một hàm số Lipschitz địa phương trên một khoảng mở I của R, x∈ I, và ∂ϕb (x) =6 ∅.Khi đó, ∂ϕ(x) =∂Clϕ(x).
Chứng minh. Vì I là một khoảng mở của R nên tồn tại a, b ∈ I sao cho
a < x < b. Do ϕ là Lipschitz địa phương trên I, ϕ là Lipschitz trên [a, b] và tồn tại đạo hàmϕ0 hầu khắp nơi trên[a, b](theo Định lý Rademacher). Từ đó ta suy ra rằng f := ϕ0 ∈ L∞[a, b], ϕ(u) = ϕ(a) +F(u) (với F(u) = Rauf(t)dt),
∂ClF(x) = ∂Clϕ(x), ∂F(x) = ∂ϕ(x), và ∂Fb (x) = ∂ϕb (x) 6= ∅. Theo Hệ quả 3.1.1, ∂ϕ(x) = ∂Clϕ(x). 2
Ký hiệu dưới vi phân đối xứng (symmetric subdifferential) của hàm sốϕ tại
x bởi ∂0ϕ(x) := ∂ϕ(x)∪[−∂(−ϕ)(x)] (xem [46, tr. 84, tập I]). Vì ∂ϕ(x) ⊂
∂0ϕ(x)⊂ ∂Clϕ(x) và nếu ϕ là khả vi Fréchet tại x thì ∂ϕb (x) = {ϕ0(x)} 6= ∅, nên từ Hệ quả 3.1.2 ta thu lại được kết quả thú vị sau đây của J. M. Borwein
và X. Wang.
Hệ quả 3.1.3 ([13, Theorem 1]). Cho I là một khoảng mở củaRvàϕ : I → R là một hàm khả vi và Lipschitz địa phương. Khi đó, ∂ϕ(x) = ∂Clϕ(x) =
∂0ϕ(x).
3.2 Dưới vi phân của phiếm hàm tích phân trên không gian L1(Ω;E) Nếu không nói gì thêm,(Ω,A, à)là một không gian có độ đo không nguyên tử σ−hữu hạn đầy đủ, E là một không gian Banach khả ly và f : ΩìE → R¯ là một hàm A ⊗ B(E)−đo được.
Kết quả chính của mục này là các công thức tính chính xác dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân có dạng
F(u) =
Z
Ω
f(ω, u(ω))dà(ω) (u ∈ L1(Ω;E)). (3.16) Lưu ý rằng bài toán tính toán hoặc ước lượng dưới vi phân Mordukhovich
∂F(u), với u ∈ Lp(Ω;E) (p > 1), cho đến nay vẫn là một bài toán mở.
Giả sử F là một tập con của L0(Ω; ¯R)−không gian các hàm đo được từ Ω vào R¯. Theo [31, tr. 65], hàm infimum cốt yếu (essential infimum) ess inf
v∈F v
của F là một hàm đo được từ Ωvào R¯ thoả mãn các điều kiện sau: (i) với mỗiu ∈ F, ess inf
v∈F v ≤ u hầu khắp nơi;
(ii)nếu u˜ : Ω → R¯ là một hàm đo được sao cho với mỗiu ∈ F ta có u˜ ≤ u
hầu khắp nơi, thì u˜ ≤ ess inf
v∈F v hầu khắp nơi. Sự tồn tại và tính duy nhất của hàmess inf
v∈F v cho trường hợpà là độ đo hữu hạn đã được chứng minh, ví dụ như ở trong [63, tr. 43 - 44]. Từ kết quả này
ta suy ra ngay sự tồn tại và tính duy nhất của ess inf
v∈F v cho trường hợp độ đo à
là σ−hữu hạn. Có thể tìm hiểu thêm thông tin chi tiết về hàm ess inf
v∈F v và các ứng dụng của nó ở trong các tài liệu [15], [31], [63].
