Điều khiển dựa trên lý thuyết đại số gia tử

Một phần của tài liệu (Luận án tiến sĩ) Ứng dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử trong điều khiển dao động kết cấu (Trang 51)

2.3.1. Giới thiệu

Đại số gia tử (Hedge Algebras - HA) là một lý thuyết được phát minh từ năm 1990 [61]. Các tác giả của HA đã phát hiện ra rằng các giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ có thể tạo thành một cấu trúc đại số [64, 65] và nó là một cấu trúc đại số gia tử đầy đủ (Complete Hedge Algebras Structure) [62, 68]với một tính chất chính là thứ tự ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ luôn được đảm bảo. Thậm chí nó là một cấu trúc đại số đầy đủ và hoàn chỉnh [63] và vì thế nó có thể mô tả đầy đủ các quá trình suy luận xấp xỉ, định tính. HA có thể được coi như một cấu trúc toán học có thứ tự của các tập hợp ngôn ngữ, quan hệ thứ tự của nó được quy định bởi nghĩa của các nhãn ngôn ngữ trong những tập hợp này. Nó chỉ ra rằng mỗi tập hợp ngôn ngữ có sẵn quan hệ thứ tự được gọi là quan hệ thứ tự ngữ nghĩa.

Lý thuyết này đã được các tác giả phát triển và ứng dụng chủ yếu trong lĩnh vực khai phá dữ liệu, cơ sở dữ liệu mờ [61-65,68]. Nhiều công trình nghiên cứu của các tác giả nước ngoài đã sử dụng hoặc tham khảo HA, đặc biệt một số sách của các nhà xuất bản uy tín trên thế giới đã viết về HA như một lý thuyết mới, có nhiều tiềm năng để phát triển và ứng dụng trong các lĩnh vực của lý thuyết mờ [75, 81]. Như vậy giá trị của lý thuyết HA đã và đang từng bước được khẳng định trên thế giới.

Năm 2008, trong [69] HA bắt đầu được áp dụng vào điều khiển mờ và đưa ra các kết quả tốt hơn nhiều so với FC. Tuy nhiên, trong [69] nguyên lý hoạt động của bộ điều khiển mờ dựa trên HA (HAC) chưa được hệ thống hóa gây khó khăn cho người đọc và các đối tượng nghiên cứu còn quá đơn giản để có thể đánh giá được hiệu quả điều khiển của HAC. Điều này được các tác giả xem xét ứng dụng HAC vào điều khiển chủ động kết cấu cơ học để đánh giá khả năng làm việc của HAC khi so với FC trong dạng bài toán này [70, 71, 76, 82, 83].

2.3.2. Ý tưởng và các công thức cơ bản của HA

Trong mục này, ý tưởng và các công thức cơ bản của HA được tóm tắt dựa trên những định nghĩa, định lý và hệ quả trong [61-65, 68].

37

Theo nghĩa của các nhãn ngôn ngữ có thể thấy rằng Vô cùng bé (Extremely Negative - sau đây ký hiệu là “VVNe”) < Rất bé (Very Negative - “VNe”) < Bé (Negative - “Ne”) < Hơi bé (Little Negative - “LNe”) < Hơi lớn (Little Positive - “LPo”) < Lớn (Positive - “Po”) < Rất lớn (Very Positive - “VPo”) < Vô cùng lớn (Extremely Positive - “VVPo”). Như vậy, chúng ta có một quan điểm mới: Tập hợp ngôn ngữ có thể mô hình hóa bằng một poset (partially ordered set - tập hợp có thứ tự), một cấu trúc có thứ tự dựa trên các ngữ nghĩa.

Coi “biên độ dao động” là một biến ngôn ngữ và X là tập hợp các giá trị ngôn ngữ của nó. Giả thiết rằng các gia tử ngôn ngữ được sử dụng để biểu diễn “biên độ dao động” gồm Vô cùng (Extremely), Rất (Very)Hơi (Little), và các phần tử sinh là nhỏ (Negative)lớn (Positive). Như vậy, X = [VVNe, VNe, Ne, LNe, LPo, Po,

VPo,

[VVPo...]  {0,W,1} là một tập hợp giá trị ngôn ngữ của “biên độ dao động”, trong đó 0, W1 tương ứng là những phần tử đặc trưng cận bên trái (Tuyệt đối bé - Absolute Negative), phần tử trung hòa và cận bên phải (Tuyệt đối lớn - Absolute Positive).

