Bây giờ ta bắt đầu vào lý thuyết wavelet, nơi ta phân tích tín hiệu trong thời gian dựa vào lượng tần số của nó. Khác với giải tích Fourier, nơi ta phân tích tín hiệu bằng các hàm sin và cos, nay ta dùng các hàm wavelet.
• Biến đổi wavelet rời rạc
Những phép giãn và phép tịnh tiến của hàm mẹ Φ( )x , định nghĩa một cơ sở trực giao, cơ sở wavelet của ta:
2( , )( ) 2 (2 ) ( , )( ) 2 (2 ) s s s l x − − x l = −
Các biến s và l là số nguyên, để thay đổi tỷ lệ và giãn hàm mẹ, sinh ra các wavelet, như là họ wavelet Daubechies. Chỉ số tỷ lệ s cho biết độ rộng của
wavelet, và chỉ số địa phương l cho biết vị trí của nó. Điều khiến nền tảng wavelet trở nên đặc biệt thú vị chính là khả năng tự đồng dạng khi thay đổi tỷ lệ. Một khi ta biết hàm mẹ, ta sẽ biết mọi thứ về cơ sở.
Để mở rộng miền dữ liệu tại các độ phân giải khác nhau, wavelet được dùng trong phương trình tỷ lệ: 2 1 1 ( ) N ( 1)k Φ(2 ) k k W x c x k − + =− = − +
với W(x) là hàm tỷ lệ từ hàm mẹ Φ, và ck là những hệ số wavelet. Hệ số wavelet phải thỏa mãn ràng buộc tuyến tính và ràng buộc bậc hai sau:
1 1 2 ,0 0 0 2, 2 N N k k k l l k k c c c − − + = = = =
với là hàm delta và l là chỉ số địa phương.
Một trong những đặc trưng hữu hiện nhất của wavelet là nó dễ cho các nhà khoa học chọn định nghĩa hệ số cho một hệ thống wavelet cho trước ứng với một vấn đề cho trước. Trong bài báo gốc của Daubechies, bà đã phát triển một họ wavelet đặc biệt rất tốt cho xử lý đa thức. Wavelet Haar cịn đơn giản hơn, thường được dùng cho mục đích học.
Hãy xem các hệ số { , ,..., }c c1 2 cn như là một bộ lọc. Bộ lọc hay các hệ số thay thế cho một ma trận biến đổi, thứ được áp dụng cho một vector dữ liệu thô. Các hệ số được sắp xếp thứ tự theo hai dạng, một bên hoạt động như một bộ lọc trơn (như phép trung bình động), một bên mang ra các thông tin chi tiết của dữ liệu. Hai dạng thứ tự của các hệ số gọi là một cặp bộ lọc đối xứng gương cầu phương theo cách nói trong xử lý tín hiệu.
Để kết thúc phần giới thiệu về biến đổi wavelet rời rạc, ta hãy xem thử làm sao áp dụng ma trận hệ số wavelet cho vector dữ liệu. Ma trận được ứng dụng trong một thuật toán phân tầng, thường gọi là thuật tốn hình chóp. Các hệ số wavelet được sắp xếp sao cho những hàng lẻ thì chứa các hệ số có tác dụng như bộ
lọc làm trơn, những hàng chẵn thì chứa các hệ số với các ký hiệu khác nhau giúp mang lại chi tiết của dữ liệu. Ma trận được áp dụng lần đầu cho vector gốc. Sau đó, vector sẽ trơn hơn và giảm đi một nửa. Tiếp tục áp dụng ma trận cho vector này. Thế là vector lại trơn hơn và cũng bị giảm đi một nửa. Quá trình cứ thế lặp lại cho đến khi tính trơn đến một ngưỡng nào đó mà dữ liệu cịn thể hiện được. Nghĩa là, mỗi lần áp dụng ma trận ta sẽ được một độ phân giải cao hơn của dữ liệu đồng thời làm trơn dữ liệu còn lại. Đầu ra của biến đổi wavelet rời rạc chứa các thành phần trơn còn lại ấy và tất cả thành phần chi tiết tích lũy được.
• Biến đổi wavelet nhanh
Thơng thường ma trận biến đổi wavelet rời rạc không thưa, do đó tại lại đối mặt với cùng một vấn đề như trong biến đổi Fourier rời rạc. Ta sẽ giải quyết nó cùng một cách như biến đổi Fourier nhanh, phân tích biến đổi wavelet rời rạc thành tích các ma trận thưa hơn có tính tự đồng dạng với nhau. Kết quả là một thuật toán chỉ cần n phép toán cho một vector n mẫu. Đây chính là biến đổi
wavelet rời rạc nhanh của Mallat và Daubechies.
Với phần sơ lược phía trên về wavelet, ta đã phần nào hình dung được wavelet là gì và dùng wavelet để làm gì. Qua những kiến thức cơ bản trên, ta tiếp tục đến với trọng tâm của vấn đề rút trích đặc trưng: Gabor Wavelet.