1. Động lượng của một hệ cụ lập, định luật bảo toàn động lượng :
Xột một hệ cụ lập gồm hai vật cú khối lượng m1 và m2 chuyển động với vận tốc khụng đổi 1
vr và vr2. Chỳng va chạm với nhau tại A trong khoảng thời gian rất nhỏ ∆t rất nhỏ sau đú lại chuyển động ra xa với vận tốc v'r1và v'r2( hỡnh vẽ ).
Khi va chạm tại A, vật 1 tỏc dụng lờn vật 2 một lực Fr12, và vật 2 tỏc dụng lờn vật 1 một lực 12
Fr . Đặt ∆ =vr1 v'r1−rv1và ∆ =vr2 v'r2−vr2.
Theo định luật Newton thứ hai, ta viết được cho mỗi vật : 1 12 1 1 1 v F t m a m ∆ = = ∆ r r r 2 21 2 2 2 v t F =m a =m ∆ ∆ r r r
Theo định luật Newton thứ ba, Fr12 = −Fr21, nờn :
1 2 1 2 v v 0 t t m ∆ +m ∆ = ∆ ∆ r r , hay : m1∆ + ∆ =vr1 m2 rv2 0, hay : ∆(m1 1v )r + ∆(m2 2v ) 0r =
Như vậy, nếu m1 1vr tăng bao nhiờu thỡ m2 2vr giảm bấy nhiờu, và ngược lại. đối với mỗi vật, tớch mvr= prlà một đại lượng động lực học đặc trưng cho chuyển động của vật đú, và gọi là động lượng của vật. Động lượng cú thể được truyền từ vật này sang vật khỏc.
Xột trường hợp tổng quỏt : Một cơ hệ cụ lập gồm n vật chuyển động và tương tỏc lẫn
nhau. Cũng lập luận như trờn và xột tỏc dụng của tất cả cỏc vật khỏc trong hệ lờn từng vật một, ta viết được lần lượt cho từng vật:
1vr vr A 2 vr v'r2 1 v'r
1 1 12 13 ... 1n
m ar =Fr +Fr + +Fr
2 2 21 23 ... 2n
m ar =Fr +Fr + +Fr
………..
Cộng từng vế một, và chỳ ý rằng vế phải là tổng cỏc nội lực của hệ, ta cú: 1 1 2 2 3 3 ... n n 0
m ar +m ar +m ar + +m ar =
Hay : d (m v1 1 m v2 2 m v3 3 ... m an n) 0
dt r+ r + r + + r =
Nếu gọi pr1 =m v p1 1r r, 2 =m v2 2r,... và pr= pr1+ rp2+pr3+ +... prn
Tổng vộctơ cỏc động lượng của tất cả n vật trong hệ là động lượng của hệ, ta viết được : 0
dp dt =
r
Hay : pr= constant
Đối với một cơ hệ độc lập, ta phỏt biểu được định luật bảo toàn động lượng: “Động lượng của một cơ hệ cụ lập khụng biến đổi theo thời gian”. Chỳ ý rằng động lượng của từng vật trong hẹ cú thể biến đổi, cụ thể là truyền từ vật này sang vật khỏc, nhưng động lượng của cả hệ được bảo toàn.
Chỳng ta đó dựa vào cỏc định luật Newton thứ hai và thứ ba để rỳt ra định luật bảo toàn động lượng. Thực ra, định luật này cú ý nghĩa rất rộng rói và ỏp dụng được cho cả trường hợp mà định luật Newton thứ ba bị vi phạm. Cú thể nờu mấy thớ dụ : Khi hai điện tớch cựng dấu chuyển động với vận tốc rất lớn lại gần nhau, chỳng đẩy nhau và làm lệch quỹ đạo của nhau. Lực đẩy trong cỏc trường hợp này khụng phải là lực Newton, nhưng tổng động lượng của hai điện tớch trước lỳc lại gần nhau và sau khi đó xa nhau là một lượng khụng đổi. Trong sự “va chạm” của hai hạt cơ bản, chỳng ta chưa biết hai hạt tương tỏc với nhau theo cơ cấu nào, và cỏc lực tương tỏc cú phải lực Newton khụng. Nhưng tổng động lượng của hai hạt trước va chạm và của cỏc hạt ( hai hoặc nhiều hơn) sau va chạm là như nhau.
Như vậy định luật bảo toàn động lượng là một định luật vật lý cú ý nghĩa rộng rói, nú khụng phải chỉ là một hệ quả của cỏc định luật Newton.
2. Bảo toàn động lượng theo phương :
Ta đó thấy rằng động lượng của một hệ cụ lập được bảo toàn, và động lượng của một hệ khụng cụ lập thỡ biến thiờn và biến thiờn động lượng của cơ hệ bằng động lượng của cỏc
ngoại lực. Tuy nhiờn tuỳ điều kiện của bài toỏn, khụng phải lỳc nào cũng cú sự phõn biệt rành mạch giữa hệ cụ lập và hệ khụng cụ lập.