Tập hợp ngôn ngữ X có thể sắp xếp thứ tự dựa trên những quan sát sau: - Mỗi phần tử sinh có một dấu thể hiện xu hướng ngữ nghĩa. Phần tử sinh lớn (Positive) có một xu hướng “đi lên”, được gọi là xu hướng dương và nó được ký hiệu là c+, trong khi phần tử sinh nhỏ (Negative) có một xu hướng “đi xuống”, được gọi là xu hướng âm, được ký hiệu là c. Nhìn chung, về mặt ngữ nghĩa chúng ta luôn có c+c.

- Mỗi gia tử cũng có một dấu. Nó là dương nếu nó tăng xu hướng ngữ nghĩa của các phần tử sinh và âm nếu nó làm giảm xu hướng này. Gia tử Rất (Very)

dương với tất cả các phần tử sinh và tập hợp các gia tử dương được ký hiệu là H+, trong khi gia tử Hơi (Little) gây ra hiệu ứng ngược lại nên nó là âm với tất cả các phần tử sinh và tập hợp các gia tử âm được ký hiệu là H.

Tập hợp ngôn ngữ X có thể được coi là một đại số trừu tượng (Abstract Algebra) AX = (X, G, C, H, ), trong G[c c, ], C = [0, W, 1], H = H+H và

 là một quan hệ thứ tự trên X. Giả thiết rằng H = [h-1, ..., h-q], trong đó h-1 < h-2 < ...< h-q, H+ = [h1,..., hp], với h1< h2 < ...< hp.

Độ đo tính mờ của các phần tử sinh và các gia tử trong tập hợp ngôn ngữ được định nghĩa như sau (Định nghĩa 2 - [101]): fm: X  [0, 1] được gọi là một độ đo tính mờ của các phần tử trong X nếu:

fm(c)+fm(c+) = 1 và h H fm(hx) = fm(x), với x X; (2.26) Với các phần tử 0, W1, fm (0) = fm(W) = fm(1) = 0; (2.27) Với x, y  X, h  H, ( ) ( ) ( ) ( ) fm hx fm hy fm xfm y (2.28)

38

Tỉ lệ này không phụ thuộc vào các phần tử cụ thể nào, được gọi là độ đo tính mờ của gia tửh và được ký hiệu là (h).

Đối với mỗi độ đo tính mờ fm trên X, ta có (Hệ quả 1 - [69]):

fm(hx) = (h)fm(x), với mọi xX; (2.29) fm(c) + fm(c+) = 1; (2.30) , 0 ( ) ( ) p i i q i fm h c fm c     ,c{c,c+}; (2.31) , 0 ( ) ( ) p i i q i fm h x fm x     ; (2.32) 1 ( )i i q h       và 1 ( ) p i i h      trong đó ,  > 0 và  +  = 1 (2.33) Hàm Sign: X  {1, 0, 1} là một ánh xạ được định nghĩa đệ quy như sau, với h, h'Hc  {c, c+} (Định nghĩa 3 - [69]):

Sign(c) = 1,Sign(c+) = +1; (2.34) Sign(hc) = Sign(c), nếu h âm đối với c; (2.35) Sign(hc) = +Sign(c), nếu hdương đối với c; (2.36) Sign(h'hx) = Sign(hx), nếu h’hx hxh'âm đối với h; (2.37) Sign(h'hx) = + Sign(hx), nếu h’hx hxh'dương đối với h; (2.38) Sign(h'hx) = 0 nếu h’hx = hx (2.39) Với fm là một độ đo tính mờ trên X. Ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (SQMs) :

X  [0,1], được sinh ra bởi fm trên X, được định nghĩa như sau (Định nghĩa 4 - [69]): (W) =  = fm(c), (c) =  − fm(c) = fm(c), (c+) = + fm(c+); (2.40) (hjx) = (x) + Sign(hjx) ( ) ( ) ( ) ( ) j i j j i Sign j fm h xh x fm h x         , với j {j: qjp & j0} = [-q^p] và (hjx) = [1 + Sign(hjx)Sign(hphjx)( - )]/2 (2.41) Có thể thấy rằng ánh xạ  được định nghĩa đầy đủ bởi (p+q) tham số độc lập: một tham số là độ đo tính mờ của các phần tử sinh và (p+q–1) tham số là độ đo tính mờ của các gia tử.