Nếu tồn tại một phần tử v0 ∈ F sao cho với mỗi v ∈ F ta có v ≥ v0 hầu khắp nơi, thì hiển nhiên ess inf
v∈F v = v0 hầu khắp nơi.
Định nghĩa 3.2.1 (xem [31]). (i) Hàm s : Ω → E được gọi là hàm đơn giản nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng
s = m
X
i=1
ciχAi,
ở đây m ∈ N, ci ∈ E, Ai ∈ A (i = 1,2, ..., m) đôi một rời nhau, Ω = m
S
i=1
Ai,
χA(ω) = 1nếu ω ∈ A và χA(ω) = 0 nếu ω ∈ X\A.
(ii) Hàmu: Ω →E được gọi là đo được mạnh nếu tồn tại một dãy các hàm đơn giản sk : Ω → E sao cho
lim
k→∞ksk(ω)−u(ω)kE = 0 h.k.n.
(iii) Hàm đơn giản s : Ω → E được gọi là khả tích Bochner nếu ta có thể biểu diễn nó dưới dạng
s = m
X
i=1
ciχAi,
ở đây m ∈ N, ci ∈ E, Ai ∈ A (i = 1,2, ..., m) đôi một rời nhau, Ω = m
S
i=1
Ai,
ci = 0 nếu à(Ai) = ∞.Với mỗi A ∈ A, tích phân Bochner củas trênA được định nghĩa bởi công thức
Z A sdà := m X i=1 à(A∩Ai)ci, ở đây à(A∩Ai)ci := 0 nếu ci = 0 và à(A∩Ai) =∞.
(iv) Hàm đo được mạnh u : Ω → E được gọi là khả tích Bochner nếu tồn tại một dãy các hàm đơn giản sk : Ω → E khả tích Bochner sao cho
lim k→∞
R
Ωksk −ukdà = 0 và lim
k→∞ksk(ω)−u(ω)kE = 0 hầu khắp nơi. Với A ∈ A, tích phân Bochner của utrên A được định nghĩa bởi
Z A udà := lim k→∞ Z A skdà.
Ký hiệu bởiL1(Ω;E)không gian tất cả các hàmu : Ω →E khả tích Bochner trên Ω và được trang bị chuẩn kuk :=RΩku(ω)kdà với mọi u∈ L1(Ω;E).
Sử dụng Định lý 3.8 ở [15] trong trường hợpX =L1(Ω;E) vàM : Ω ⇒ E
là ánh xạ đa trị cho bởi M(ω) =E với mọi ω ∈ Ω,ta có ess inf u∈L1(Ω;E)f(u)(ω) = inf e∈Ef(ω, e) h.k.n., (3.17) ở đây f(u)(ω) := f(ω, u(ω)). Với mỗi u∈ L1(Ω;E),đặt If(u) = RΩ∗f(ω, u(ω))dà := infnRΩv(ω)dà | v ∈ L1(Ω;R), v(ω) ≥ f(ω, u(ω)) h.k.n.o. (3.18)
Nếu ω 7→ f(ω, u(ω)) là một hàm khả tích trên Ω thì hiển nhiên If(u) =
F(u), ở đó F(u) được cho bởi (3.16).
Các phiếm hàm tích phân có dạng (3.18) đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu (xem [15], [16], [23], [25], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36], [54], [56] và các tài liệu dẫn ra trong đó). Nói riêng ra, nhiều kết quả thú vị về phiếm hàm tích phân dạng (3.18) có ở trong các công trình của E. Giner. Sau đây là một trong số những kết quả như vậy.
Định lý 3.2.1 (xem [32]). Giả sửxlà một điểm cực tiểu địa phương của phiếm hàm If(ã) trên L1(Ω;E) và f(x) ∈ L1(Ω;R). Khi đó, với mỗi u ∈ L1(Ω;E),
ta có f(ω, x(ω)) ≤ f(ω, u(ω)) hầu khắp nơi.