Trong trường hợp một chất điểm khụng cụ lập nghĩa là Fr≠0nhưng hỡnh chiếu của Frlờn một phương x nào đú luụn luụn bằng 0 thỡ nếu chiếu phương trỡnh vộctơ
1 1 2 2( ... n n) ( ... n n) d m v m v m v F dt r + r + + r = r Lờn phương x ta được 1 1x 2 2x ... n nx m v +m v + +m v =const
Khi đú hỡnh chiếu động lượng của hệ lờn phương x là một đại lượng bảo toàn.
Vớ dụ: Một cơ hệ đặt trong trọng trường của Trỏi Đất luụn luụn chịu tỏc dụng của trọng lực. Nếu trọng lực là ngoại lực duy nhất tỏc dụngvào hệ, ta chiếu xuống 3 trục toạ độ Đờcỏc :
ex x ey y ez z d F p dt d F p dt d F p dt = = =
Nếu trục Oz là trục thẳng đứng, ta thấy ngay Fez ≠0và Fex =Fey =0. Vậy khi chiếu
chuyển động của cơ hệ xuống mặt nằm ngang xOy và chỉ xột chuyển động của cỏc chất điểm theo phương nằm ngang ta cú thể coi cơ hệ này là một hệ cụ lập. ở đõy thành phần nằm ngang của động lượng được bảo toàn, chỉ cú thành phần thẳng đứng biến thiờn. Cỏch đặt vấn đề như vậy cú thể làm cho việc giải bài toỏn đơn giản đi đỏng kể.
Núi chung, nếu ta chiếu động lượng của một cơ hệ hay của chất điểm xuống cỏc trục toạ độ thỡ trờn từng trục toạ độ, định luật bảo toàn động lượng được nghiệm đỳng đối với thành phần động lượng tương ứng. Điều đú cú một ý nghĩa tổng quỏt là khi ta phõn tớch một chuyển động cơ học ra nhiều chuyển động thành phần thỡ mỗi chuyển động thành phần cũng tuõn theo những định luật cơ học như chuyển động ban đầu.
3. Ứng dụng định luật bảo toàn động lượng:
Chuyển động bằng phản lực : Định luật Newton thứ ba cũng như định luật bảo toàn động lượng là cơ sở để giải thớch cỏc chuyển động phản lực ( VD như động cơ phản lực, tờn lửa, hiện tượng sỳng bắn bị giật lựi…)
Nguyờn tắc chuyển động bằng phản lực : Trong một hệ kớn đứng yờn nếucú một phần của hệ chuyển động theo một hướng thỡ theo định luật bảo toàn động lượng, phần cũn lại của hệ phải chuyển động theo hướng ngược lại.
a) Giải thớch hiện tượng sỳng bắn bị giật lựi : ( Hỡnh vẽ )
Giả sử cú một khẩu sỳng cú khối lượng M đặt trờn giỏ nằm ngang; trong nũng sỳng cú một viờn đạn cú khối lượng m. Nếu khụng cú ma sỏt thỡ tổng ngoại lực tỏcdụng lờn hệ (sỳng +đạn ) tức là tổng hợp của trọng lượng ( sỳng + đạn ) và phản lực phỏp tuyến của giỏ sẽ bị triệt tiờu do đú
tổng động lượng của hệ được bảo toàn. Trước khi bắn tổng động lượng của hệ bằng : P=0r Khi bắn đạn bay về phớa trước với vận tốc vr, sỳng giật lựi về phớa sau với vận tốc Vr . Động lượng của hệ sau khi bắn : 'Pr =mv+MVr r. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng :
v ' 0 v+MV V=-m P P m M = ⇔ = ⇔ r r r r r r
Dấu “ - “ chứng tỏ Vr ngược chiều với vr. Ta thấy rằng giỏ trị của V tỉ lệ với m và tỉ lệ nghịch với M.
b) Động cơ phản lực: Trước chiến tranh thế giới thứ hai cỏc mỏy bay đều sử dụng loại động cơ cỏnh quạt. Chỉ nửa sau của thế kỉ XX mỏy bay phản lực mới ra đời. những mỏy bay phản lực hiện đại thường sử dụng động cơ cú Tuabin nộn. Phần đầu của động cơ cú cỏc mỏy để hỳt và nộn khụng khớ. Khi nhiờn liệu chỏy, hỗn hợp khớ sinh ra phụt về phớa sau vừa tạo ra phản lực đẩy mỏy bay vừa làm quay tuabin của mỏy nộn. Vận tốc của mỏy bay phản lực dõn dụng hiện đại thường đạt tự 900 – 1000 km/h cũn mỏy bay phản lực chiến đấu cú thể lờn tới trờn 130 km/h..
