• Giống nhau
Biến đổi Fourier nhanh và biến đổi wavelet rời rạc đều là những phép tính tuyến tính, từ đó sinh ra một cấu trúc dữ liệu chứa log2n đoạn có chiều dài khác nhau, thường được làm kín và biến đổi nó sang một vector dữ liệu khác có chiều dài 2n.
Những tính chất tốn học của các ma trận trong cả hai phép biến đổi cũng tương tự nhau. Ma trận nghịch đảo trong biến đổi Fourier nhanh và biến đổi wavelet rời rạc đều là chuyển vị từ ma trận gốc. Chưa hết, xét về mặt kết quả, ta có thể xem cả hai phép biến đổi như một phép quay trong không gian hàm sang một miền khác. Đối với biến đổi Fourier nhanh, miền mới chứa các hàm cơ sở có dạng sin và cos. Đối với biến đổi wavelet, miền mới chứa nhiều hàm cơ sở phức tạp hơn gọi là các wavelet, wavelet mẹ hay giải tích wavelet.
Cả hai phép biến đổi cịn có điểm tương đồng khác. Các hàm cơ sở được địa phương hóa trong miền tần số, tạo ra những cơng cụ toán học như phổ năng lượng (bao nhiêu năng lượng chứa trong một khoảng tần số) và đồ thị mức rất hữu dụng trong việc tách các tần số và tính tốn năng lượng phân phối.
Điểm khác nhau thú vị nhất giữa hai phép biến đổi là cá nhân từng hàm wavelet được địa phương hóa trong khơng gian. Các hàm sin và cos Fourier thì khơng. Đặc trưng địa phương hóa này, cùng với sự địa phương hóa của wavelet trong tần số, tạo nên nhiều hàm và toán tử dùng wavelet thưa khi được biến đổi sang miền wavelet. Chính sự thưa này là tốt cho một số ứng dụng như nén dữ liệu, trích đặc trưng ảnh, và giảm nhiễu cho các chuỗi thời gian.
Một cách khác để thấy sự khác nhau về độ phân giải thời gian – tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi wavelet là nhìn vào độ phủ của hàm cơ sở trong mặt phẳng thời gian – tần số. Hình 2.1 cho thấy một biến đổi Fourier khung, trong đó khung chỉ là một sóng hình thang đơn giản. Khung sóng thang cắt hàm sin hay cos sao cho vừa với độ rộng cụ thể của một khung. Bởi vì chỉ có một khung đơn duy nhất được dùng cho mọi tần số trong biến đổi Fourier khung nên độ phân giải là như nhau tại mọi nơi trong mặt phẳng thời gian – tần số.
Hình 2.1 – Hàm cơ sở Fourier, trục thời gian – tần số và độ phủ trong mặt phẳng.
Thuận lợi của biến đổi wavelet là khung này biến thiên. Để cơ lập sự khơng liên tục của tín hiệu, cần những hàm cơ sở ngắn. Nhưng đồng thời, để thu được những phân tích tần số tỉ mỉ, cần những hàm cơ sở dài. Tức là phải xây dựng những hàm cơ sở tần số cao thì ngắn cịn tấn số thấp thì dài. Và đây chính là thứ ta
có khi sử dụng biến đổi wavelet. Hình 2.2 cho thấy độ phủ của một hàm wavelet trong mặt phẳng thời gian – tần số, hàm wavelet Daubechies.
Hình 2.2 – Hàm cơ sở wavelet Daubechies, trục thời gian – tần số và độ phủ trong mặt phẳng.
Cần nhớ là biến đổi wavelet khơng có một tập đơn các hàm sin và cos giống biến đổi Fourier. Thay vào đó, biến đổi wavelet có một tập vơ hạn những hàm cơ sở có thể. Vì vậy, biến đổi wavelet cung cấp những thông tin mà các phương pháp thời gian – tần số khác khơng thấy được, ví như phương pháp Fourier.