2.3.2.1. Sơ đồ điều khiển

Trong [1] HAC được thiết lập với những đóng góp bao gồm: (i) HAC được ứng dụng vào điều khiển chủ động kết cấu; (ii) Sơ đồ nguyên lý hoạt động của HAC tỉ lệ - vi phân được đề suất; (iii) Quy tắc hợp thành HA mới được đề suất.

39

Sơ đồ nguyên lý hoạt động của HAC tỉ lệ - vi phân đề suất cho lực điều khiển ui tại DOF thứ i được biểu diễn như trên Hình 2.9 [50].

Cơ sở luật HA với SQMs Suy luận HA Ngữ nghĩa hóa xi Giải ngữ nghĩa ui i x Kết cấu

Hình 2.9 Sơ đồ nguyên lý hoạt động của HAC tỉ lệ - vi phân

Hình 2.9 chỉ ra rằng sơ đồ thuật toán của bộ điều khiển dựa trên HA [76], trong đó xixi là hai biến trạng thái đạo hàm tỷ lệ, và ui là biến điều khiển.

Bảng 2.2 cho thấy các tham số của các biến, bao gồm phạm vi tham chiếu (trong miền thực) và các giá trị ngôn ngữ được trang bị với SQM của chúng.

Bảng 2.2 Bảng tham chiếu của các biến

Biến Khoảng xác định Giá trị ngôn ngữ với SQMs

i x a a,  Ne: 0.25 LNe: 0.375 W: 0.5 LPo: 0.625 Po: 0.75 i x b b,  LNe: 0.375 W: 0.5 LPo: 0.625 u c c,  VNe: 0.125 Ne: 0.25 LNe: 0.375 W: 0.5 LPo: 0.625 Po: 0.75 VPo: 0.875

40

Trong lý thuyết HA, miền tham chiếu chung của các biến ngôn ngữ đã được giả thiết là nằm trong khoảng [0, 1], gọi là miền ngữ nghĩa của các biến ngôn ngữ.

Trong các ứng dụng, sử dụng các giá trị trong các miền tham chiếu, ví dụ, nằm trong khoảng [a, b], của các biến ngôn ngữ, vì thế cần thiết phải chuyển đổi khoảng [a, b] sang khoảng [0, 1] và ngược lại.

Việc chuyển đổi từ khoảng [a, b] sang khoảng [0, 1] được gọi là ngữ nghĩa hóa hay “chuẩn hóa” (normalization) và chuyển đổi ngược lại từ khoảng [0, 1] sang khoảng [a, b] được gọi là giải ngữ nghĩa hóa hay “giải chuẩn” (de-normalization). Thuật ngữ mới “chuẩn hóa” đã được định nghĩa và chấp nhận trong [67].

Các sơ đồ chuẩn hóa các biến trạng thái xixi và sơ đồ chuẩn hóagiải chuẩn của biến điều khiển ui được thiết lập tương ứng với các sơ đồ mờ hóa như sau (xi, xiui được tương ứng thay bằng xis, xis và uis khi chuyển đổi từ miền thực sang miền ngữ nghĩa - miền chứa các giá trị ngữ nghĩa định lượng).

Hình 2.10 Chuẩn hóa 2.3.2.3. Cơ sở luật HA

Cơ sở luật HA (bảng SAM - Semantic Associative Memory) với các giá trị ngữ nghĩa định lượng có thể được xây dựng dựa trên cơ sở luật mờ - bảng FAM (Bảng 2.1) như trong Bảng 2.3. Bảng 2.3. Bảng SAM s i x xis LNe W LPo Ne VPo Po LPo LNe Po LPo W W LPo W LNe LPo W LNe Ne Po LNe Ne VNe 2.3.2.4. Hợp thành HA