c) Tờn lửa : Thời nhà Tống cỏch đõy trờn 1000 năm , người Trung Hoa đó biết cỏch làm phỏo thăng thiờn chớnh là ỏp dụng nguyờn tắc chuyển động bằng phản lực. Tờn lửa hiện đại cũng hoạt động theo cựng nguyờn tắc. Điều khỏc biệt với động cơ phản lực núi trờn là tờn lửa vũ trụ khụng cần đến mụi trường khớ quyển bờn ngoài. Nú cú thể chuyển động trong khụng gian vũ trụ ( chõn khụng ) giữa cỏc thiờn thể vỡ cú mang theo chất ụxi hoỏ để đốt chỏy nhiờn liệu. Để tờn lửa cú thể đạt được vận tốc lớn , cần cú hai điều kiện. Một là khối lượng và vận tốc của khớ phụt ra cần phải lớn. Hai là cần chọn tỉ lệ thớch hợp giữa khối lượng của vỏ tờn lửa và khối nhiờn liệu chứa trongnú. Từ đú người ta đó tỡm ra giải phỏp chế tạo tờn lửa nhiều tầng. Khi nhiờn liệu tầng một đó chỏy hết thỡ tầng một tự tỏch ra và bốc chỏy trong khớ quyển. Tầng hai bắt đầu hoạt động
vr
và tờn lủă tiếp tục tăng tốc từ vận tốc đó đạt được trước đú. Do khối lượng toàn bộ tờn lửa giảm đỏng kể nờn vận tốc sẽ tăng nhanh. Quỏ trỡnh lặp lại : khi nhiờn liệu tầng hai chỏy hết , tầng này lại tự động tỏch ra và tầng ba bắt đầu hoạt động. Theo tớnh toỏn, kết cấu tờn lửa ba tầng là hợp lý hơn cả vàđạt hiệu suất cao nhất
e) Bài toỏn va chạm :
+ Va chạm là sự tương tỏc giữa cỏc vật xảy ra trong một khoảng thời gian rất
ngắn.Trong thời gian va chạm cỏc lực tương tỏc biến đổi rất nhanh. Trong khoảng thời gian đú xuất hiện cỏc nội lực rất lớn gọi là lực xung làm thay đổi đột ngột động lượng của mỗi vật. Vỡ cỏc nội lực của hẹ rất lớn nờn ta cú thể bỏ qua cỏc ngoại lực thụng thường ( như trọng lực) và coi hệ hai vật là kớn trong thời gian va chạm, cúthể vận dụng định luật bảo toàn động lượng : “tổng động lượng của hai vật trước và sau va chạmthỡ bằng nhau”.
+ Va chạm đàn hồi: Khi hai vật va chạm cú thể xuất hiện biến dạng đàn hồi trong khoảng thời gian rất ngắn , nhưng sau đú từng vật lại trở về hỡnh dạng ban đầu và động năng toàn phần khụng thay đổi, hai vật tiếp tục chuyển động tỏch rời nhau với vận tốc riờng biệt. Va chạm như thế được gọi là va chạm đàn hồi.
+ Va chạm mềm hay va chạm hoàn toàn khụng đàn hồi : Sau va chạm hai vật dớnh vào nhau thành một khối chung và chuyển động với cựng một vận tốc. Do biến dạng khụng được phục hồi, một phần động năng đó chuyển thành nội năng ( toả nhiệt ) và tổng động năng khụng bảo toàn nhưng động lượng của hệ vẫn được bảo toàn.
Trong thực tế cỏc va chạm thường ở giữa hai trường hợp giới hạn núi trờn.
4. Định luật bảo toàn động lượng trong phản ứng hạt nhõn:
Xột phản ứng hạt nhõn : a+ZAX → +b ZA''Y. Giả sử hạt nhõn ZAX ban đầu đứng yờn ( trường hợp thường gặp ) hạt a ( hạt nhõn đạn ). Định luật bảo toàn động lượng viết cho hệ là :
a b Y
Pr = +Pr Pr . Trong đú Pra, Prb, PrY lần lượt là động lượng của hạt a, b và ' ' Z ZY . Gọi θ là gúc giữa cỏc vận tốc của hạt đạn a và hạt bắn ra b ( hỡnh vẽ ) Ta cú : 2 2 2 2 cos Y a b a b P =P +P − P P θ
Giữa động lượng P và động năng K cú hệ thức : 2
2mK =P nờn hệ thức trờn trở thành : 2 cos
Y Y a a b b a b a bm K =m K +m K − θ m m K K . m K =m K +m K − θ m m K K .
Q
a b Y
K =K +K − ( Giả sử Q đó biết )
Hai hệ thức trờn liờn hệ ba động năng Ka, Kb, KY. Khử KY chẳng hạn, ta sẽ cú hệ thức liờn hệ Ka và Kb
Xột trường hợp riờng ,Q 0, 2
a b
m =m =m = θ =π
( tỏn xạ đàn hồi theo phương vuụng gúc )
ta cú : b Y a Y m m K K m m − =
+ . Nếu khử Kb ta sẽ cú hệ thức liờn hệ Ka và KY. ĐẶc biệt, trường hợp va chạm đàn hồi trực diện ( ma =mb =m,Q 0,= θ = 0) ta cú : 2 4 ( ) Y Y a Y m m K K m m = +
Nếu vrvà Vrlà vận tốc của a và AZ''Y thỡ cú thể viết là
2 V v Y m m m = + .