Hàm v : Ω → E∗ được gọi là đo được yếu∗ nếu với mỗi e ∈ E, hàm số Ω 3 ω 7→ hv(ω), ei là đo được; xem [28, Definition 2.101(iii)]. Ký hiệu bởi
Lw∞(Ω;E∗) không gian tất cả các hàm đo được yếu∗ v : Ω → E∗ sao cho hàm Ω 3ω 7→ kv(ω)k thuộcL∞(Ω;R). Không gianLw∞(Ω;E∗) được trang bị chuẩn kvkLw ∞(Ω;E∗) = ess sup ω∈Ω kv(ω)k, ở đây ess sup ω∈Ω kv(ω)k = inf{α > 0 | kv(ω)k < α h.k.n.}; xem [31, Definition 2.111].
Kết quả sau đây đã được I. Fonseca và G. Leoni phát biểu và chứng minh trong [31]. Tuy nhiên, chứng minh ở đó không chặt chẽ. Vì vậy, dưới đây sẽ trình một chứng minh mới của tác giả luận án. (Chứng minh khá dài này đã được Giáo sư I. Fonseca và Giáo sư G. Leoni công nhận và đưa lên các trang web liên quan đến cuốn sách nói trên: http://www.math.cmu.edu/~ leoni/ book1, http://www.math.cmu.edu/~ leoni/Typos.pdf, http://www.math.cmu.edu/~ leoni /notes.pdf.)
Định lý 3.2.2 (xem [31, Theorem 2.112]). Giả sử (Ω,A, à) là một không gian có độ đo σ−hữu hạn vàE là một không gian Banach khả ly. Khi đó:
(i) Nếu T ∈ (L1(Ω;E))∗ thì tồn tại duy nhất một phần tử v ∈ Lw∞(Ω;E∗) sao cho
T(u) =
Z
Ω
với mọi u ∈L1(Ω;E). Hơn thế, kTk = kvkLw
∞(Ω;E∗).
(ii) Mọi phiếm hàm T có dạng (3.19), ở đó v ∈ Lw∞(Ω;E∗),là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L1(Ω;E).
Chứng minh. (i)Lấy T ∈ (L1(Ω;E))∗. VìE là không gian khả ly nên tồn tại {en} ⊂ E\{0} sao cho {en} = E. Với mỗi n ∈ N, đặt τn(u) = T(uen) với mọi u∈ L1(Ω) = L1(Ω;R). Ta có τn ∈ (L1(Ω))∗ và
kτnk(L1(Ω))∗ = sup u∈L1(Ω)\{0}
|T(uen)|
kukL1(Ω) ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kenkE < ∞.
Theo [28, Corollary 2.41], tồn tại duy nhất ven ∈ L∞(Ω) sao cho
T(uen) = Z Ω ven(ω)u(ω)dà ∀u ∈ L1(Ω). (3.20) Ta có kvenkL∞(Ω) = kτnk(L1(Ω))∗ ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kenkE. (3.21) Tương tự, với mỗi α, β, γ ∈ Q và mỗi i, j, k ∈ N, tồn tại duy nhất phần tử
vαei+βej+γek ∈ L∞(Ω) sao cho
T(u(αei+βej +γek)) =
Z
Ω
vαei+βej+γek(ω)u(ω)dà ∀u ∈L1(Ω).
Ta có kvαei+βej+γekkL∞(Ω) ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kαei + βej + γekkE. Vì phần tử
vαei+βej+γek là duy nhất và T là tuyến tính nên
αvei(ω) +βvej(ω) +γvek(ω) =vαei+βej+γek(ω) h.k.n. (3.22) Do đó,
Đặt ˜
Ω = nω ∈ Ω | αvei(ω) +βvej(ω) +γvek(ω) = vαei+βej+γek(ω),
|αvei(ω) +βvej(ω) +γvek(ω)| ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kαei +βej +γekkE,
∀i, j ∈ N, ∀α, β ∈Qo.