41 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.5 1 S u S x S x us

Có thể sử dụng các quy tắc hợp thành HA được thiết lập dựa vào các điểm mô tả các luật điều khiển trong bảng SAM gồm: Đường cong ngữ nghĩa định lượng - phép nhân (Hình 2.11), đường cong ngữ nghĩa định lượng - phép trung bình cộng (Hình 2.12) và mặt cong ngữ nghĩa định lượng (Hình 2.13). Qua đó, có thể thấy rằng giá trị của uis có thể xác định được một cách đơn giản thông qua các phép nội suy tuyến tính nhờ vào các giá trị của xis, xis và đường cong hoặc mặt cong ngữ nghĩa định lượng [1]. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 s s i i xx uis Xs Us

Hình 2.11 Đường cong ngữ nghĩa định lượng – phép nhân

s s (xixi ) / 2 uis 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Xs Us

Hình 2.12 Đường cong ngữ nghĩa định lượng – phép cộng

42

Quy tắc hợp thành HA sử dụng mặt cong ngữ nghĩa định lượng do tác giả Bùi Hải Lê đề suất trong [1] đã phản ánh trung thực cơ sở luật trong bảng SAM và tránh được tính chất giao hoán như các cơ chế sử dụng phép cộng và phép nhân. Trong khuôn khổ luận án, tác giả sẽ sử dụng mặt cong ngữ nghĩa định lượng.

2.4. Giới thiệu tối ưu và tối ưu đa mục tiêu 2.4.1. Bài toán tối ưu 2.4.1. Bài toán tối ưu

2.4.1.1. Khái niệm bài toán tối ưu

a. Phát biểu: Tìm trạng thái tối ưu của một hệ thống bị ràng buộc sao cho đạt được mục tiêu mong muốn về chất lượng theo nghĩa nào đó [84].

b. Các yếu tố của bài toán tối ưu

Các yếu tố của một bài toán tối ưu bao gồm [85, 84]:

Biến thiết kế: là những đại lượng đặc trưng của hệ thống, có thể thay đổi giá trị trong quá trình tối ưu hóa. Đối với kết cấu, các đại lượng này có thể là kích thước hình học (chiều rộng, chiều cao của tiết diện; diện tích mặt cắt ngang của thanh; …), tính chất cơ học, vật lý (mô đun đàn hồi, hệ số dãn nở nhiệt, …), của kết cấu.

Trạng thái: mô phỏng một hệ thống kỹ thuật, kinh tế, … bởi những quan hệ số liệu, hàm số hoặc những phương trình chứa một số biến.

Mục tiêu: đặc trưng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả mong muốn (chuyển vị nhỏ nhất, gia tốc nhỏ nhất, thời gian về vị trí cân bằng ngắn nhất, …).

Ràng buộc: thể hiện các điều kiện kỹ thuật, kinh tế, … mà hệ thống phải thỏa mãn.

Như vậy, bài toán tối ưu có thể được áp dụng cho các ngành kỹ thuật và kinh tế … Các yếu tố của bài toán được đặt ra tùy thuộc vào người sử dụng.

2.4.1.2. Phân loại bài toán tối ưu

Thông thường, các dạng bài toán tối ưu được phân loại như sau [84] [1]:

a. Bài toán quy hoạch tuyến tính

Hệ thống ở trạng thái tĩnh (không phụ thuộc thời gian) có các biến thiết kế (trạng thái) là:

x = [x1, x2,…, xn]T (2.42) Mục tiêu được diễn đạt bởi hàm mục tiêu có dạng tuyến tính:

Z = gTx min/max; g = [g1, g1,…, gn]T (2.43) Các ràng buộc (giới hạn) được diễn đạt bởi các phương trình, bất phương trình tuyến tính:

Ax = b; Axb; A = [aij]; i = 1,…,m; j = 1,…,n; b = [b1, b1,…, bn]T (2.44)

b. Bài toán quy hoạch phi tuyến

Hệ thống ở trạng thái tĩnh. Tìm trạng thái tối ưu x* khi hàm mục tiêu được diễn đạt bởi một hàm phi tuyến Z(x) hoặc có ràng buộc phi tuyến.

