4.2. Phương pháp tính tích phân bất định . . . . 56 4.3. Tích phân của những hàm hữu tỉ . . . . 58 4.4. Tích phân của hàm vô tỉ . . . . 61 4.5. Tích phân của hàm lượng giác . . . . 64 4.6. Tích phân xác định . . . . 68 4.7. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . 71 4.8. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . 73 4.9. Tích phân suy rộng loại 2 . . . . 80 4.10. Ứng dụng của tích phân . . . . 85 4.11. Bài tập . . . . 93
4.1 Nguyên hàm và tích phân bất định
4.1.1 Bài toán thực tế
Bài toán điều tra dân số
Theo mô hình điều tra dân số về sự tăng trưởng của dân số thế giới, tốc độtăng trưởng của dân số thế giới từ năm 1950 là p(t) = −0,012.t2+ 48.t−47925, với t là năm theo lịch, p(t) (triệu người/năm).
1. Theo kết quả điều tra dân số năm 2000 thì tổng dân số là 6000 triệu người. Hãy tìm hàm tổng dân sốP(t) theo năm.
1.P(t) chính là hàm ngược lại của đạo hàm (nguyên hàm) -antiderivative P(t) =−0,012.t 3 3 + 48. t2 2 −47925.t+C
Để tìm C ta thay t = 2000 và P(2000) = 6000. Khi đó ta thu được C = 31856000 và P(t) =
−0,004.t3+ 24.t2−47925.t+ 31856000
2. Thay t= 2050 ta sẽ dự đoán được tổng dân số năm 2050 làP(2050) = 9250 triệu người.
4.1.2 Nguyên hàm
Định nghĩa 4.1. Hàm sốF(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng X, nếu như F(x)liên tục và khả vi trongX và với mọi∀x∈X luôn có đẳng thức
F0(x) =f(x) (4.1)
hoặc là dF(x) =f(x)dx.
Định lý 4.1
Nếu hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng X ⊂ R thì hàm số Φ(x) =F(x) +C,vớiC là hằng số, cũng là nguyên hàm của hàm sốf(x)trong khoảngX⊂R.
Ngược lại, nếu những hàm số F(x) và Φ(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng
X⊂R thì tồn tại hằng sốC∈Rsao cho Φ(x) =F(x) +C.
4.1.3 Tích phân bất định
Định nghĩa 4.2. Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng X ⊂ R, khi đó biểu thức Φ(x) =F(x) +C,vớiC là hằng số bất kỳ, được gọi làtích phân bất định của hàm số
f(x) trong khoảngX.
Tích phân bất định này được kí hiệu là R
f(x)dx. Như vậy tích phân bất định của f(x) là
R
f(x)dx=F(x) +C, với F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng X, còn C là hằng số bất kỳ.
Bảng công thức tích phân bất định cơ bản 1. R 0dx=C. 2. R 1.dx=x+C. 3. R xµdx= xµ+1µ+1 +C, µ6=−1. 4. R dx x = ln|x|+C. 5. R axdx= lnaxa+C, a >0, a6= 1. 6. R exdx=ex+C. 7. R √dx 1−x2 = arcsinx+C, x6=±1. 8. R 1+xdx2 = arctanx+C. 9. Rsinxdx=−cosx+C. 10. R cosxdx= sinx+C. 11. R dx cos2x = tanx+C. 12. R dx sin2x =−cotx+C. 13. R sinhxdx= coshx+C. 14. Rcoshxdx= sinhx+C. 15. R coshdx2x = tanhx+C. 16. R sinhdx2x =−cothx+C. 17. R x2dx−a2 = 2a1 ln|xx+a−a|+C. 18. R √ dx x2±a2 = ln|x+√x2±a2|+C.
Những tính chất của tính phân bất định Từ định nghĩa tích phân bất định ta trực tiếp suy ra những đẳng thức sau:
1. dR
f(x)dx=f(x)dx.
2. R
dF(x) =F(x) +C.
Quy tắc tính tích phân bất định cơ bản Quy tắc I. Nếu sốa6= 0 thì luôn có đẳng thức sau
Z
af(x)dx=a Z
f(x)dx.
Quy tắc II. Luôn có đẳng thức sau
Z (f(x)±g(x))dx= Z f(x)dx± Z g(x)dx.
Quy tắc III.Nếu ta có đẳng thứcR
f(t)dt=F(t) +C thì ta luôn có đẳng thức
Z
f(ax+b)dx= 1
aF(ax+b) +C,(a6= 0).