Từ (3.22) và (3.23) suy ra Ω˜ ∈ A và à(Ω\Ω) = 0˜ . Lấy e ∈ E bất kỳ. Vì {en} trù mật trong E nên tồn tại một dãy {enj} hội tụ đến e. Với mỗi ω ∈ Ω˜,
{venj(ω)} là một dãy Cauchy trong R. Do đó {venj(ω)} hội tụ đến một phần tử v˜e(ω) ∈ R. Rõ ràng v˜e(ω) không phụ thuộc vào việc chọn dãy {enj}, miễn là {enj} hội tụ đến e. Vì ω ∈ Ω˜ nên |venj(ω)| ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kenjkE với mọi
j ∈ N. Cho j → ∞, ta có |v˜e(ω)| ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kekE với mọi ω ∈ Ω˜. Do đó v˜e ∈ L∞(Ω). Với e = αen +βem, ở đây α, β ∈ Q và m, n ∈ N, ta có ˜
ve(ω) = vαen+βem(ω) với mọi ω ∈ Ω˜. Thật vậy, lấy ω ∈ Ω˜ và giả sử {enj} là một dãy hội tụ đến e = αen +βem khi j → ∞. Vì ω ∈Ω˜ nên
|venj(ω)−(αven(ω) +βvem(ω))| ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kenj −(αen+βem)kE ∀j.
Từ đó ta suy ra lim
j→∞venj(ω) = αven(ω) + βvem(ω). Điều này chứng tỏ ˜
ve(ω) = vαen+βem(ω) với mọi ω ∈ Ω˜. Nói riêng ra, v˜en(ω) = ven(ω) với mọi ω ∈ Ω˜. Với mỗi e ∈E, đặt
ve(ω) =
˜
ve(ω) nếu ω ∈ Ω˜,
0 nếu ω ∈Ω\Ω˜.
Lấy e,˜e ∈ E bất kỳ. Giả sử các dãy {enj} và {en˜j} tương ứng hội tụ đến e
và e.˜ Ta có |venj(ω)−venj˜ (ω)| ≤ kTk(L1(Ω;E))∗kenj −en˜jkE với mọi j ∈ N và mọi ω ∈ Ω˜. Cho j → ∞, ta nhận được
|ve(ω)−ve˜(ω)| ≤ kTk(L1(Ω;E))∗ke −e˜kE ∀ω ∈ Ω˜. (3.24) Từ đó suy ra rằng với mỗi ω ∈ Ω˜, E 3 e 7→ ve(ω) là hàm liên tục. Với
tùy ý ω ∈ Ω˜. Ta có αjvenj(ω) +βjve˜nj(ω) = vαjenj+βjenj˜ (ω) với mọi j ∈ N.
Vì E 3 e 7→ ve(ω) là hàm liên tục nên lấy giới hạn ở hai vế của đẳng thức trên khi j → ∞, ta thu được αve(ω) +βv˜e(ω) =vαe+βe˜(ω). Như vậy, với mỗi
ω ∈ Ω˜, E 3 e 7→ ve(ω) là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Trong công thức (3.20) thay n bởi nj và cho j → ∞,ta có
T(ue) =
Z
Ω
ve(ω)u(ω)dà ∀u ∈ L1(Ω). (3.25) Xét hàm v : Ω → E∗ được cho bởi công thức v(ω) : E → R, e 7→ ve(ω). Do với mỗi ω ∈Ω˜ ánh xạ v(ω)(ã) là tuyến tính liên tục và do tính trù mật của dãy {en} trong E, từ (3.21) ta suy ra rằng kv(ω)kE∗ = sup n |hv(ω), eni| kenkE = supn |ven(ω)| kenkE ≤ kTk(L1(Ω;E))∗
với mọi ω ∈ Ω˜. Mặt khác, với mỗi e ∈ E ánh xạΩ 3 ω 7→ hv(ω), ei = ve(ω) là đo được. Do đó, v là đo được yếu∗. Ta có
kvkLw ∞(Ω;E∗) = ess sup ω kv(ω)kE∗ = ess sup ω sup n |ven(ω)| kenkE ≤ kTk(L1(Ω;E))∗.