43

Một số bài toán riêng của quy hoạch phi tuyến là: quy hoạch lồi, quy hoạch lõm và quy hoạch toàn phương.

c. Bài toán phân tích và hồi quy số liệu (quy hoạch thực nghiệm)

Xác định biểu thức giải tích của hàm mục tiêu từ các số liệu thực nghiệm hoặc quan sát sao cho tổng độ lệch bình phương từ các số liệu và các giá trị giải tích là nhỏ nhất.

d. Bài toán cực trị phiếm hàm

Hệ thống ở trạng thái tĩnh (không phụ thuộc thời gian) hoặc trạng thái động (phụ thuộc thời gian). Biến trạng thái là y(x) với x là biến độc lập. Mục tiêu được diễn đạt bởi phiếm hàm mục tiêu:

0 ( ) ( , ', ) min/ max f x x J y  F y y x dx  (2.45)

Ràng buộc có thể là các hàm phi tuyến, các phương trình đại số hoặc các phương trình vi phân.

2.4.2. Các dạng bài toán tối ưu kết cấu

2.4.2.1. Bài toán tối ưu tiết diện ngang

Bài toán tối ưu tiết diện ngang có hàm mục tiêu là thể tích hoặc trọng lượng kết cấu với các ràng buộc về bền và chuyển vị. Loại bài toán này đã được nghiên cứu khá đầy đủ, có thể giải được những kết cấu phức tạp và số biến thiết kế khá lớn. Hướng nghiên cứu hiện nay là tìm cách giá khối lượng tính toán bằng cách tìm phương pháp lặp hội tụ nhanh và tăng mức độ chính xác của kết quả [86]. Bài toán tối ưu tiết diện ngang được chia làm 2 trường hợp

a. Tối ưu tiết diện ngang với biến thiết kế liên tục

Đặc điểm của bài toán là biến thiết kế có thể nhận giá trị trong một miền liên tục. Đây là dạng bài toán được nghiên cứu đầu tiên trong quá trình phát triển cũng như áp dụng phương pháp quy hoạch toán học và phương pháp tiêu chuẩn tối ưu trong lý thuyết tối ưu kết cấu. Một trong những kỹ thuật giải bài toán này là loại trừ bớt các ràng buộc đã có, tiếp theo ở mỗi bước lặp chỉ giữ lại các ràng buộc tới hạn hoặc gần tới hạn. Kỹ thuật này cho phép giảm đáng kể thời gian tính toán. Bên cạnh đó người ta còn dùng cách đặt biến trung gian (biến nghịch đảo, biến nội lực) nhằm tăng mức độ chính xác khi sử dụng phương pháp gần đúng tuyến tính hóa.

Với bài toán biến liên tục, có thể sử dụng lý thuyết phân tích độ nhạy để tiếp cận lời giải tối ưu, không cần tái phân tích kết cấu nhiều lần mà vẫn thỏa mãn yêu cầu về độ chính xác. Trong [87] đã phân tích khá đầy đủ các phương pháp gần đúng phục vụ bài toán này.

44

Trong thực tế, biến mặt cắt được chọn trong bảng danh mục cho sẵn do nhà sản xuất cung cấp, vì vậy tập các giá trị có thể nhận của biến thiết kế là một tập rời rạc.

Nói chung, so với bài toán liên tục, bài toán tối ưu biến rời rạc có khối lượng tính toán lớn hơn nhiều. Bởi lẽ trước tiên ta phải giải bài toán với giả thiết biến liên tục, sau đó sử dụng phương pháp riêng như phương pháp làm tròn, phương pháp phân nhánh… để xử lý tính chất rời rạc của nghiệm thực.

Mức độ chính xác của kết quả không chỉ phụ thuộc vào phương pháp làm tròn, mà còn phụ thuộc đáng kể vào khoảng cách giữa các giá trị liên tiếp của tập biến rời rạc. Nếu khoảng cách này đủ bé thì việc chuyển từ biến liên tục sang biến rời rạc là phù hợp, không sai số lớn, ngược lại sẽ không chính xác thậm chí không chấp nhận được.

Trong thực tế thiết kế cần tránh làm xu hướng làm tròn tăng với suy nghĩ thiên về an toàn. Việc làm như vậy cho kết quả không còn tối ưu nữa. Trong

Một phần của tài liệu (Luận án tiến sĩ) Ứng dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử trong điều khiển dao động kết cấu (Trang 51)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(130 trang)