Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên

2 Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork

2.1.2. Tập hút của hệ động lực ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.11. Một ánh xạK : Ω → 2Rnhận giá trị tập con của Rđược gọi là đo đượcnếu với mỗi x ∈ R thì ánh xạ từ Ω → R, ω 7→ d(x, K(ω)) là ánh xạ đo được. Trong đó,

d(A, B) = sup

n

infd(x, y) : y ∈ B :x ∈ A

o

là nửa metric Hausdorff.

Một ánh xạ nhận giá trị tập đóng, đo được được gọi là mộttập đóng ngẫu nhiên. Một tập ngẫu nhiênK được gọi bất biến (chặt)ϕ- forward nếu với mọi t > 0,

ϕ(t, ω, K(ω)) ⊂ K(θtω) (ϕ(t, ω, K(ω)) = K(θtω)), h.c.c.

Chú ý 2.12. (i) Tập đóng ngẫu nhiên không phụ thuộc vào việc chọn metric d. Hơn nữa với mọi tập đóng ngẫu nhiên khác rỗngω →K(ω)tồn tại dãy đo được kn : Ω → R, n ∈ N sao choK(ω) = kn(ω) : n∈ N .

(ii) Trong trường hợp tổng quát, giao bất kì các tập đóng ngẫu nhiên thì chưa chắc là một tập đóng ngẫu nhiên. Tuy nhiên nếu (Kt)t∈

I là một dãy giảm các tập compact ngẫu nhiên thì K = lim

t∈I Kt = T

t

Kt là một tập đóng ngẫu nhiên.

Định nghĩa 2.13. Cho một tập đóng ngẫu nhiên K, tập hợp

được gọi là tậpΩ- giới hạn củaK. Theo định nghĩa trên ΩK(ω)là tập đóng. Tương tự như định nghĩa tậpΩ- giới hạn trong tất định ta cũng có định nghĩa tương đương sau

ΩK(ω) =ny ∈ R : ∃tn → ∞, xn ∈ K(θ−tnω) : ϕ(tn, θ−tnω, xn) −−−→n→∞ yo. Tậpθ- chuyển của một tậpΩ- giới hạn là

ΩK(·)◦θt = Ω(K, θtω) = {y ∈ R : ∃ tn → ∞ và xn ∈ K(θ−tn+tω) :

ϕ(tn, θ−tn+tω, xn) −−−→n→∞ y}. Nhận xét sau chứng minh hoàn toàn tương tự như trong trường hợp tất định, trong đó ta sử dụng giả thiết về tính liên tục củaϕ(t, ω, x).

Nhận xét 2.14. TậpΩ- giới hạn của một tập đóng ngẫu nhiênK là bất biến.

Chứng minh. Vớiy ∈ ΩK(ω), tồn tại các dãy tn → ∞ và xn ∈ K(θ−tnω) sao choy = lim

n→∞ϕ(tn, θ−tnω, xn). Vớit > 0điều này dẫn đến ϕ(t, ω, y) = lim n→∞ϕ(t+tn, θ−tnω, xn) = lim n→∞ϕ(t+tn, θ−t−tnθtω, xn) = lim n→∞ϕ( ˜tn, θ−t˜nθtω, xn), vớit˜n = t+tn → ∞ vàxn ∈ K(θ−tnω) = K(θ−t˜ nθtω).Do đó từ định nghĩa tậpθ- chuyển mà ta cóϕ(t, ω, y) ∈ ΩK(θtω).

Ngoài cách chứng minh trên, ta còn có cách chứng minh thuần "tất định" như sau

Chứng minh Nhận xét 2.14. Với mọiB ⊂ R, t ≥ 0vàω ∈ Ω, ϕ(t, ω,ΩK(ω)) = ϕ t, ω,\ t≥0 [ s≥t ϕ(s, θ−sω)K(θ−sω)

⊂ \ t≥0 ϕ t, ω,[ s≥t ϕ(s, θ−sω)K(θ−sω) ⊂ \ t≥0 [ s≥t ϕ(t, ω, ϕ(s, θ−sω)K(θ−sω)) = \ t≥0 [ s≥t ϕ(t+s, θ−sω, K(θ−sω)) = \ t≥0 [ s≥t ϕ(t+s, θ−t−sω ◦θtω, K(θ−t−sω ◦θtω)) = \ t≥0 [ τ≥s+t ϕ(τ, θ−τ ◦θtω, K(θ−τ ◦θt(ω)) = \ s≥t [ τ≥s ϕ(τ, θ−τ ◦θtω, K(θ−τ ◦θt(ω)) = ΩK(θtω). Ở đây ta sử dụng f T α Aα ⊂ T α f(Aα) với hàm f bất kì, và f(A) ⊂ f(A)

vớif là hàm bị chặn lần lượt tương ứng với hai kí hiệu tập con.

