2 Nhiễu sinh ra tự đồng bộ trên hệ rẽ nhánh Pitchfork
2.1.3. Tính duy nhất của tập hút ngẫu nhiên
Giả sửϕ là hệ động lực ngẫu nhiên trên R với tập hút ngẫu nhiên A. Ta muốn chỉ ra với mọi > 0tồn tại một tập compact tất định K ⊂ R sao choA đồng nhất với tậpΩ- giới hạn củaK với xác suất không nhỏ hơn1−. Hơn nữa, nếu θlà ergodic, thì tồn tại tập compact K ⊂ Rsao choA = ΩK với xác suất1.
Mệnh đề 2.22. Giả sửω 7→ I(ω)là tập bất biến chặt, tức là, với mọi t≥ 0
ϕ(t, ω, I(ω)) =I(θtω), h.c.c. Khi đó,Pω : I(ω) ⊂ D(ω) ≤ P
ω : I(ω) ⊂ ΩD(ω) ,hay, viết gọn,
P(I ⊂ D) ≤ P(I ⊂ ΩD),
với tập ngẫu nhiên bất kìD ∈ F ⊗B(R).
Chứng minh. ĐặtF = ω : I(ω) ⊂ D(ω) .Áp dụng định lý hồi quy Poincaré 1.5 cho họ {θ−n :n ∈ N} = θ−n1 : n ∈ N (dấu bằng suy ra từ tính bảo toàn
độ đo củaθ−1) dẫn đến
F∞ = \
N∈N
[
n≤N
θ−nF = {ω : θ−nω ∈ F thường xuyên vô hạn},
thỏa mãn P(F∞) ≥ P(F). Với mỗi ω ∈ F∞ thì I(θ−nω) ⊂ D(θ−nω) kể từ n∈ N nào đó trở đi, nên theo tính bất biến chặt củaI,
I(ω) = ϕ(n, θ−nω, I(θ−nω)) ⊂ ϕ(n, θ−nω, D(θ−nω)). Khi đó, với mọiN ∈ N,
I(ω) ⊂ [ n≥N ϕ(n, θ−nω, D(θ−nω)). Vậy I(ω) ⊂ \ N∈N [ n≥N ϕ(n, θ−nω, D(θ−nω)) ⊂ \ N∈N [ s≥N ϕ(, θ−sω, D(θ−sω)) ⊂ \ N∈N [ s≥N ϕ(, θ−sω, D(θ−sω)) = ΩD(ω). Điều này có nghĩa rằngF∞ ⊂
ω : I(ω) ⊂ ΩD(ω) , hay
P(I ⊂ ΩD) ≥ P(F∞) ≥P(F) =P(I ⊂ D). Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.23. Giả sử ϕ là RDS liên kết với dòng ergodic θ. Nếu I là tập bất biến chặt thìP(I ⊂ ΩD) = 1với mọiD ∈ F ⊗B(R) màP(I ⊂ D) > 0.
Chứng minh. Giả sửD là tập ngẫu nhiên màP(I ⊂ D) > 0.Đặt F = ω : I(ω) ⊂ ΩD(ω) .
Với mỗiω ∈ F, vìI là bất biến chặt và tậpΩD cũng bất biến( theo Chú ý 2.14), ta có
Từ đóF ⊂ θ−t 1F, với mọi t ≥ 0nên P(F∆θ−t 1F \F) = 0. Khi đó F là tập con củaσ- đại số của các tậpθ- bất biến. Mệnh đề 2.1.3. dẫn đến
P(F) =P(I ⊂ ΩD) ≥P(I ⊂ D) > 0.
Vìθlà ergodic, mọi tập có độ đo dương sẽ có độ đo đủ hayP(I ⊂ ΩD) = 1.
Hệ quả 2.24. Giả sử ϕ là RDS và I là tập compact bất biến chặt. Khi đó với mọi > 0tồn tại một tập compact tất địnhK ⊂ Rmà
P(I ⊂ΩK) ≥ 1−.
Khiθlà ergodic thì tồn tại tập compact tất địnhK sao choP(I ⊂ΩK) = 1và điều này cũng đúng với mọi tập compact tất địnhK sao choP(I ⊂K) 6= 0.
Chứng minh. VìI(ω) là tập compact ngẫu nhiên nên với mọi > 0tồn tại tập compact tất định K = K ⊂ R với Pω : I(ω) ⊂ K ≥ 1 − . Cùng với Mệnh đề 2.1.3.
P(I ⊂ ΩK) ≥ P(I ⊂K) ≥ 1−.
Khiθlà ergodic thì kết luậnP(I ⊂ ΩK) = 1với mọi tậpK màP(I ⊂ K) 6= 0
suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.23.
Hệ quả 2.25. Giả sử ϕ là RDS có tập hút toàn cục ω 7→ A(ω) hút các tập compact. Khi đó mọi tập ngẫu nhiên compact bất biến chặt ω 7→ I(ω) thỏa mãn
P(I ⊂ A) = 1.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.24, với mọi > 0 cho trước tồn tại tập compact K = K ⊂ Rsao choP(I ⊂ ΩK) ≥ 1−. Hơn nữa vìAhútK nênΩK ⊂ A (theo mục(i)của Mệnh đề 2.18) hayP(ΩK ⊂ A) = 1. Từ đó
Điều này đúng với > 0bất kì nênI ⊂A h.c.c.
Hệ quả 2.26. Giả sửϕlà RDS. NếuA1 vàA2 là các tập hút ngẫu nhiên hút các tập compact tất định thìA1 = A2, h.c.c. Do đó một tập hút ngẫu nhiên thì tồn tại duy nhất h.c.c.
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.24 suy ra P(A1 ⊂ A2) = 1và P(A2 ⊂ A1) = 1. Ta có điều phải chứng minh.