5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
2.1.2. Các nguyên lý cơ bản
Nguyên lý cộng
Đối với hai tập hợp A và B là hai tập hợp rời nhau thì: N(A B) = N(A)+N(B) Ta có thể mở rộng ra với nhiểu tập hợp rời nhau như sau: Với { X1, X2, ... , Xn} là một phân hoạch của tập S. Khi đó
S= X1+ X2+ ... + Xn
Trường hợp riêng hay dùng của nguyên lý cộng: Nếu A là một tính chất có trên X thì N(A) = N(X) – N( ̅ )
Ví dụ: trong lớp có 10 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Để chọn 1 bạn đứng lên phát biểu thì thầy giáo có thể có 10+5 = 15 cách chọn.
Nguyên lý nhân
Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k bước, bước 1có thể được thực hiện n1 cách, bước 2 có thể được thực hiện n2 cách, ..., bước k có thể được thực hiện nk cách. Khi đó số cấu hình là: n1.n2 . ... . nk
Hệ quả: N(A1 x A2 x … x Ak) = N(A1)N(A2) … N(Ak)
Ví dụ: để đi từ Quảng Ngãi đến Đã Nẵng có 2 cách: tàu hỏa, ô tô. Đi từ Đà Nẵng ra Hà Nội có 3 cách: máy bay, tầu hỏa, ô tô. Một người có lịch trình đi từ Quảng Ngãi qua Đà Nẵng và đến Hà Nội thì có số lựa chọn cách đi là: 2 x 3 = 6 cách.
Nguyên lý bù trừ
Được suy từ nguyên lý cộng, với hai tập A và B bất kì không có các giả thuyết rời nhau thì:
N(A B) = N(A) + N(B) – N(A B)
Ví dụ: tìm số chuỗi nhị phân có độ dài 10 bắt đầu hoặc kết thúc bởi 11 Ta có: Số chuỗi nhị phân có độ dài 10 bắt đầu 11 là 28
Số chuỗi nhị phân có độ dài 10 kết thúc 11 là 28
Số chuỗi nhị phân có độ dài 10 bắt đầu bằng 11 và kết thúc 11 là 26
Theo nguyên lý bù trừ thì ta có số chuỗi nhị phân có độ dài 10 bắt đầu hoặc kết thúc bởi 11 là 28 + 28 – 26 = 448 chuỗi.
Nguyên lý Dirichlet
Nếu xếp N đối tượng vào k cái nhóm thì tồn tại nhóm chứa ít nhất N/k đối tượng ( x là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x gọi là trần nguyên của x).
Ví dụ: Xếp 21 người và 10 nhóm, thì luôn tồn tại nhóm có 3 người.
Chứng minh. Thật vậy, xếp 21 những nguời vào 10 nhóm. Ta có 21/10 = 3. Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn tại nhóm có ít nhất 3 người.