Định nghĩa 2.15(Tập hút ngẫu nhiên). Một tập ngẫu nhiên A được gọi là hút

tập ngẫu nhiênB nếu

d(ϕ(t, θ−tω, B(θ−tω)), A(ω)) −−−→t→∞ 0, h.c.c.

Định nghĩa 2.16(Tập hấp thụ ngẫu nhiên). Nếu 2 tập ngẫu nhiênA, B sao cho

P- h.c.c tồn tại thời điểmtB(ω)mà với mọit ≥tB(ω)

ϕ(t, θ−tω, B(θ−tω)) ⊂ A(ω), thìAđược gọihấp thụB, vàtB được gọithời điểm hấp thụ.

Nhận xét 2.17. Nếu một tập ngẫu nhiên Ahút tập ngẫu nhiênB thì

ΩB ⊂ A, h.c.c.

Chứng minh. VìAhútB, theo định nghĩa ta có với mọi >0, tồn tại thời điểm τ = (τ(ω)) sao cho d(ϕ(t, θ−tω, B(θ−tω)), A(ω)) < với mọi t > τ. Cùng với nhận xétd(A, B) = d( ¯A, B), ta có d [ s≥τ ϕ(s, θ−sω, B(θ−sω)), A(ω) = d [ s≥τ ϕ(s, θ−sω, B(θ−sω)), A(ω) = sup s≥τ d ϕ(s, θ−sω, B(θ−sω)), A(ω) ≤ . Mặt khác, ΩB(ω) ⊂ [ s≥t ϕ(s, θ−sω, B(θ−sω)), ∀t ≥0, nênd(ΩB(ω), A(ω)) < . VậyΩB ⊂ A.

Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất của một tậpΩ-giới hạnΩB của tập ngẫu nhiênB trong trường hợp tồn tại một tập compact ngẫu nhiênAhấp thụB.

Mệnh đề 2.18. Giả sửA, B là hai tập ngẫu nhiên màAhấp thụB, vàAlà tập compactP- h.c.c.Khi đóP- hầu chắc chắn

(i) ΩB(ω) khác rỗng, vàΩB(ω) ⊂A(ω), do đó nó là tập compact.

(ii) ΩB(ω) là bất biến chặt.

(iii) ΩB(ω) hútB.

Chứng minh. Từ giả thiếtAhấp thụB, tồn tại thời điểmtB(ω)sao cho với mọi t≥ tB(ω) :

ϕ(t, θ−tω, B(θ−tω)) ⊂ A(ω).

Do đó với dãy (tn)n∈N tiến tới vô cùng và dãy (bn)n∈N ⊂ B(θ−tnω) thì với n đủ lớn sao chotn ≥ tB(ω) ta có

VìA(ω) là tập compact nên với dãy ϕ(tn, θ−tnω, bn) như trên tồn tại dãy con hội tụ tới điểmy ∈ X.

Chứng minh(i).Với mọi dãytn vàbn xác định như trên, ta có điểm giới hạn y = limϕ(tn, θ−tnω, bn) thỏa mãny ∈ ΩB(ω)nên ΩB(ω) 6= ∅. Hơn nữa

ΩB(ω) = \ t≥0 [ s≥t ϕ(s, θ−sω, B(θ−sω)) ⊂ \ t≥tB(ω) [ s≥t ϕ(s, θ−sω, B(θ−sω)) ⊂ A(ω),

nênΩB(ω) là tập con đóng của một tập compact nên nó là tập compact.

Chứng minh(ii).Từ Nhận xét 2.14 và từ định nghĩa tính bất biến chặt, ta chỉ cần chứng minh với mọi s ≥ 0 thì ΩB(θsω) ⊂ ϕ(s, ω)ΩB(ω). Thật vậy, giả sử y ∈ ΩB(θsω) với s ≥ 0. Khi đó y = lim

n→∞ϕ(tn, θ−tn+sω, bn) với các dãy tn → ∞và bn ∈ B(θ−tn+sω), cho nên y = lim n→∞ϕ(s, ω)ϕ(tn−s, θ−tn+sω, bn). Vớinđủ lớntn−s ≥tB(ω)đặt kn := ϕ(tn −s, θ−tn+sω, bn) ∈ A(ω).

Khi đó ta trích ra được một dãy conknj hội tụ tới u ∈ ΩB(ω). Vì ϕ(t, ω)là hàm liên tục nên y = lim n→∞ϕ(s, ω)ϕ(tn −s, θ−tn+sω, bn) = ϕ(s, ω) lim n→∞ϕ(tn−s, θ−tn+sω, bn) =ϕ(s, ω, u), hayy ∈ ϕ(s, ω)ΩB(ω).

Chứng minh(iii). Nếu ΩB(ω) không hút B thì từ định nghĩa tồn tại δ > 0, dãytn → ∞và dãybn ∈ B(θ−tnω) sao cho với mọin∈ N

Nhưng dãy ϕ(tn, θ−tnω, bn)n∈

N có dãy con hội tụ tới một điểm trongΩB(ω), cùng với tính liên tục của hàmϕ(t, ω) mẫu thuẫn với giả thiết phản chứng.

Mệnh đề sau đưa ra một số tính chất của một tập Ω- giới hạn của một tập compact ngẫu nhiênAmà hấp thụ một tập ngẫu nhiênB nào đó.

Mệnh đề 2.19. Giả sửA, Blà các tập ngẫu nhiên sao choAlà compactP-h.c.c và A hấp thụ B. Khi đó ΩB ⊂ ΩA, P- h.c.c. Hơn nữa, ΩA khác rỗngP- h.c.c vàΩA hútB.

Chứng minh. Lấy y ∈ ΩB(ω) thì theo định nghĩa y = lim

n→∞ϕ(tn, θ−tnω, bn)

với các dãytn → ∞và bn ∈ B(θ−tnω).ChọnT ≥0và đặt N0 = minn∈ N :tn ≥T +tB(θ−tnω) . Khi đó với mọin ≥ N0

ϕ(tn, θ−tnω, bn) = ϕ(T, θ−Tω)ϕ(tn −T, θ−tnω, bn), vàtn+T ≥ tB(θ−Tω). Kết hợp với chú ýbn ∈ B(θ−tnω) =B(θ−(tn−T)θ−Tω) nên dãy kn := ϕ(tn−T, θ−tnω, bn) = ϕ(tn −T, θ−(tn−T)θ−Tω, bn) ∈ A(θ−Tω). Do đó, với mọin≥ N0 ϕ(tn, θ−tnω, bn) ∈ ϕ(T, θ−Tω, A(θ−Tω)) ⊂ [ t≥T ϕ(t, θ−tω, A(θ−tω)), hayy ∈ ΩA(ω). Vì ΩB(ω) khác rỗng bởi tính chất (i) của Mệnh đề 2.18 nên

ΩA(ω)khác rỗng.

Định nghĩa 2.20 (Tập hút toàn cục). Giả sử ϕ là một hệ động lực ngẫu nhiên và tồn tại một tập compact ngẫu nhiênω 7→A(ω) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) ϕ(t, ω, A(ω)) =A(θtω) với mọit >0, (ii) A hút mọi tập bị chặn tất địnhB ⊂ X.

Khi đóAđược gọi là tập hút toàn cụccủaϕ.

Định lý 2.21. Giả sửϕ là một hệ động lực ngẫu nhiên và giả thiết rằng tồn tại một tập compact ngẫu nhiênω 7→K(ω)hấp thụ mọi tập đóng tất địnhB ⊂R. Khi đó tập có dạng

A(ω) = [

B⊂R

ΩB(ω),

là một tập hút toàn cục củaϕ. Hơn nữa,Alà đo được với F nếuI là thời gian rời rạc, và nó là đo được vớiF (tương ứng với P) nếu Ilà liên tục.

Chứng minh. Với tập đóng B ⊂ R bất kì, theo tính chất (i) của Mệnh đề 2.18 ta cóΩB ⊂ K vàΩB là tập compac nênAlà tập compact. Vìω 7→ S

B⊂R

ΩB(ω)

là bất biến chặt theo tính chất(ii) của Mệnh đề 2.18 và vì ϕlà ánh xạ liên tục (ϕ(A) ⊂ ϕ(A)) suy ra tính bất biến của A. Hơn nữa A là bất biến chặt được suy ra tiếp từ tính compact của nó.

Để chứng minh tính đo được, chú ý rằng với bất kì x ∈ R và mọi tập tất định B ⊂R thì ánh xạ

(t, ω) 7→ d(x, ϕ(t, θ−tω, B) = infd(x, ϕ(t, θ−tω, y) : y ∈ B , là ánh xạ đo được nhờ tính khả ly củaR và liên tục củaϕ. Với mọiτ ≥ 0

dx,[

t≥τ

ϕ(t, θ−tω, B) = inf

t≥τd(x, ϕ(t, θ−tω, B)).

Nếu thời gianIlà rời rạc, ta có ngay tính đo được củaΩB. Với thời gian liên tục

I, chú ý rằng vớiα ∈ R bất kì

trong đóπΩ là phép chiếu chính tắc từI×ΩvàoΩ. Tính đo được của ánh xạ

ω 7→ d(x,∪t≥τϕ(t, θ−tω, B))

tương ứng vớiP-đầy đủ củaF. Lấy giao

\

τ≥0

[

t≥τ

ϕ(t, θ−tω, B)

trênτ thuộc các tập đếm được bị chặn, chẳng hạnτ ∈ N, thìΩB là tập đo được. Và vìA có thể lấy trên hợp đếm được các tập bị chặnB, ta có điều phải chứng minh.